期末真题必刷压轴70题（21个考点专练）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

期末真题必刷压轴70题（21个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 动点函数图象问题 · 题型二 平面直角坐标系的规律探究 · 题型三 一次函数的图象与性质 · 题型四 一次函数与方程、不等式 · 题型五 一次函数的实际应用 · 题型六 一次函数的平移问题 · 题型七 一次函数与几何综合 · 题型八 一次函数的新定义问题 · 题型九 多边形压轴 · 题型十 平行四边形的判定与性质压轴 · 题型十一 矩形的判定与性质压轴 · 题型十二 菱形的判定与性质压轴 · 题型十三 正方形的判定与性质压轴 · 题型十四 中心对称压轴 · 题型十五 三角形的中位线压轴 · 题型十六 一元二次方程的解法压轴 · 题型十七 配方法应用 · 题型十八 韦达定理 · 题型十九 一元二次方程的应用 · 题型二十 一元二次方程新定义 · 题型二十一 方差与频数分布 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第十四章 一次函数 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：      若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为： 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为． 其中正确的描述有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·二模）如图，，点B在射线上，．点P在射线上运动（点P不与点A重合），连接，以点B为圆心，为半径作弧交射线于点Q，连接．若，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 5．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 6．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 7．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为，第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，……，这个动点第2024次平移到 ． 8．（23-24九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接，．若，，则我们把叫做点P的“角坐标”． （1）点的“角坐标”为 ； （2）若点P到x轴的距离为2，则的最小值为 ． 9．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点的坐标分别是，点P在x轴上，设和的面积分别为和，如果，那么点P的横坐标的取值范围是 ． 11．（24-25八年级下·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 12．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点，，，点D在第二象限，且． （1）点D的坐标为 ； （2）点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则P点的个数为 ． 13．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知函数（为常数），给出下列四个结论：①该函数图象经过；当时，随的增大而增大；③当时，直线（为常数）与函数的图象总有两个交点；④当时，若点和都在函数的图象上，且，则有．其中所有正确结论的序号是 ． 14．（2024·山东济南·一模）某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 15．（23-24八年级下·北京石景山·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 16．（23-24八年级下·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 17．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”． (1)如图1，已知点的坐标为， ①则点关于点的“相关点”坐标为_______； ②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”． (2)如图2，若点坐标为，点坐标为， ①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______； ②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）． 18．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点． (1)如图1，若点，点P为M，N的点，连接． ① °； ②求点P的纵坐标； (2)已知点． ①当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为，则 ； ②当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为2，则 ． 19．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 20．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 21．（24-25八年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”． (1)若点是点的“关联点”，则点的坐标为______； (2)若点是点的“关联点”，且点在x轴上，求t的值； (3)若点是点的“关联点”，且线段与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 22．（24-25九年级上·北京昌平·期中）定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 23．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（） 水位高度（） 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点； (2)当__________时，杯中水位最高，是__________； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为__________； (4)求停止注水时的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时__________． 24．（24-25九年级上·北京·开学考试）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 第十五章 四边形 25．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 26．（2024·重庆·一模）如图，正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，，连接DE，DF，EF，M为中点，连接DM，CM．若，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·北京·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，中，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为或9． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 29．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，四边形中，和互相垂直，，，则的最小值为 ． 30．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且，下列结论中：①；②；③；④若正方形的边长为4，则的面积．正确的结论有 ．（请把所有正确结论的序号写在横线上） 31．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论是 ． ①；②；③四边形是菱形；④． 32．（23-24八年级下·北京·期中）矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为 ，面积的最小值为 ．    33．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则b的值为 ． 34．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点（不与A，C重合），以为边向外作正方形，点P是的中点，连接，则的取值范围为 ． 35．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）在平面直角坐标系中，将过轴上的点，且平行于轴的直线，记作直线．对于图形和，若存在直线，使得图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的一阶包含图形．若存在直线与直线且，图形关于直线的对称图形记为图形，图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的二阶，包含图形，记为图形关于图形的包含轴距． 已知，，，， (1)若， ①是线段的一阶包含图形，则______； ②是线段的一阶包含图形，则的取值范围是______； (2)若点为四边形的二阶，1包含图形，则的取值范围是______； (3)当时，若，，是四边形的二阶，包含图形，则的最大值与最小值的差是______． 36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”． 已知点：， (1)点中，是点C关于直线 “平心点”的有 ； (2)若点C关于线段 “平心点”J的横坐标为a，求a的取值范围； (3)已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k取值范围． 37．（24-25八年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，． (1)当时， ①点C的坐标是 ； ②在，，三个点中， 是正方形的“3倍距离点”； (2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围； (3)点，．线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围． 38．（24-25九年级上·北京·开学考试）对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下的定义：在点与图形上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点与图形的距离，特别的，当点在图形上时，点与图形的距离为零．如图1，点，点． (1)点与线段的距离为______；点与线段的距离为______； (2)若直线上的点与线段的距离为2，求出点的坐标； (3)如图2，将线段沿轴向上平移2个单位，得到线段，连接，若直线上存在点，使得点与四边形的距离小于或等于1，请直接写出的取值范围为______． 39．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点．    (1)在点，，中，矩形的矩宽点是______； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值； (3)若直线上只存在一个矩形的矩宽点，则的取值范围是______． 40．（2024·北京朝阳·二模）在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 第十六章 一元二次方程 41．