暑假作业02 整式的乘法（5大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业02 整式的乘法 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：单项式的乘法】 1．下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算正确，该选项不符合题意； B、，原式计算错误，该选项符合题意； C、，原式计算正确，该选项不符合题意； D、，原式计算正确，该选项不符合题意； 故选：B． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 故选：D． 3．计算的结果是（　　） A．2 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：． 故选C． 4．计算的结果是 【答案】/ 【详解】解：． 故答案为∶ ． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式的乘法．先根据乘方运算法则计算，再计算单项式的乘法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型二：单项式乘以多项式及其应用】 6．若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：长方形的面积为：， 故选：A． 7．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：， ∴， ∴ ． 故选：B． 8．计算： ． 【答案】/ 【详解】解：， 故答案为：． 9．一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 【答案】 【详解】解：依题意，休闲区的面积：， 滑梯区的面积：， ∴， 故答案为：那么至少需要的软垫， 故答案为： 10．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解： ； 当时，原式． 【题型三：多项式乘以多项式及其应用】 11．观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：由题意得：，； ，； ，或，； ，的值可能为：，； 故选：A 12．已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】∵，， ∴，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故不能为5， 故选：A． 13．若，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解： ， 则，， 故选：C 14．已知，则 ． 【答案】 【详解】解：， 已知，即，将其代入上式可得： ， 故． 故答案为：4． 15．如果可分解为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 16．计算 ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 17．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ． 故答案为：． 18．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 19．光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm． (1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示） (2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2． 【答案】(1) (2)1100 【详解】（1）由题意得，， ， ； （2）当时， ， 故答案为：1100． 20．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)将，的值代入并化简，求出正确的结果． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：根据题意： ， ∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是 ∴， ∴， ， ∵乙错把看成了，得到的结果是， ∴， ∴． （2）解：根据， 可知： 21．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 【题型四：整式乘法与图形面积】 22．观察图形，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由长方形的面积可得： 图中长方形的面积为：或； ∴， 故选：C 23．如图，在同一平面内，正方形A的边长为，矩形的两边长为和，将正方形A在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：当正方形A完全进入矩形B中，S有最小值，即为： ； 故选A． 24．如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    【答案】7 【详解】解：∵， ∴系数为7， 故需要C类卡片7张， 故答案为：7． 25．某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“T”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草．    (1)用含x，y的式子表示“T”型花画的面积并化简． (2)当时，求“T”型花画的面积． 【答案】(1) (2)“”型区域的面积是平方米 【详解】（1）解： “”型区域的面积为： ． （2）解：当，时， (平方米) 答：“”型区域的面积是平方米． 26．数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． (1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； (2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 【答案】(1)见解析，4216 (2)，见解析 【详解】（1）解：如图， 由图可得； （2）解：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， ∴该等式成立． 27．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1)(2)45(3)4 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，所以有， 故答案为：； （2）解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，所以需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张，即， 故答案为：45； （3）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意： ， ， ， ， ， 即2号卡片的边长为4． 【题型五：多项式乘法的规律探究】 28．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， , ∴展开式中所有项的系数和是， ∴展开式中所有项的系数和是， 故选：． 29．观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 故答案为：； （2）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； ∴第个等式为：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边． 30．阅读材料 数学活动—探究日历中的数字规律如图1是2025年2月份的日历，小宇在其中画两个的方框，每个框均框住的位留为四个数，计算“”的值，探索其运结果的规律． a c b d 2025年2月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 图1 2025年4月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 图2 (1)计算：________： (2)小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：理由如下： 设，则，________，________． 所以________． (3)同学们利用小宇的方法，借助2025年4月份的日历，继续进行如下探究．在日历中用“十字框”框住的位置为五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． b a o d c 【答案】(1)7 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：理由如下： 设，则，，． 所以； （3）设，则：， ∴． 31．如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①② 【详解】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ，故①正确； 由题意得，， 当，时，，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ， 当的值是0时，则， ， 和互为相反数，不一定是，，故③错误； 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， …… 依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误； 综上所述，正确的序号是①②． 故答案为：①②． 32．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 （1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ （2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____；②_______________； （2）_______________=_____；…… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】（1）① ②10；11；11025 （2）5；6；21；3021 （3），证明见解析 【详解】解：（1）① 故答案为：2025； ② 故答案为：10；11；11025． （2） 故答案为：5；6；21；3021． （3）   证明如下： 左边 ， 右边， 左边=右边， ． 33．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： … ①仿照上述等式，写出 ； ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立； (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用： ． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)成立，，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和， 则两位数乘法的规律为， 证明：展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和， 则两位数的乘积为， 展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （3）当时，代入得： ， 故答案为：． 34．【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则另外一个两位数为， ∴用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：； ． 35．若，，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 36．如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ． 【答案】 【详解】第1行有1项，； 第2行有2项， 第3行有3项， 第4行有4项， … ∴第n行有n项， ∵的展开式共有6项 ∴ 根据题意得， ∴ ∴各项系数分别为32，，80，，10， ∴最小的为． 故答案为：． 37．观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由； ； ； … 观察发现：， 当，时，得 ， ． 故选：A． 38．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ∴， ∵阴影部分的面积为8， ∴，即， ∴， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为． 故选：C 39．已知，，…，都是正数，设，，那么M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】解：设， 则， ， 所以， 因为，都是正数， 所以， 所以， 故选：C． 40．有如下的一列代数式：，，，，，⋯⋯；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若代数式含有因式，则； ③若，那么当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①若， ， 故①正确； ② ， ∵代数式含有因式， ∴设 ∴， ∴，整理得， ∴， 故②正确； ∵， ， ， ， ， ∴， ， ∴当时，， ，， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； ∴， 当时，，，，则； ∴， 故③正确， 综上所述，正确的个数为3， 故选：D． 41．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】21 【详解】解：由题意得： ， ， ， 当时，原式． 42．