陕西省汉中市西乡县第一中学2025届高三下学期适应性考试数学试题

2025届高三年级适应性考试 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 2.复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 3.已知向量，若反向共线，则实数的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或7 【答案】A 4.2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【答案】B 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 5.已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．27 D．81 【答案】C 6.已知直线：与圆：交于，两点，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的充要条件是：圆心，到的距离， 即，故的充分不必要条件是的真子集. 7.一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 8.已知函数，其导函数记为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（   ） A．若，则的平均数为 B．若，则的方差为0 C．若的极差是，则 D．若，则这组数据的第75百分位数是 【答案】AB 【详解】对于A，由原数据的平均数， 可得新数据的平均数为， 故A正确； 对于B，由原数据的方差是， 可得新数据的方差为， 故B正确； 对于C，若样本数据为，则其极差为， 此时数据为，则其极差， 即，故C错误； 对于D，由，所以数据的第75百分位数是，故D错误； 故选：AB 10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大，故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 11.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ） A．当时， B．函数有3个零点 C．的解集为 D．，都有 【答案】BCD 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则当时，，故，A错误； 对于B，函数是定义在R上的奇函数，故； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 故函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，令，解得； 当时，令，解得，则， 故的解集为，C正确； 对于D，当时，，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取最小值为， 且时，，所以，即， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值为，且时，，时，， 所以，所以， 综合以上，的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示,若两变量x,y的经验回归方程为,则___________. 答案：4 13.已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为____________. 答案： 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则的最大值为. 14.已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则 ．（S表示面积） 【答案】3 【详解】设，由已知得直线的方程为，直线的方程为， 两直线方程联立，可解得点P的坐标为． 由，得， 可得，整理得，即，解得，所以P点的纵坐标为，得．所以． 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求. 【规范答题】（1）由正弦定理边化角可得， 即， 所以，因为， 所以，又，解得； （2）若，则，这里是三角形外接圆的半径， 解得， 由余弦定理可得. 16.已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. 证明：点在以为直径的圆外： 【解析】（1）由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为.（4分） （2）由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立， 设， 则， ， 故在以为直径的圆外. 17.如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）．    (1)证明：平面； (2)已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求． 【详解】（1）在矩形中，，， 易得，则，即， 在四棱锥中，平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面. （2）取的中点为，连接， 由，则， 又平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，以的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，由，得，即， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，又，则.    18.某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.    20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 【详解】（1）由题意知 . 因为，所以， 故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强. （2）（i）由，得，即. 因为， 所以， 故关于的经验回归方程为，即 ,所以. （ii）将代入得. ，故得，解得， 故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 19.意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质． (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：．（已知） 【详解】（1）证明：①； ②. （2）构造函数     ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意；   ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. （3）由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三年级适应性考试 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（   ） A．， B． C． D． 2.复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知向量，若反向共线，则实数的值为（     ） A． B．3 C．3或 D．或7 4.2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（     ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 5.已知正项等比数列的前项和为，若，则（     ） A．16 B．32 C．27 D．81 6.已知直线：与圆：交于，两点，则的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 7.一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数，其导函数记为，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则的平均数为 B．若，则的方差为0 C．若的极差是，则 D．若，则这组数据的第75百分位数是 10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 11.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（     ） A．当时， B．函数有3个零点 C．的解集为 D．，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示,若两变量x,y的经验回归方程为,则___________. 13.已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为____________. 14.已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则 ．（S表示面积） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，求. 16.（本题满分15分） 已知椭圆的一个焦点，短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. 证明：点在以为直径的圆外： 17.（本题满分15分） 如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）． (1)证明：平面； (2)已知Q是线段上的动点，且，直线与平面所成角的正弦值为，求． 18.（本题满分17分） 某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据. (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；；样本相关系数；经验回归方程，其中. 19.（本题满分17分） 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质． (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：．（已知） 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$