暑假作业03 乘法公式（4大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业03 乘法公式 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：用平方差公式进行计算】 1．下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意； C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．计算时，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．将看做一个整体，则是相同项，互为相反项的是，对照平方差公式变形即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 3．若，则的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．已知为实数，若有整数，，满足，则称是，的弦数．若且为整数，请写出一组，使得是，的弦数： ． 【答案】（答案不唯一） 根据题中提供的弦数的定义求解即可． 【详解】解：， 是的弦数， 故答案为：（答案不唯一，如或者亦可）． 5．计算： 【答案】 【详解】解： ． 6．先化简，再求值．，其中 【答案】；36 【详解】解：原式= ． 当时， 原式 ． 故答案为：； 7．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为：； 故答案为：； （2）第n个等式为：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 原等式成立． 【题型二：利用完全平方公式进行计算】 8．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：C． 9．若，，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 10．如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B ． 11．已知， (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用完全平平方公式变形计算即可； （2）利用完全平平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：， 把代入上式得： ； （2） 把代入上式得： ， ． 12．利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．已知，求代数式的值 【答案】 【详解】解：, 把代入原式， 可得． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】；22 【详解】解： ， 当时，原式． 15．已知下列等式：①；②；③；…… (1)请仔细观察这三个式子，写出第④个式子：______： (2)请你找出规律，写出第个式子______，并证明该式成立； (3)利用（2）中发现的规律求的值． 【答案】(1)9 (2)；证明见解析 (3)2500 【详解】（1）解：观察下列等式：①；②；③；…… 可得第个式子：． 故答案为：． （2）解：由①；②；③；…… 可得第个式子：得 第个式子为：． 证明：左边：， 左边=右边， 等式成立． 故答案为：． （3）解：由（2）中发现的规律可得 ． 16．阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）设，则： ，， ； （2）设，，则有： ，， ， ； （3）设，， ， ，， ，， ， ， ． 【题型三：乘法公式与图形面积】 17．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为， 由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为， 则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：D． 18．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 19．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：B． 20．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 21．【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 【答案】（1）  （2） ，12；（3） 【详解】解：（1）∵图2是边长为的正方形， ∴， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （3）设，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 即． 22．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， 解得：， ∴阴影部分的面积． 23．探索规律． 乐乐在计算：、、⋯⋯这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形． (2)根据以上规律计算：________=________ (3)根据以上规律计算并写出过程： 【答案】(1)9，1 (2)，199 (3)9996 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形， 故答案为：9，1； （2）解：， 故答案为：，199； （3）解： ． 24．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)20 (3)7 (4)17 【详解】（1）由可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； 故答案为：20； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即． ∴图中阴影部分的面积为17． 25．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①3；②；③2 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 26．阅读材料并解决问题： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值． 解： ． 无论x取何值，总是非负数， 即，所以． 所以当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ； (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由． 【答案】(1)36；6 (2)变形见解析； (3)，理由见解析 【详解】（1）解：， 故答案为：，6； （2）解： ， 无论x取何值时，总是非负数， 即， ∴， ∴的最小值为； （3）解： ， ， ∴ ， ∵无论a取何值时，总是非负数， 即， ∴， ∴， ∴． 【题型四：整式的乘法的应用】 27．若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：， 当，时， 原式， 故答案为：A． 28．公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， 这个花坛的面积将增加： ． 故答案为：． 29．已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多项式与多形式的乘法，单项式与多项式的乘法，及整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多形式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则化简，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 30．先化简，再求值，其中，． 【答案】； 【详解】解： ． 当，时， 原式． 31．已知多项式，，A与B的乘积中不含有x项，常数项是． (1)求m，n的值． (2)化简求值：当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是， ∴， ∴， 把，代入，解得：， 故，； （2）解：根据（1）可知，， ∴， ． 当时，原式． 32．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2) (3)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：， ∴ 解得： ， ∴ （3）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 33．若定义：，则代数式的最小值为 ． 【答案】/0.75 【详解】解：由题意知，， ， ， 代数式的最小值为． 故答案为：． 34．若，，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 35．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 【答案】(1)（i）72；8；9；（ii） (2)见解析 【详解】（1）解：（i）由题意得，； （ii）， ， ， ， ……， 以此类推可知，； （2）证明： ． 36．如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)先求出代数式，再计算当时，代数式的值； (2)嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由． 【答案】(1)；当时，M(2)同意，理由见解析 【详解】（1）解：∵ ∴ ， 当时，原式； （2）解：同意，理由如下： ∵ ∴； ∴ ； 当时，，此时，； 当不取，恒大于0，的值就一定大于的值． 37．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片（其中种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长分别为、的长方形），并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号卡片 _____张，号卡片 _____  张，号卡片 _____张； (3)解答问题：若，，则的值为 _____； (4)根据（）中得出的等量关系，解决如下问题，已知，求的值； (5)两个正方形，如图摆放，边长分别为，．若，，则图中阴影部分面积的和为 _____． 【答案】(1) (2)，， (3) (4) (5) 【详解】（1）解：由图知，大正方形的面积为，又可以为， ， 故答案为：； （2）解：， 种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为， 需种纸片张，种纸片张，种纸片张， 故答案为：，，； （3）解：，， ， 或， 故答案为：； （4）解：设，，则，， ， ∵， ， ； （5）解：由题意和图形知，， ∴， ， ， ， ∴阴影部分的面积和为， 故答案为：． 38．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）16；（3）22 【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）若， 则 ； （3）如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得： ， ， ， 即， ， ， 即 ． 答：图中阴影部分的面积是22． 39．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ，（填序号）； (2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) ③ ④ ② (2)10 (3)165 【详解】（1）解：由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式， 故答案为：③，④，②． （2）解：设， ∴，， 由题意知，， ∴， 由公式①，可得，即， ∴， ∴或， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴大正方形的边长的值为． （3）解：由题意知，，， ∴或（舍去） ∴，整理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 40．利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 【答案】 【详解】解：， 由知，当时，多项式有最小值， 故答案为：；． 41．【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 交换a、b的位置， ∵代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴，， 把代入得： ． 42．如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 【答案】(1)36（答案不唯一） (2)奇数倍，理由见解析 (3)①10②11③见解析 【详解】（1）解：； 故再写出一个“幸福数”可以是； （2）“幸福数”是4的奇数倍，理由如下： ∵， ∵为奇数， ∴“幸福数”是4的奇数倍； （3）① ； ∵是“幸福数”， ∴； ②∵，a、b为正整数，且， ∴当时，的值最小为，此时最小，； ③∵， ∴， ∴， ∵为幸福数， ∴为4的奇数倍， ∴ ； ∵为4的奇数倍，为4的偶数倍， ∴也为4的奇数倍， 故为幸福数． 43．材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)①②20 (3)1 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 44．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是　 　 ； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 【答案】（1）；（2）①24；②；（3） 【详解】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法2：用小正方形的边长列式可得：； 故答案为：；； ∵方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：24； ②∵，， ∴ ， ∴； （3）阴影部分面积和为： ， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积和等于． 45．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解：， 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】利用配方法解决下列问题： （1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　． 【拓展提高】 （2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ （3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），20； （2）当时，代数式取得最小值，最小值为16； （3），理由见详解 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是； ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值是． 故答案为：，20； （2） ， ∵， ∴当，，即时，代数式取得最小值，最小值为16； 故答案为：当时，代数式取得最小值，最小值为16； （3），理由如下： 根据题意，可得， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 46．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为______； (2)如果，则；如果，则；如果，则． 已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得，． 又∵对于任意实数满足， ． 的最小值为． 故答案为：； （2）解：由题意得， ． ∵对于任意实数满足， ． ． （3）解：∵， ∴， ∴． ∴，， ∴，， ； 47．【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 【答案】教材呈现：；活动内容：（1），理由见解析；（2） 【详解】解：教材呈现：第一个图的阴影部分面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， ∴重要的结论为：， 故答案为：； 活动内容：（1），理由如下： ，或， ， ， ； （2）由题意知：， ， ， ， ， ， ． 试卷第2页，共48页 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业03 乘法公式 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：用平方差公式进行计算】 1．下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 2．计算时，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 4．已知为实数，若有整数，，满足，则称是，的弦数．若且为整数，请写出一组，使得是，的弦数： ． 5．计算： 6．先化简，再求值．，其中 7．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【题型二：利用完全平方公式进行计算】 8．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若，，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 10．如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 11．已知， (1)求的值 (2)求的值 12．利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 13．已知，求代数式的值 14．先化简，再求值：，其中． 15．已知下列等式：①；②；③；…… (1)请仔细观察这三个式子，写出第④个式子：______： (2)请你找出规律，写出第个式子______，并证明该式成立； (3)利用（2）中发现的规律求的值． 16．阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【题型三：乘法公式与图形面积】 17．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 18．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 19．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 20．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 21．【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 22．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 23．探索规律． 乐乐在计算：、、⋯⋯这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形． (2)根据以上规律计算：________=________ (3)根据以上规律计算并写出过程： 24．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 25．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 26．阅读材料并解决问题： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值． 解： ． 无论x取何值，总是非负数， 即，所以． 所以当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ； (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由． 【题型四：整式的乘法的应用】 27．若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 28．公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 29．已知，则 ． 30．先化简，再求值，其中，． 31．已知多项式，，A与B的乘积中不含有x项，常数项是． (1)求m，n的值． (2)化简求值：当时，求的值． 32．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 33．若定义：，则代数式的最小值为 ． 34．若，，则 (填“”“”或“”)． 35．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 36．如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)先求出代数式，再计算当时，代数式的值； (2)嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由． 37．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片（其中种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长分别为、的长方形），并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号卡片 _____张，号卡片 _____  张，号卡片 _____张； (3)解答问题：若，，则的值为 _____； (4)根据（）中得出的等量关系，解决如下问题，已知，求的值； (5)两个正方形，如图摆放，边长分别为，．若，，则图中阴影部分面积的和为 _____． 38．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 39．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ，（填序号）； (2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 40．利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 41．【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 42．如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 43．材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 44．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是　 　 ； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 45．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解：， 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】利用配方法解决下列问题： （1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　． 【拓展提高】 （2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ （3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 46．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为______； (2)如果，则；如果，则；如果，则． 已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知，求的值． 47．【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 试卷第2页，共48页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$