数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：解：依题意得：，，，，， 故答案为：． 43．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 根据定义化简，可得出，，，， ，再化简，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的值为． 44．【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 【答案】（1）30，30；（2）；（3）不能 【详解】解：（1）第1个图有2颗（★），一行两列， 第2个图有6颗（★），二行三列，， 第3个图有12颗（★），三行四列，， 第4个图有20颗（★），四行五列，， ∴第5个图有30颗（★），五行六列，， 第6个图有42颗（★），六行七列，， 第8个图有72颗（★），八行九列，， ∴第8个图形比第6个图形多颗星（★）， 故答案为：，； （2）根据上述计算得到，第n个图，行列，，有颗（★） 第个图，行列，，有颗（★） ∴， 故答案为：； （3）假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗， ∴， 解得，， ∵不是正整数， ∴假设不成立， ∴第个图形不能比第个图形中的星恰好多颗． 45．已知长方形，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时， ． 【答案】6 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， = = =， = =， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 46．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 47．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 48．在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【详解】解： （1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3）① ， ． ② 由 （2）的规律知： ， 的结果不含 的项， ， ． 49．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)当时，a，b，c，d是一组平衡数 【详解】（1）解： （2）由题意，得 ， 因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可） （3）， ，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数 50．如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 【答案】(1)见详解 (2)，，， (3)5种 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：图②的面积可以表示为：，也可以表示为， ∴， 图③的面积可以表示为：，也可以表示为， ∴， 故答案为：，，； （3）解：根据条件可得，除了图②和图③外，还可以拼出五种不同的长方形， 第一种，由， 故长方形的长为，宽为，由1个卡片，2个卡片，2个卡片，1个卡片拼得； 第二种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得； 第三种，由， 故长方形的长为，宽为，由1个卡片，1个卡片，2个卡片，2个卡片拼得； 第四种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，1个卡片，1个卡片拼得； 第五种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得． 51．【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律． 如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 请你根据以上信息解答下列问题： 【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗?并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确； 【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______； 【实践应用】请你利用以上规律计算： 【答案】【探索发现】：，证明见解析；【拓展探究】：， ；【实践应用】： 【详解】【探索发现】解： 证明：左边 =右边； 故． 【拓展探究】解：∵，它只有一项，系数为；系数和为，且； ，它有两项，系数分别为，；系数和为，且； ，它有三项，系数分别为，，；系数和为，且； ，它有四项，系数分别为，，，；系数和为，且； 以此类推， 的展开式有项，系数和； 故答案为：，． 【实践应用】解： ． 试卷第2页，共41页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业02 整式的乘法 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：单项式的乘法】 1．下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（　　） A．2 B．2 C． D． 4．计算的结果是 5．计算： ． 【题型二：单项式乘以多项式及其应用】 6．若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 7．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 8．计算： ． 9．一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 10．先化简，再求值：，其中 【题型三：多项式乘以多项式及其应用】 11．观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 13．若，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 14．已知，则 ． 15．如果可分解为，则 ． 16．计算 ． 17．若，则 ． 18．计算：． 19．光伏电池板可以将光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大．现将一块长90cm，宽60cm的长方形光伏电池板的长和宽分别增加a cm、b cm． (1)光伏电池板的面积增加了多少cm2？（用含a，b的代数式表示） (2)当时，光伏电池板的面积增加了________cm2． 20．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． (1)求、的值； (2)将，的值代入并化简，求出正确的结果． 21．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【题型四：整式乘法与图形面积】 22．观察图形，与相等的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在同一平面内，正方形A的边长为，矩形的两边长为和，将正方形A在这个平面内移动的过程中，矩形被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（   ） A． B． C． D． 24．如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    25．某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“T”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草．    (1)用含x，y的式子表示“T”型花画的面积并化简． (2)当时，求“T”型花画的面积． 26．数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． (1)请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； (2)设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 27．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【题型五：多项式乘法的规律探究】 28．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 29．观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 30．阅读材料 数学活动—探究日历中的数字规律如图1是2025年2月份的日历，小宇在其中画两个的方框，每个框均框住的位留为四个数，计算“”的值，探索其运结果的规律． a c b d 2025年2月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 图1 2025年4月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 图2 (1)计算：________： (2)小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：理由如下： 设，则，________，________． 所以________． (3)同学们利用小宇的方法，借助2025年4月份的日历，继续进行如下探究．在日历中用“十字框”框住的位置为五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． b a o d c 31．如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 32．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 （1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ （2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____；②_______________； （2）_______________=_____；…… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 33．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： … ①仿照上述等式，写出 ； ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立； (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用： ． 34．【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 35．若，，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 36．如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ． 37．观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 38．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 39．已知，，…，都是正数，设，，那么M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 40．有如下的一列代数式：，，，，，⋯⋯；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若代数式含有因式，则； ③若，那么当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 41．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 42．数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 43．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 44．【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 45．已知长方形，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时， ． 46．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 47．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 48．在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 49．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 50．如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 51．【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律． 如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 请你根据以上信息解答下列问题： 【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗?并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确； 【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______； 【实践应用】请你利用以上规律计算： 试卷第2页，共41页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$