精品解析：河北省保定市唐县河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

2024级高一3+1下学期5月考试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则“向量共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 4. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 13. 设数列满足.则数列的前n项和为_______． 14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 16. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，，求的面积． 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 18. 已知点，分别为椭圆：的左顶点和右焦点（椭圆的左顶点，右焦点．），直线过点且交椭圆于P，Q两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求椭圆的离心率； （2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由． 19. 已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一3+1下学期5月考试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限. 【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 2. 已知，则“向量共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立； 若，而，则向量同向共线，必要性成立； 所以“向量共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状. 【详解】连接， 因为平面，平面， 所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 同理可证明， 因为，平面， 故平面， 故平面即为平面， 则截该正方体所得截面的形状为三角形. 故选：A 4. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可. 【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 6. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 7. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 8. 已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设，， 由，代入不等式中， 化简，得恒成立， 则有， 解得，而，所以 故选：A 【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，则且与不共线， 则且，解得且， 故答案为：. 13. 设数列满足.则数列的前n项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到：当时，， 相减可得，再结合错位相减法即可求解. 【详解】因为（1）， 所以当时，， 当时，（2）， （1）（2）可得：，即， 当时，，对上式也成立， 所以 所以， 记数列的前n项和为， 则①， 所以②， ①-②可得：， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________. 【答案】 【解析】 【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可. 【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为， 则①， ②， 由①-②得： ， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 【答案】（1）；平均数；中位数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果； （3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为1可得， 解得， 高中生的平均数为， 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. 【小问2详解】 、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名. 【小问3详解】 由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则. 16. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，结合正弦定理可求得结果； （2）由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 即， 即， 即， 因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故. 【小问2详解】 因为，则，故， 所以， 即，即①， 由余弦定理可得，即②， 联立①②可得，，故， 因此，. 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 18. 已知点，分别为椭圆：的左顶点和右焦点（椭圆的左顶点，右焦点．），直线过点且交椭圆于P，Q两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求椭圆的离心率； （2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在直线： 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程可得，由离心率公式求出； （2）当直线斜率不存在时，由对称性得出，当直线斜率存在时，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理以及斜率公式化简得出的值，从而得出直线方程. 【小问1详解】 由椭圆方程可知，，，， ∴，， 故椭圆的率心率． 【小问2详解】 如图， 假设存在直线，满足． 当直线斜率不存在时，，不合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立，化简得． 由题意易知恒成立． 设直线与椭圆的两个交点为，， 根据韦达定理得，， 则 ， ∴，即直线：，化简得． 综上可知，存在直线：，满足． 【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于联立椭圆和直线方程，由韦达定理、斜率公式建立与的关系，进而由得出. 19. 已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【答案】（1）证明：由得， 所以， 所以是等比数列，首项为，公比为3， 所以， 解得； （2）由（1）知：，所以， 因为当时，，所以， 于是=， 所以. 【解析】 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）略 （2）略 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路. 考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $