精品解析：辽宁省多校联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】. 故选：D. 2. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 3. 已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为， 因为扇形周长为，面积为，可得且， 解得. 故选：B. 4. 若角，，则符合条件的角的最大负角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负角可得，从而可求最大负角. 【详解】由，得. 又，所以角符合条件的最大负角为. 故选：B. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角和同角三角函数的基本关系，结合充分性和必要性进行判断即可得出结论. 【详解】由，且，得， 则；故 由，得， 所以 ∵，∴ ∴ 由，解得或 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误. 【详解】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为， 而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 7. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出. 【详解】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B 8. 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】表示出第个月投入的研发经费为万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以， 则，又因为，所以的最小值为5. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式的最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式的应用条件“一正，二定，三相等”，逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，则A不符合题意； 对于B，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，则B符合题意； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，则C符合题意； 对于D，， 当且仅当时，等号成立， 由，得，即，所以，即等号不成立， 则D不符合题意. 故选：BC. 10. 某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件,对立事件的定义判断即可． 【详解】由题意可知与是互斥事件，但不是对立事件， 与是对立事件，与是对立事件， 与不互斥事件，即与不是对立事件. 故选：BC 11. 已知关于的方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（ ） A. B. C. 14 D. 13 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，和二倍角公式化简函数的解析式，再根据方程根和余弦函数图像构造不等式计算即可. 【详解】由题意得 ， 得或－1，得或或． 由，得， 因为方程在，上恰有5个实数根， 所以结合余弦函数的图象得，得． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角差的正切公式求解即可. 【详解】． 故答案为：. 13. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把数据排序，再分删除的数不同分别求出中位数即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3， 若删除的数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3， 若删除的数字是1或2或3，所得新数据的中位数是3.5， 故所求概率为. 故答案为：. 14. 已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定向量的夹角为，再根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题意可得向量，，两两的夹角为，则，，， 所以，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）； （3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出答案； （2）利用平均数计算公式和频率分布直方图进行求解； （3）求出年龄在内的频率，进而求出人数. 【小问1详解】 由题意可得， 解得. 【小问2详解】 ， 由题意可得这500名中国AI大模型用户年龄的平均数的估计值为岁； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知中国AI大模型用户的年龄在内的频率为， 则这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为. 16. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标表示以及平行关系和模长公式计算可得结果， （2）利用垂直关系的数量积表示计算解方程可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，又，， 所以， 解得， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 解得． 17. 已知． （1）求的值． （2）已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）或3 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据二倍角正切公式列式求解即可. （2）①化切为弦结合列方程组求解即可； ②利用两角差的余弦公式展开，然后利用二倍角的余弦公式和正弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 由， 得，解得或3． 【小问2详解】 ①由题意得，且． 由得 ② ． 18. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． （1）已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中线向量得，再利用向量的线性运算得，然后利用平面向量数量积的运算性质可求出； （2）设，则，由得，再利用三点共线，利用向量线性运算得，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为是线段的中点，所以， 因为，则， 因为，，，所以， 所以. 【小问2详解】 设，则，所以，又，所以， 由（1）知，所以， 因为三点共线，可设（）， 所以，所以， 又，所以，解得， 所以. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求. （2）若将的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：. （3）若函数（常数）在区间上是单调函数，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正余弦函数的图象，先根据周期可求，，再通过代入点的坐标即可得； （2）由余弦型函数的平移变换得平移后的解析式为，结合图象关于原点对称的条件即可求得答案； （3）首先利用诱导公式以及两角和与差公式的逆用可得，再分类讨论，结合正弦型函数的单调性即可求得m的范围，则最大值可求. 【小问1详解】 由图可知函数的周期为2，又因为， 则，再将代入可得， 结合图象可知是向上零点，故， 因为，所以； 同理函数的周期为6，又因为， 则，再将代入可得， 结合图象可知向上零点，故， 因为，所以； 综上：，，，. 【小问2详解】 由（1）知，向左平移个单位长度可得函数， 由于图象关于原点对称，则， 解得，当时，取最小值13， 故，即得证. 【小问3详解】 由（1）知， 则 ， 由于且在区间上为单调函数， 所以，即， 当在区间上为单调递增函数时，， 则有 ，解得 ，此时无解； 当在区间上为单调递减函数时， 则有 ，解得，， 只有满足条件，则， 所以m的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 2 3. 已知扇形的周长为12，面积为9，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 若角，，则符合条件的角的最大负角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递减 7. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式最小值为2的是（ ） A. B. C D. 10. 某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知关于的方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（ ） A B. C. 14 D. 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 13. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 14. 已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）； （3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数. 16. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 17. 已知． （1）求的值． （2）已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 18. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． （1）已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． （2）若，求的值． 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求. （2）若将的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：. （3）若函数（常数）在区间上是单调函数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$