暑假作业04 整式的除法（4大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业04 整式的除法 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：单项式除以单项式】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．计算： (1)； (2)． 【题型二：多项式除以单项式】 6．计算： ． 7．已知长方形面积为，它的一边长为x，则这个长方形另外一边长为 ． 8．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 9．先化简，再求值：，其中，． 10．化简并求值：，其中．下面是小明化简的过程，请你仔细阅读，并完成下列问题： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)小明化简的过程从第_______步开始出现了错误． (2)请你完成此题的化简与求值． 11．如图1是由两个圆柱形铁块组成的毛坯，要将其熔铸成如图2所示的圆柱形零件．求可以熔铸成这种圆柱形零件的个数．（损耗不计） 12．计算． (1) (2) (3) (4) 【题型三：用科学记数法表示除法】 13．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 14．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的 倍． 15．某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 16．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 17．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【题型四：整式的混合运算】 18．如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为、，则的值是 ． 19．如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么a与b的数量关系是 ． 20．先化简，再求值：，其中． 21．现有一个程序，如图所示：    （1）当时，输出结果是 ． （2）任意给一个非零数，按此程序进行计算，则输出结果是 ． 22．鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 23．如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地．    (1)用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） (2)若，，求出绿化部分的总面积． 24．小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， (1)由图可知卧室的面积为 平方米． (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 25．已知关于的次多项式（为正整数，），若满足，则多项式称为“对称系数多项式”．例如：、，若为“对称系数多项式”，则下列说法：①若，则当时，多项式的值为，②若，则存在一个“对称系数多项式”，使得；③若次多项式（为偶数），满足是“对称系数多项式”，则，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 26．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 27．如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为 ． 28．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 29．在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动， 【观察发现】老师提供了下列一组等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 第n个等式可写为：． 睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：________． 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 【问题解决】 (1)请你补充完整睿明同学发现的公式； (2)请你写出【类比推广】中的第5个等式：_____________；猜想第n个等式：______________，并证明这个猜想； (3)请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于的公式． 30．对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 31．学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 32．某数学兴趣小组的小林和小颖两位同学将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索： (1)小林在数表中框出“”字形，并将相对的两数相乘，再作差，请你帮忙完成研究过程． ①计算： ， ． ②化简：图2是从图1中取出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为，则所对应的数分别为，，，，请你利用整式的运算，对进行化简． (2)小颖在数表中框出“”字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数平方作差，即图3中，则在框出的“”字形中，的值能否等于？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 试卷第2页，共27页 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业04 整式的除法 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：单项式除以单项式】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项符合题意； 故选：． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式，幂的混合运算，多项式除以单项式、积的乘方，据此相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．计算： ． 【答案】 【详解】原式 故答案为： 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型二：多项式除以单项式】 6．计算： ． 【答案】/ 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．已知长方形面积为，它的一边长为x，则这个长方形另外一边长为 ． 【答案】/ 【详解】解：一个长方形的面积为，一边长为x， 它的另一边长为：， 故答案为：． 8．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意可得：被除式，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：被除式， 故答案为：． 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ． 当，时，原式． 10．化简并求值：，其中．下面是小明化简的过程，请你仔细阅读，并完成下列问题： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)小明化简的过程从第_______步开始出现了错误． (2)请你完成此题的化简与求值． 【答案】(1)一 (2)；． 【详解】（1）解：小明化简的过程从第一步开始出现了错误，原因是完全平方公式运用错误； （2）解：原式 ； 当，原式． 11．如图1是由两个圆柱形铁块组成的毛坯，要将其熔铸成如图2所示的圆柱形零件．求可以熔铸成这种圆柱形零件的个数．（损耗不计） 【答案】可以熔铸成圆柱形零件个 【详解】解： （个） 答：可以熔铸成圆柱形零件个 12．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型三：用科学记数法表示除法】 13．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：14亿 故选：B 14．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的 倍． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 15．某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 16．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 17．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【题型四：整式的混合运算】 18．如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为、，则的值是 ． 【答案】3 【详解】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为， 则， ． 故答案为3． 19．如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么a与b的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∵，即， ∴，即， ∴阴影部分面积之差， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变， ∴，即， 故答案为：． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ， 当时，原式． 21．现有一个程序，如图所示：    （1）当时，输出结果是 ． （2）任意给一个非零数，按此程序进行计算，则输出结果是 ． 【答案】 1 1 【详解】解：（1）当时，； （2）由题意得， ， ∴输出结果是1， 故答案为：1，1． 22．鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 【答案】 【详解】解：∵，， 可设，，， 由图可得，， ∴， 解得， ∴，，， ∴这个面的面积． 23．如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地．    (1)用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） (2)若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】(1)绿化部分的总面积为平方米 (2)绿化部分的总面积为13200平方米 【详解】（1）解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． （2）当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 24．小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， (1)由图可知卧室的面积为 平方米． (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 【答案】(1) (2)平方米，元 【详解】（1）解：根据图示，卧室的长为米，宽为（米）， ∴卧室的面积为：（平方米）， 故答案为：； （2）解：客厅的面积为：（平方米）， 厨房的长为（米），宽为米，则面积为（平方米）， 卫生间的长为米，宽为（米），则面积为（平方米）， ∴（平方米）， ∴卧室以外的部分的面积为平方米， ∵某种地砖价格为元/平方米， ∴（元）， ∴购买所需地砖至少需要元． 25．已知关于的次多项式（为正整数，），若满足，则多项式称为“对称系数多项式”．例如：、，若为“对称系数多项式”，则下列说法：①若，则当时，多项式的值为，②若，则存在一个“对称系数多项式”，使得；③若次多项式（为偶数），满足是“对称系数多项式”，则，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，则， ∵多项式称为“对称系数多项式”， ∴，， ∴， 当时， ，故说法①正确； 设为次“对称系数多项式”，则， ∴ ， ∵， ∴，，， ∴多项式是次“对称系数多项式”， ∴若，则存在一个“对称系数多项式”，使得，故说法②正确； 设，其中为次“对称系数多项式”， 设，且， ∴ ， ∵（为偶数）， 又∵，， ， 即，故说法③正确； ∴正确的个数是． 故选：D． 26．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 27．如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为 ． 【答案】120 【详解】设长方形的长，宽， ∵周长为44， ∴ ． 的长为，宽为， ． 的长为，宽为， ． ：长为，宽为， 所以． 将、、代入得：      将代入中得： ． ∴长方形的面积为120． 故答案为：120． 28．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 【答案】(1)， (2)①3；②9 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：当正方形的边长为x时， 图2中阴影部分的面积：； 图2中阴影部分的面积：； 故答案为：，． （2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26， ∴，即， ①， ∴． ② ． （3）解：，理由如下： 当正方形的边长为x时， 由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：， 由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：， ∴ ， ∵， ∴． 29．在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动， 【观察发现】老师提供了下列一组等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 第n个等式可写为：． 睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：________． 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 【问题解决】 (1)请你补充完整睿明同学发现的公式； (2)请你写出【类比推广】中的第5个等式：_____________；猜想第n个等式：______________，并证明这个猜想； (3)请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于的公式． 【答案】(1) (2)；；证明见解析 (3) 【详解】（1）解：这n个等式两边分别相加，可得到： ， ， ∴； （2）解：第5个等式为：， 猜想第n个等式： 等式左边为：， 等式右边为：， 则等式左边等式右边 即． （3）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 第n个等式：， 将这n个等式两边分别相加， 左边可以得到 右边可以得到， 则 ． 30．对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 31．学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 32．某数学兴趣小组的小林和小颖两位同学将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索： (1)小林在数表中框出“”字形，并将相对的两数相乘，再作差，请你帮忙完成研究过程． ①计算： ， ． ②化简：图2是从图1中取出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为，则所对应的数分别为，，，，请你利用整式的运算，对进行化简． (2)小颖在数表中框出“”字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数平方作差，即图3中，则在框出的“”字形中，的值能否等于？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①36，36；②36 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接计算即可；②先设未知数，再代入计算即可； （2）先表示出，再代入计算，然后根据数的位置得出结论． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：36，36； ② ． （2）解：∵图3中，， ， 若， 则， 解得， 由图可知，， ∴在框出的“”字形中，的值不能等于． 试卷第2页，共27页 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$