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）已知、是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 42．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 45．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 46．（2025年上海市虹口区5月中考模拟数学试卷）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 ． 47．（2025·浙江台州·二模）如图，已知正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，当正方形的顶点是的中点时，矩形与正方形的面积相等，则的长为 ． 48．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 49．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ． 50．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ． 51．（2025·江苏南京·中考真题）已知是关于的方（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 52．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 53．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 54．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 55．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 56．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 57．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 58．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴分别交于A，B两点，若将直线向右平移长度个单位得到直线l，直线l与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接． (1)求直线l的解析式； (2)若点P为直线l上一点，且射线、射线、射线中某一条射线是另外两条射线所形成的角的角平分线时，求点P的坐标； (3)己知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出k的取值范围． 59．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图①，直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用图①可以拼出图②和图③． (1)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以得到等式：___________，___________，___________． (2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，已知， ①求出的值； ②求证：关于的方程必有两个不相等的实根； ③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根． 60．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 61．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 62．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 63．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 64．（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； (3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 65．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 第十七章 方差与频数分布 66．（2025·吉林长春·二模）在大力推进生态文明建设的当下，垃圾分类乃是城市绿色发展的关键之举．按照相关标准，“厨余垃圾正确投放率”不低于即为达标．为深入了解某地区垃圾分类的落实情况，相关部门在该地区开展专项调查，从150个小区中随机抽取10个小区调查“厨余垃圾正确投放率”，数据如下（单位：％）：82，75，90，68，85，78，92，8，87，73．根据以上信息，回答下列问题： (1)这组数据的中位数是__________％； (2)估计该地区150个小区中时“厨余垃圾正确投放率”达标的小区数量； (3)将抽取的10个小区作为试点，其中未达标的小区立即整改（已达标的小区无需整改），整改后全部达标，并且“厨余垃圾正确投放率”的中位数提升至，那么试点中整改小区的“厨余垃圾正确投放率”提升总和至少是__________． 67．（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 68．（2025·吉林长春·一模）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图表，已知乙学校测试班级有10人的成绩是级． 学校 平均数 中位数 众数 甲校测试班级 9 10 乙校测试班级 9 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)将甲校测试班级的成绩统计图补充完整； (2) __________， ___________， ___________； (3)从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，若新数据的中位数大于原甲校数据的中位数，则的最小值为___________． 69．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b (1)求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数； (2)求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ (3)为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 70．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷压轴70题（21个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 动点函数图象问题 · 题型二 平面直角坐标系的规律探究 · 题型三 一次函数的图象与性质 · 题型四 一次函数与方程、不等式 · 题型五 一次函数的实际应用 · 题型六 一次函数的平移问题 · 题型七 一次函数与几何综合 · 题型八 一次函数的新定义问题 · 题型九 多边形压轴 · 题型十 平行四边形的判定与性质压轴 · 题型十一 矩形的判定与性质压轴 · 题型十二 菱形的判定与性质压轴 · 题型十三 正方形的判定与性质压轴 · 题型十四 中心对称压轴 · 题型十五 三角形的中位线压轴 · 题型十六 一元二次方程的解法压轴 · 题型十七 配方法应用 · 题型十八 韦达定理 · 题型十九 一元二次方程的应用 · 题型二十 一元二次方程新定义 · 题型二十一 方差与频数分布 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第十四章 一次函数 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：      若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为： 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为． 其中正确的描述有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于，每个格子距离为1，对于④，每个格子距离为2，再平移点即可得出结论． 【详解】解：点与点水平距离为6格，竖直距离为格， 点与点水平距离为2格，竖直距离为格， 对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确； 对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确； 对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为；故错误； 对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为．故正确． 一共有3个正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标轴的识别问题，关键是以所给点，确定坐标轴，考虑间距问题，即可求解． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得来解，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的间分别为 则 ， ， ， ， ， 相加得： ， ． ，故运动了秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动秒到达点， 即运动了秒．所求点应为． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型－点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键． 3．（2024·北京西城·二模）如图，，点B在射线上，．点P在射线上运动（点P不与点A重合），连接，以点B为圆心，为半径作弧交射线于点Q，连接．若，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意推测出而BP长度变化过程为由大变小，再变大，得到A、B选项错误，当AB⊥BP时，求出PQ≈4.47，进而推测D选项不合题意，问题得解． 【详解】解：∵点P从A向M运动，且不与A重合， ∴AP不断变大，而BP长度为由大变小，再变大， 即：随x的增大，y的值先减小再增大， 故选项A、B错误； 如图，当AB⊥BP时，∵∠A=60°， ∴∠APB=30°， ∴AP=2AB=4， BP=， ∴， 即， 观察C、D两个选项，可得D选项不合题意， 故C选项符合题意． 故选：C 【点睛】本题为几何与函数综合题，考查了根据题意确定函数图象，勾股定理，含30°角的直角三角形性质等知识，解决此类题目一般求出函数解析式求解，如果解析式不易求出可以结合特殊情况进行排除求解． 4．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质即可得解； （2）过点Q作于H，设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为，表示出点P到达点B所用时间得到当有最小值时，点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长，再由等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ∴， 故答案为：30； （2）如图，过点Q作于H， 设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为， ∴点P到达点B所用时间， ∴当有最小值时，点P到达点B所用时间最短， ∵， ∴， ∴， ∴当点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 5．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，直线相交的交点个数问题．熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 由，可知从1到的条直线平行，由，可知从到的30条直线交于一点，则剩余条直线最多可以有个交点，从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点，从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点，然后求和计算即可． 【详解】解：∵， ∴从1到的条直线平行， ∵， ∴从到的30条直线交于一点， ∴剩余条直线最多可以有个交点， 从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点， 从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点， ∴这条直线最多有个交点， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当时，，根据绝对值的几何意义，可知表示与直线之间的距离，当点在点时，距离最大，由此得解； （2）先求出当点A和到直线距离相等时，此时，有最大值，然后画图分析可知，当直线在直线上方时，点距离直线距离最大，由于点P不与点A重合，此时取不到最大值，当直线在直线下方时，当P与点B重合时可以取到最大值，由此得解． 【详解】解：（1）当时，，根据绝对值的意义，可知表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，距离最大，此时． （2）如图，直线， 此时，折线段上，点、距离直线的距离最大，都是， 当时，，表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，取得最大值， 如图：当直线，在直线上方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，由于P不与点A重合， 此时不存在最大值． 当直线，在直线下方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，此时存在最大值，即当在点处时取得最大值． 综上所述，，t存在最大值． 故答案为：①2；②． 7．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为，第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，……，这个动点第2024次平移到 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律问题，熟练找到点的坐标规律是解题的关键． 根据题意找出点的坐标规律即可得出答案． 【详解】解：第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，第四次平移到，第五次平移到，第六次平移到，第七次平移到，第八次平移到，第九次平移到，……，由此可得每三次得到一个循环， ， 第2024次平移到， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接，．若，，则我们把叫做点P的“角坐标”． （1）点的“角坐标”为 ； （2）若点P到x轴的距离为2，则的最小值为 ． 【答案】 90 【分析】(1)设点P的坐标为，过点P作轴于点B，根据点A的坐标为，推出，根据新定义即得． (2) 根据点P运动的路径是直线，与以为直径的相切，推出点P在切点时，最大，得到最小． 本题主要考查了新定义，等腰直角三角形，圆切线与圆周角．熟练掌握新定义，等腰直角三角形的性质，圆切线判定，圆周角定理推论，是解决问题的关键． 【详解】（1）设点P的坐标为，过点P作轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴ ∴， ∴点P的“角坐标”为，     故答案为：； （2）∵点P到x轴的距离为2， ∴点P在直线l：上运动，直线l与以为直径的相切， 设P在切点，在直线l上另取一点R，连接，，，，设与交于点S，连接， 则， ∵， ∴， ∴为最大值， ∵， ∴的最小值是90． 故答案为：90． 9．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 【答案】6或 【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当时，即， 解得：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，点C在射线上， ∴，即， ∵， ∴． 若以为顶点的三角形与全等，则或，即或， 如图1所示，当时，，      ∴； 如图2所示，当时，，      ∴． 综上所述，的长为6或． 故答案为：6或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点的坐标分别是，点P在x轴上，设和的面积分别为和，如果，那么点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，求不等式的解集，过点A作交于点D．根据三角形的面积公式求出和，根据，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点A作交于点D．    ∵， ∴轴，， ∵， ∴轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴或． 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 12．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点，，，点D在第二象限，且． （1）点D的坐标为 ； （2）点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则P点的个数为 ． 【答案】 个 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质，即可得到点D的坐标； （2）根据等腰三角形的判定与性质，分情况①，②，③，讨论求解，即可解题； 【详解】解：（1）根据题意作图如下： ，点D在第二象限， ，， 点D的坐标为； 故答案为：． （2）根据是等腰三角形，点P在坐标轴上， ①， 以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有2个交点， ②， 以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有3个交点， ③， 作的中垂线，与坐标轴有1个交点， 综上所述，则P点的个数为个， 故答案为：个． 13．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知函数（为常数），给出下列四个结论：①该函数图象经过；当时，随的增大而增大；③当时，直线（为常数）与函数的图象总有两个交点；④当时，若点和都在函数的图象上，且，则有．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了一次函数的图像及性质，不等式的性质，绝对值，熟练掌握一次函数的性质及不等式的性质是解题的关键．当时，，进而判定①正确；令，则，，，进而得当时，，此时随的增大而增大；当时，，此时随的增大而减小；判定证函数与轴交于点，当时，与轴交于点，从而得当时，直线（为常数）与函数的图象只有个交点，故③错误；当时，函数化为，利用数形相结合得到的距离大于到的距离，进而得，求解即判定故④正确； 【详解】解：①∵当时，， ∴函数的图象经过，故①正确； 令，则，，， ∴， ∴当时，，此时随的增大而增大； 当时，，此时随的增大而减小；故错误； ③函数中，当时，， ∴函数与轴交于点， 当时，直线得，当时，， 此时与轴交于点， 当时，， ∴过点， 如图， 由图可知，当时，直线（为常数）与函数的图象只有个交点，故③错误； ④当时，函数化为，如图，由图可知关于对称， 或 ∵点和都在函数的图象上，且， ∴到的距离大于到的距离， ∴， 解得，故④正确； 故答案为：①④ 14．（2024·山东济南·一模）某快递公司每天上午集中揽件和派件，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，所用的时间为 分钟． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：熟练运用待定系数法就解析式，结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 【详解】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴， 联立， 解得， 即：当两仓库快递件数相同时，所用的时间为20分钟， 故答案为：20． 15．（23-24八年级下·北京石景山·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断，再由点①、②、③，当时，，又，随的增大而增大，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故②错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而增大，图像经过一、二、三象限，不经过第四象限，故①、③选项正确； 当时，， ∵，随的增大而增大，当时，， ∴若，则，故④正确， 故答案为：①③④ 16．（23-24八年级下·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 【答案】 10 1760 【分析】本题主要考查了变量关系图像上获取信息以及二元一次方程组的应用，看懂变量之间的图像是解题的关键． （1）根据图像即可得出答案， （2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为，则小华后来的速度为根据函数图像关系列出关于a，b的二元一次方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由图像可得出时间为的时候，小华与爸爸之间的距离y为0， 即小华从家出发时，爸爸追上小华； 故答案为：10． （2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为， 则小华后来的速度为 根据函数关系图可得出：， 解得：， ∴小华原来的速度为，后来的速度为：， ∴图书馆离小华家 故答案为：1760． 17．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”． (1)如图1，已知点的坐标为， ①则点关于点的“相关点”坐标为_______； ②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”． (2)如图2，若点坐标为，点坐标为， ①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______； ②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）． 【答案】(1)①或；② (2)①；②或 【分析】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质等知识，正确理解“相关点”的定义是解题关键． （1）①根据“相关点”的定义画出图形（见解析），过点作轴于点，过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，求出点的坐标，由此即可得； ②参考（1）的思路，过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出的长，可得点的坐标，同理可得点的坐标，由此即可得； （2）①当时，如图（见解析），，且，则点即为所求，过点轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得点的坐标，利用中点公式可得点的坐标；当时，同样的方法可得点的坐标，然后可得点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足关系，据此分析点即可得； ②由（2）①的方法即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，，且，则点即为所求． 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 同理可得：； ∴点关于点的“相关点”坐标为或， 故答案为：或． ②当所求的点位于的上方时， 如图，，且，则点即为所求． 过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 联立，解得， ∴， ∴； 当所求的点位于的下方时， 同理可得：； 故答案为：． （2）解：①当时， 如图，，且，则点即为所求． 过点轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴，解得， ∴； 当时， 如图，，且，则点即为所求． 同理可得：，； 综上，点关于点的“相关点”的坐标为或． ∴点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足或， 点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”， 点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”， 点的横、纵坐标满足，，不能成为点关于点的“相关点”， 故答案为：． ②由（2）①可知，点关于点的“相关点”的坐标为或， 故答案为：或． 18．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点． (1)如图1，若点，点P为M，N的点，连接． ① °； ②求点P的纵坐标； (2)已知点． ①当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为，则 ； ②当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为2，则 ． 【答案】(1)①30；②3； (2)①6；②3或 【分析】（1）①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，根据定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点．可知为等边三角形，l与x轴所夹锐角为，则，，即可求得答案； ②先证明，根据全等三角形的性质即可求得答案； （2）①过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L，根据定义可得，P、Q关于直线l对称，再由勾股定理即可求得答案； ②分两种情况：或，分别画出图象，结合定义即可求得答案． 【详解】（1）解：①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F， ∵， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P为M，N的点， ∴l与x轴所夹锐角为， ∵点P关于直线l的对称点为Q， ∴， 故答案为：30． ②在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） ①∵， ∴， ∴当时，， 如图2，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L， ∵点P为M，N的点， ∴， ∴， ∵P、Q关于直线l对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． ②∵， ∴， 如图，分两种情况：当时，点在点M的右侧， ∵与l的夹角为， ∴关于l的对称线和l的夹角也为， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，点在点M的左侧， 同理可得：，即， ∴； 综上所述，或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键． 19．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（1）①作轴于点，作轴于点，，，可判断点；作轴于，作轴于点，作，可证得与不全等，从而，进一步得出结果； ②作轴于点，作于点，证明，得，，进一步得出结果； （2）在轴上截取，连接，证明，得，，，进而证得是等边三角形，即可得证． 【详解】（1）解：①如图1， 作轴于点，作轴于点， ∴，， ∴， ∴点是线段的“完美点”； 同理是线段的“完美点”； 作轴于，作轴于点，作，点在轴上，点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴点不是的“完美点”； 同理点不是的“完美点”； 故答案为：，； ②如图2，作轴于点，作于点， ∴， ∴， ∵点是线段的“完美点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明；如图3，在轴上截取，连接，， ∵，，点是线段的“完美点”， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，线段“完美点”的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、理解线段“完美点”的定义． 20．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)和； (2)a的最小值为1； (3)t的取值范围为或． 【分析】（1）先求得正方形的边长为4，并根据“长聚点”新定义可得，若题目所给的点到正方形的每一边直线的距离均不小于1，则为“长聚点”，否则不为“长聚点”，逐个验证四个点即可得到结论； （2）在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域，由条件可以得到在的垂直平分线上，先利用C、D坐标得到直线：，再由垂直平分线的性质得到在直线上，然后结合图形可以求得a的范围，即可得a的最小值； （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围，根据三个顶点的坐标，通过平移和对称的性质逐步算得三个顶点的坐标，然后结合图形并分9种情况讨论可以求得t的范围． 【详解】（1）解：由题意得正方形的边长为4， P为正方形的“长聚点”， P到正方形每一边所在直线的距离均不小于1， 到直线的距离为，到直线的距离为， 和不是正方形的“长聚点”， 到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 是正方形的“长聚点”， 同理可得，是正方形的“长聚点”， 和是正方形的“长聚点”． （2）如图所示，在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域． ， 直线：， ， 在的垂直平分线上， 设的垂直平分线：， 代入中点得，， 直线：， ， 点是正方形OABC在第一象限的“长聚点”， 在区域⑤或区域③， 结合图形得：或， 解得：或． a的最小值为1． （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围． 向左平移个单位得到， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内， 在如图所示标注序号的9个区域内． 下面分9种情况讨论： 若在区域①内，则结合图形得，无解； 若在区域②内，则结合图形得，无解； 若在区域③内，则结合图形得，； 若在区域④内，则结合图形得，无解； 若在区域⑤内，则结合图形得，无解； 若在区域⑥内，则结合图形得，无解； 若在区域⑦内，则结合图形得，； 若在区域⑧内，则结合图形得，无解； 若在区域⑨内，则结合图形得，无解； 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、坐标与图形综合、坐标系中的平移与对称、解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质和待定系数法求解析式，学会理解新定义并结合图形解一元一次不等式（组），学会分类讨论处理复杂的情景问题，题目综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 21．（24-25八年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”． (1)若点是点的“关联点”，则点的坐标为______； (2)若点是点的“关联点”，且点在x轴上，求t的值； (3)若点是点的“关联点”，且线段与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)点； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了新定义下的坐标与图形，解题的关键是理解新定义； （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的坐标，再根据在x轴上点的特点解题即可； （3）根据新定义求出的坐标，再根据线段与x轴有交点则的纵坐标异号或至少一个为0解题即可． 【详解】（1）解：的坐标为， 故答案为：； （2）解：的“关联点”的坐标为：， 点在x轴上， ， 解得：， t的值为； （3）的“关联点”的坐标为：， 线段与x轴有交点， 的纵坐标异号或至少一个为0， 或， 解得：或， t的取值范围为或． 22．（24-25九年级上·北京昌平·期中）定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据两个图形之间的距离的定义，画出图形即可判断； ②当直线在点A的上方时，过点作直线，过点作，交BA的延长线于点，两个图形任意两点的距离中的最小值等于1时，直线解析式b的值，同理可求出当直线在点的下方时，直线解析式b的值，再结合图象即可得出结论； （2）当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为时，当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时，设直线交直线于点，可求，，进而求出，同理求出当正方形EFGH在直线y=-x+2的右侧时，求出，结合图象即可判断． 【详解】（1）①如图1中， 观察图形可知，与线段互为“近邻图形”的是，． 故答案为：，； ②如图②中， 当直线在点的上方时，过点作直线， 过点作，交BA的延长线于点． 不妨假设，则， ， ， ， 当直线在点的下方时，过点作直线， 不妨假设，同法可得， ， ， 观察图象可知，满足条件的的取值范围为； （2）如图3中， 当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时， 设直线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时， 同法可得， ∴， 观察图象可知，满足条件的m的值为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，两个图形之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 23．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（） 水位高度（） 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点； (2)当__________时，杯中水位最高，是__________； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为__________； (4)求停止注水时的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时__________． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3) (4) (5) 【分析】（1）将表中数据完善后，描点即可； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）先求出从开始向外排水到停止注水时关于的函数表达式，再求出排水的速度，利用时的水位高度和排水速度即可求出时的水位高度，进而可求出停止注水后关于的函数表达式，将二者联立，可得二元一次方程组，解之，即可求得停止注水时的值； （5）先求出水位高度为时排完水所需要的时间，进而得出答案． 【详解】（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下： （2）解：由表格可知： 当时，杯中水位最高，最高水位为， 故答案为：，； （3）解：由表格可知： 自动排水前，每经过秒钟，水位上升， 即杯中水位上升的速度为， 故答案为：； （4）解：设从开始向外排水到停止注水，关于的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ， 由表格可知：排水的速度为： （）， 当时，， 当时，， 设停止注水后，关于的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ， 可得方程组 ， 解得：， 时，停止注水； （5）解：由（4）可知，时停止注水，此时的水位高度为， 从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时： （）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，坐标系中描点，观察表格从中获取信息，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，有理数四则混合运算等知识点，观察表格并从中获取正确信息是解题的关键． 24．（24-25九年级上·北京·开学考试）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 【答案】(1)y轴，或 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数的图象的对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；点和都在函数的图象上，且，得到当时，；当时，关于直线的对称点为，得到，得到，即得， 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）由图象看出， 函数的图象的对称轴为直线（y轴）， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∴函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∵点和都在函数的图象上，且， ∴当时， ； 当时， ∵关于直线的对称点为， ∴， ∴． 综上，． 故t的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数与方程，函数与不等式，是解决问题在关键． 第十五章 四边形 25．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故①错误，不符合题意； ， ， ∴， ， ， 过点D作交于点N， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点A作交的延长线于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 故③正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 26．（2024·重庆·一模）如图，正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，，连接DE，DF，EF，M为中点，连接DM，CM．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，运用正方形的性质证明△≌△，运用全等三角形的性质证明是等腰三角形，再用等腰三角形性质求，证明是的中位线，则得到，最后由三角形外角性质得到，即可得到答案． 【详解】解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴，， 在△和△中 , ∴△≌△， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是△的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，能够灵活运用各性质，作出合适的辅助线构造出全等三角形是解决问题的关键． 27．（23-24八年级下·北京·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故③不符合题意； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②， 故选：B 28．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，中，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为或9． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点C重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点A重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】∵，点M的速度为， ∴当点M从点B到点C，用时， 当时，过点N作于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴N点的运动速度是；故①正确； 由图2可知，点N从B到A用时 ∴，故②正确； ∴，故③正确； 当点M未到点C时，过点N作于点E， ∴， 解得，负值舍去； 当点N在上时，过点N作交延长线于点F， 此时, ∴ ∴， 解得， ∴当时，t的值为或9．故④正确； 故选：D． 29．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，四边形中，和互相垂直，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设和的交点为，分别取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质解答即可． 【详解】解：方法一：设和的交点为，分别取的中点，连接，， 则，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴ 三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∵，， ∴． ∴； 方法二：如图所示，设和的交点为，过点作，取，连接，    ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴当点三点共线时，，此时，的值最小， ∵， ∴，且，， ∴在中，； 故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 30．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且，下列结论中：①；②；③；④若正方形的边长为4，则的面积．正确的结论有 ．（请把所有正确结论的序号写在横线上） 【答案】①③④ 【分析】延长，截取，连接并延长，得出，，证明，得出，，，根据三角形外角的性质得出，得出，即可判断①正确；证明，得出，判定③正确；根据，，，得出，判定②错误；根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：延长，截取，连接并延长，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴，故②错误； ∵， ∴， 即的面积，故④正确； 综上分析可知：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 31．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论是 ． ①；②；③四边形是菱形；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的中线以及平行四边形的判定．运用等边三角形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等的判定和性质即可解出本题． 【详解】如图, 连接, ∵， ∴ ∵是直角三角形，F为中点， ∴ ∵是等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴点和点是关于的对称点， ∴，故①成立； ∵是中点, 所以， ∴中是斜边,是直角边,即, ∴四边形不可能是菱形，故③不成立； ∵, ∴, ∵ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即,， ∴， 故④成立； ∵四边形是平行四边形可得, 而, ∴, ∵， ∴，故②成立； 故成立的为①②④； 故答案为①②④． 32．（23-24八年级下·北京·期中）矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为 ，面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，由四边形为菱形可得，可知当时，取最小值， 即点重合，的值最小，即可求出的最小值；延长相交于点，过点作的延长线于点，可得，进而证明，得到，由此可知当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，即当取最大时，点重合，求出，得到，进而得到，再根据三角形面积公式即可求解；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∴的最小值为为， ∴的最小值为； 延长相交于点，过点作的延长线于点，则，    ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 33．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则b的值为 ． 【答案】2或或8 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定及性质是解题的关键． 对为边和为对角线进行分类讨论，利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ①当为平行四边形的边时，则， 因为、两点的坐标分别为，则线段向下平移3个单位，点的对应点在轴上，坐标为， 此时点对应点的坐标为，再将所得线段向左平移1个单位，点的对应点在轴上，坐标为， 此时点对应点的坐标为， 此时，且，即所得四边形是平行四边形． 又因为此时点的坐标为， 所以． 将线段绕原点旋转， 因为，且， 则四边形为平行四边形， 此时点的坐标为， 所以． ②当为平行四边形的对角线时， 对角线和互相平分， 因为、两点的坐标分别为，所以中点的坐标为， 因为点的纵坐标为0， 所以， 则， 所以点的坐标为， 所以． 综上所述，的值为：2或或8． 故答案为：2或或8． 34．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点（不与A，C重合），以为边向外作正方形，点P是的中点，连接，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， ∵四边形、是正方形， ∴，， ∴， 则在和中 ， ∴， 当时，有最小值， 此时为等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的最小值为． 当点运动到点的时候，如图： 此时即为点H的位置， 此时正方形的边长最大且为 则的值最大， 此时 ∴则的取值范围为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 35．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）在平面直角坐标系中，将过轴上的点，且平行于轴的直线，记作直线．对于图形和，若存在直线，使得图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的一阶包含图形．若存在直线与直线且，图形关于直线的对称图形记为图形，图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的二阶，包含图形，记为图形关于图形的包含轴距． 已知，，，， (1)若， ①是线段的一阶包含图形，则______； ②是线段的一阶包含图形，则的取值范围是______； (2)若点为四边形的二阶，1包含图形，则的取值范围是______； (3)当时，若，，是四边形的二阶，包含图形，则的最大值与最小值的差是______． 【答案】(1)①，② (2) (3)2 【分析】(1)①根据定义，利用中点坐标公式即可得解；②满足关于直线对称点落在对角线上即可； (2)先算出点关于直线，直线的二阶对称点，要使点为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可得解； (3)先分别识别出四边形为正方形，是等腰直角三角形，要使是四边形的二阶包含图形，则需要满足关于直线，直线两次对称后，落在四边形内即可，讨论和的横坐标即可得解． 【详解】（1）解：①关于直线的对称点在线段上， ， 故答案为：； ②关于直线的对称点在线段上，且关于直线的对称点为， ，解得， 故答案为：； （2）解：由题可知关于直线对称点，关于直线对称点，要使点为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可， ，， ， 故答案为：； （3）解：，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，，， ，， ，，中点为即，中点为即， 与互相平分， 四边形为正方形， 是四边形的二阶包含图形， 关于直线，直线两次对称后，落在四边形内即可， 讨论和的横坐标即可， 点关于直线对称点为，关于直线对称点为，点关于直线对称点为，关于直线对称点为， 当线段落在线段上时满足题意， 如图， 当与重合时，，此时，当与重合时，，此时， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形，新定义，轴对称，中点坐标，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，正确理解题意和利用中点坐标公式求出一次对称点或者两次对称点是解题关键． 36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”． 已知点：， (1)点中，是点C关于直线 “平心点”的有 ； (2)若点C关于线段 “平心点”J的横坐标为a，求a的取值范围； (3)已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求解； （2）根据题意结合图象， 得出点的运动轨迹为点， 即可求解； （3）“平心点”为平行四边形对角线的交点，如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形，根据题意，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移线段，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情况结合图象求解即可． 【详解】（1）解：根据题意作图如下： ， 直线所在直线为， 设直线所在直线为， 将点代入得∶， ∴， 其交直线于点， 直线所在直线为，其交直线于点， ∴两个交点之间的距离为， ∵所在直线平行于轴， ∴四边形为平行四边形， 符合题意； 同理点不符合题意；点符合题意； 故答案为∶； （2）解：根据题意结合图象， 连接， 则中点， 即， 连接， 则中点，即， ； （3）解：如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角， 当落在左下角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，点M接近点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：，将点 代入得：， ∴； 当落在右上角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点， 点P接近点C时，点M接近点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：，将点 代入得：， ∴； 综上可得：． 【点睛】本题主要考查新定义， 平行四边形的判定和性质， 一次函数的性质， 坐标与图形， 理解题意结合图象求解是解题关键． 37．（24-25八年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，． (1)当时， ①点C的坐标是 ； ②在，，三个点中， 是正方形的“3倍距离点”； (2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围； (3)点，．线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或或． 【分析】（1）①当时，可得点．根据四边形是正方形，可得，所以点C的坐标是； ②分别求出三个点到正方形的边所在直线的最大距离和最小距离，再根据“3倍距离点”的定义判断即可； （2）当时，点，然后讨论点n的取值，确定点P到正方形的边所在直线的最大距离和最小距离，再根据“2倍距离点”的定义求解即可； （3）求出直线的解析式为，设线段上一点，则，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：①当时，如图1，点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即点C在y轴上，   ∴点C的坐标是， 故答案为：）； ②如图所示，当正方形的边所在的直线的距离最大值为，最小值为， ∴是正方形的“3倍距离点”； 同理可知是正方形的“1倍距离点”； 是正方形的“3倍距离点”； ∴是正方形的“3倍距离点”， 故答案为：； （2）解：当时，如图2，点 ， ∵， ∴当时，到的距离倍的到的距离，此时不符合题意； 当时，到的距离倍的到的距离，此时符合题意； 当时，到的距离倍的到的距离，此时不符合题意； 当，且到的距离倍的到的距离时， ∴， ∴， 经检验是原方程的解； 当，且点P到直线的距离等于2倍的点P到的距离时， ∴，即（舍去） 综上所述：点（其中）是正方形的“2倍距离点”时，n的取值范围是或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段上一点， 则， 当P在正方形内时， ①， ∴， ∴； ②， ∴， ∴； 当P在正方形外时， ， ∴， ∴； 此时不存在的情况， ∴线段上存在正方形的“2倍距离点”，a的取值范围是或或． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置． 38．（24-25九年级上·北京·开学考试）对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下的定义：在点与图形上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点与图形的距离，特别的，当点在图形上时，点与图形的距离为零．如图1，点，点． (1)点与线段的距离为______；点与线段的距离为______； (2)若直线上的点与线段的距离为2，求出点的坐标； (3)如图2，将线段沿轴向上平移2个单位，得到线段，连接，若直线上存在点，使得点与四边形的距离小于或等于1，请直接写出的取值范围为______． 【答案】(1)；2 (2)点的坐标为或； (3) 【分析】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、点与图形的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． （1）根据点与图形的距离的定义即可解决问题； （2）画出图形，分两种情形分别解决问题即可； （3）如图2中，作直线于，延长交直线于，当时，，则有，可得．作直线于，延长交直线于，当时，，可得，解得，结合图形即可解决问题； 【详解】（1）解：点与线段的距离为线段的长； 点与线段的距离为线段的长， 故答案为：；2； （2）解：如图1，点在直线上． 点，， 平行于轴， 当时，， ， ， 过作交的延长线于点， 直线与坐标轴分别交于点，， ， ，即和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点的坐标为或； （3）解：如图2中， 作直线于点，延长交直线于点， 同理，是等腰直角三角形， 当时，此时， ∴， ， ， ． 作直线于点，延长交直线于点， 当时，同理，， ， ． 观察图象可知：满足条件的的范围为：． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点．    (1)在点，，中，矩形的矩宽点是______； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值； (3)若直线上只存在一个矩形的矩宽点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题； （3）如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，．分别求出直线经过、、、、时的的值即可解决问题． 【详解】（1）解：， 点是矩宽点， ， 点是矩宽点， 故答案为：和； （2）解：为矩形的矩宽点， 或，解得或； （3）解：由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，，如图所示：   一次函数的图象经过定点， 观察图象可知当直线与线段，有交点时，直线一次函数的图象上存在矩宽点， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 综上所述，满足条件的的值为或，或， 故答案为：或，或． 40．（2024·北京朝阳·二模）在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 第十六章 一元二次方程 41．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）已知、是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，两式相加可得，两式相减可得，故可为方程的两个解，再根据根的判别式即可解答，正确得到，是解题的关键． 【详解】解： 两式相加可得，两式相减可得， 则可为方程的两个解， 、是两个不相等的实数， ， 即， ， 故可得或， 解得或， 故选：D． 42．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 43．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键． 通过证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或即可判断③；由题意可得即可判断④． 【详解】解：①对于方程， ∴， 若，则， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， ∴或，即或，故③错误； ④若是方程的一个根， ∴， ∵， ∴两边同除以得，， 即， ∴是方程的一个根，故④正确； 综上可知，①②④正确，共3个． 故选：C． 44．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 45．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得或，则点的坐标为或，再得出点在直线上，从而可得当与两条直线垂直时，的值最小，然后利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等实数根， ∴这个方程根的判别式为， ∴， ∴或，即或， ∵点的坐标为， ∴或， ∴点在直线或直线上， ∵点在直线下方， ∴点在直线上， ∵点在直线上，且直线与直线平行， ∴当与两条直线垂直时，的值最小， 如图，过点作两条直线的垂线，垂直分别为点，则即为所求， 设直线交轴于点，交轴于点， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根的判别式、平行线间的距离、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确确定点的位置是解题关键． 46．（2025年上海市虹口区5月中考模拟数学试卷）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．设，将原方程转化为关于的方程，再对关于的方程去分母整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 方程， 方程转化为关于的方程为， 整理得：， 原方程转化为关于的整式方程为． 故答案为：． 47．（2025·浙江台州·二模）如图，已知正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，当正方形的顶点是的中点时，矩形与正方形的面积相等，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，设，证明，，，根据面积可得，列方程即可解答． 【详解】解：过点作于点，交于点， 设， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 矩形与正方形的面积相等， ， ， ， ， ，（舍， ， 则的长为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 48．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的不变性． 先得到四边形为矩形，根据正方形的性质以及折叠的性质得到可设，，，在中由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F分别为边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴， 设正方形的边长为，则，，， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍）， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 49．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ． 【答案】2或4或8 【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ∵点是边上一动点， ∴当是直角三角形时有以下两种情况： ①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示： 设，则， 在中，， ， 又∵， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：， 或； ②当时，如图2所示： ， 在中，， ， 综上所述：若是直角三角形，则或8或． 故答案为：4或2或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用勾股定理及含有角的直角三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 50．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ． 【答案】3或6或11 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，使得该方程有2个有理根，其中为自然数，则是完全平方数，令（m为整数），则，将该方程看作关于的一元二次方程，则，那么为完全平方数，令（k为整数），则，那么或，解得：或，即可求解自然数n． 【详解】解：由题意得，， ∵该方程有2个有理根，其中为自然数， ∴是完全平方数， 令（m为整数）， ∴， ∴将该方程看作关于的一元二次方程， 则， ∴为完全平方数， 令（k为整数）， ∴， ∴或 解得：或 当，，解得：或（舍）； 当，，解得或， 综上：或或， 故答案为：3或6或11． 51．（2025·江苏南京·中考真题）已知是关于的方（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况． 【详解】解：关于的方程（是有理数，）中，或， 即或， ，且 是有理数， ，中的一个为， 也是关于的方程（是有理数，）的一个根， 该方程的另外两根分别是2和． 故答案为：2，． 52．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】应用换元法，，将原方程转化为，根据方程有实根，及该实根的范围，列出的范围，即可求解， 本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程的实根，解题的关键是：设． 【详解】解：设，则原方程变形为， ∵原方程有实数根， 方程有实数根， 设的两个实数根为， ∵是对称轴， ∴， 令， 当时，， 当时，， ∴． 故答案为： 53．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． （1）先解一元二次方程，然后通过根判断在范围内的个数即可； （2）分两种情况进行讨论，当方程只有一个解时，当方程有2个不相同的解时，分别列出判别式以及不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， 在范围内有1个根， 故答案为：1； （2）当方程只一个解且在范围时， ，即， 解得， ∵此时， ∴， ∴， 当方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得或， ∵方程在的范围内有实数根， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或． 54．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可知是方程的解，利用判别式可判断①；由方程的两根符号相同，由根与系数的关系可得，，对于方程，则有和，可判断②；由是方程的一个根，则有，可判断③；由题意得，利用公式法解方程，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：若，则是方程的解，即方程有实数根， ，故①正确； 若方程的两根符号相同，设两根为、， ，， 符号相同， 对于方程，则， 方程有实数根，设两根为、， ， 、符号相同，故②正确； 若是方程的一个根，则有， ， 或， 当时，不一定有成立，故③错误； 若的一个实数根为4，则有， 对于方程，则， ， ， ，， 方程定有一个实数根为，故④正确； 综上所述，其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 55．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1) (2) (3)不存在；理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 56．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1)，； (2)，，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 57．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或； （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故； （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴． 58．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴分别交于A，B两点，若将直线向右平移长度个单位得到直线l，直线l与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接． (1)求直线l的解析式； (2)若点P为直线l上一点，且射线、射线、射线中某一条射线是另外两条射线所形成的角的角平分线时，求点P的坐标； (3)己知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点，，求出，再根据一次函数的平移规律即可求解． （2）分为当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，分别求解即可． （3）求出恒过点，在中，令，则，求出当直线经过时，的值，再结合图象即可求解． 【详解】（1）解：中，令，解得：，则， 令，，则， 则， 若将直线向右平移长度个单位得到直线． （2）解：如图，当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时， 则， 根据（1）可得， ∴， ∴， ∴， 故点P的纵坐标点B的纵坐标， 将代入可得，即； 当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时， 则， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得：，则， 设， 则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 即可得：； 当射线是射线、射线所形成的角的角平分线时，点P不可能在直线l上，不符合题意； 综上，或． （3）解：在中，令，则，故恒过点， 在中，令，则， 当直线经过时，，解得：， 即， 结合图象可得当时，若对x的每一个值都有， 则k的取值范围为． 【点睛】该题考查了一次函数的综合，一次函数的图象和性质，一次函数平移，解一元二次方程，勾股定理，也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是数形结合． 59．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图①，直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用图①可以拼出图②和图③． (1)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以得到等式：___________，___________，___________． (2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，已知， ①求出的值； ②求证：关于的方程必有两个不相等的实根； ③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根． 【答案】(1)，， (2)①41；②见解析；③5 【分析】本题勾股定理和求正方形的面积，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是： （1）根据大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积求解即可； （2）①设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y，则，，，根据完全平方公式并结合求解即可；②由①可求出，然后代入化简求出，有得出，即可得证；③把代入，结合，，可得出，化简得，解方程求出，，代入方程并解方程即可求解． 【详解】（1）解∶根据题意得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，每一个三角形的面积为， ∴图2得到的等式为∶，即， 或，或， 故答案为∶ ，，； （2）解∶①设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y， 则，，， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； ③把代入， 得， 又，， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴， ∴原方程为， 解得，， ∴方程的另一根为5． 60．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． 61．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 62．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 63．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题． （1）依据题意，关于x的一元二次方程为，计算判别式，进而可以判断得解； （2）依据题意，由可得，故，，则该一元二次方程的衍生点，再令，进而可以得解； （3）依据题意，结合图象，直线与x轴交于点A，可得，又M在直线上，可得在直线上，刚好和的边交于点（，又令，则，从而，结合，进而可以得解； （4）依据题意，由直线，过定点，从而两个根为再由根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的衍生点为． 令，， ∴； （3）解：如图，直线与x轴交于点A， 当，则， ∴ ∴， 又M在直线上， ∴在直线上，刚好和的边交于点． 令，则， ∴， ∴． ∴； （4）解：由题意，∵直线， ∴过定点， ∴两个根为， ∴， ∴ ∴，即． 64．（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； (3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1) (2)且 (3)， 【分析】此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键． ()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式； ()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围； ()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论； 【详解】（1）解：令， ∵，，， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：令 ， 由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解， ∴， 整理得，， 解得， 又∵且， ∴且； （3）解：∵方程的两根是， ∴， ∴， ∵当时，代入上式，得， ∴是方程的一个根， 同理，也是方程 的一个根， ∴方程的两个根为 或， 在方程中，设， 得， ∴或， ∴或， 解得， ， ∴方程的根是，． 65．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 第十七章 方差与频数分布 66．（2025·吉林长春·二模）在大力推进生态文明建设的当下，垃圾分类乃是城市绿色发展的关键之举．按照相关标准，“厨余垃圾正确投放率”不低于即为达标．为深入了解某地区垃圾分类的落实情况，相关部门在该地区开展专项调查，从150个小区中随机抽取10个小区调查“厨余垃圾正确投放率”，数据如下（单位：％）：82，75，90，68，85，78，92，8，87，73．根据以上信息，回答下列问题： (1)这组数据的中位数是__________％； (2)估计该地区150个小区中时“厨余垃圾正确投放率”达标的小区数量； (3)将抽取的10个小区作为试点，其中未达标的小区立即整改（已达标的小区无需整改），整改后全部达标，并且“厨余垃圾正确投放率”的中位数提升至，那么试点中整改小区的“厨余垃圾正确投放率”提升总和至少是__________． 【答案】(1)81； (2)90； (3)36 【分析】（1）将数据按从小到大排序，再求出中位数； （2）先求出根据达标标准求出达标比例，再乘以总小区个数即可； （3）根据整改后数据的中位数是第5和第6个数据的平均值，为了使中位数达到85%，第5和第6个数据必须满足：(第5个数据 + 第6个数据) 求解． 【详解】（1）解：将给定的10个数据按从小到大排序：68， 73， 75， 78， 80， 82， 85， 87， 90， 92 中位数是第5和第6个数据的平均值； 故答案为：81； （2）∵达标标准是“厨余垃圾正确投放率” ≥ 80%， ∴在排序后的数据中，达标的数据有：80，82，85，87，90，92共5个小区达标， ∴样本中达标比例为 ， ∴估计总体达标数量 ； （3）∵根据（2）部分，达标小区有6个，未达标小区有4个， ∴将所有未达标数据提升到80： 68提升到80，； 73提升到80，； 75提升到80，； 78提升到80，； 提长的总和：， 此时数据排序为：80， 80， 80， 80， 80， 82， 85， 87， 90， 92， 中位数：，不满足85， 进一步调整： 将第3个数据（80）提升到85，； 将第4个数据（80）提升到85，， 总和增加：， 总提升：， 数据排序：，，，，，，，，，， 中位数：，满足条件． 【点睛】本题考查了中位数的计算、求一组数据的平均数、样本估计总体以及调查收集数据的过程与方法，解题的关键是掌握中位数的计算方法、理解样本与总体的关系，以及灵活运用数据调整策略． 67．（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 【答案】（1）；； （2）； （3）人； （4）见解析． 【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可； 共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组； 利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可； 从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩． 【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为， 从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的， 抽取的总人数为：（人） 第组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 第组有人，占比为：， ∴， 第组有人， 第组占抽查总人数的， 扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：， 故答案为，； 总共抽查了人， 中位数是第、名成绩的平均数， 第1组和第2组总人数是24人， 从条形统计图中可知：第、名位于第组， 抽取的这些学生的中位数位于第组； 从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生， 利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人； 、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素． 建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内； 加强锻炼增强肺活量； 加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可） 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息． 68．（2025·吉林长春·一模）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图表，已知乙学校测试班级有10人的成绩是级． 学校 平均数 中位数 众数 甲校测试班级 9 10 乙校测试班级 9 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)将甲校测试班级的成绩统计图补充完整； (2) __________， ___________， ___________； (3)从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，若新数据的中位数大于原甲校数据的中位数，则的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)32，9，9 (3)5 【分析】本题考查中位数、众数、条形统计图与扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）先求得乙校测试班级总人数，从而得到甲校班级人数，从而算得等级人数，然后补充统计图即可； （2）根据甲校班级人数为25人，可知中位数为第13人成绩，从而求得中位数， 由扇形统计图可知，乙校等级人数占比最多，从而求得众数，并求得； （3）甲校原来的中位数为9，那么需要从乙校最少抽取5个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲校数据的中位数． 【详解】（1）解：已知乙学校测试班级有10人的成绩是级，占比， 那么乙学校抽查班级人数为：（人） 因为甲、乙两校被抽查班级人数相同，所以甲学校被抽查班级总人数为25人， 等级人数为：（人） 补充的统计图如下图，为所求： （2）解：32，9，9，理由如下： 甲校班级人数为25人，那么成绩按低到高排列后，中位数为第13人成绩，所以中位数为：9； 由扇形统计图可知，乙校等级人数占比最多，那么乙校测试班级众数为9； ，故； 故答案为：32，9，9； （3）解：5，理由如下： 甲校班级分数如下：10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，8，8，8，8，7，甲校原来的中位数为9，从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，那么需要从乙校最少抽取个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲校数据的中位数． 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为，符合题意； 故答案为：5． 69．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b (1)求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数； (2)求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ (3)为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 【答案】(1)，，随机抽取的学生总人数为人 (2)随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时 (3)应准备约份奖品 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据频数分布表和女生总人数为人，即可求解； （2）本题先求男生人数，再求男生锻炼总时长，然后即可求解； （3）本题先求在人的样本中获奖比例，再通过全校总人数即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：表中给出“一周锻炼2小时”的女生频率为，故2小时的女生人数， ∵女生人数合计， ∴， ∵2小时的女生人数占随机抽取学生总数的， ∴随机抽取的学生总人数为人， 综上所述：，，随机抽取的学生总人数为人； （2）解：抽取男生人数为人， 又给出“4 小时的男生人数与女生相等”，即男生4小时组有6人， ∴男生4小时所占比例为：， ∴男生3小时所占比例为：， ∴男生1小时人数为：人， 男生2小时人数为：人， 男生3小时人数为：人， ∴男生扇形图信息：1小时占，2小时占，其余两组（3小时、4小时）各占（因为总和须），故男生“四组”对应人数分别为 3， 15， 6， 6， ∴男生锻炼总时长为，平均锻炼时间为小时， ∴随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时； （3）解：全年级需要准备的奖品份数 样本中“3小时及以上”的人数：女生(3小时4人，4小时6人)共人，男生(3小时6人，4小时6人)共人，合计人， 在人的样本中占比，若全年级有人，则预计有人达标，故应准备约份奖品； 70．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【答案】(1)①；；② (2)乙； 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据频数分布表即可解决问题； ②根据平均数的定义即可判断； （2）根据题意得，根据平均数相同，方差越小，排名越靠前即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意， 共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为               平均数为： ∴， 故答案为：； （2）解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙；． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$