3.2等式的基本性质 同步练习 2024-2025学年 湘教版数学七年级上册

3.2等式的基本性质 同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列变形：如果，则；如果，则；如果，则；如果，则其中正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.下列等式变形错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4.解一元一次方程时，去分母正确的是(    ) A. B. C. D. 5.下列解方程的过程中，正确的是(    ) A. 将去括号得： B. 由得： C. 将去分母得 D. 由得： 6.根据等式的性质，由可得(    ) A. B. C. D. 7.下列运用等式的性质变形错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8.对于一元二次方程，下列说法： 若，则； 若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； 若是方程的一个根，则一定有成立； 若是一元二次方程的根，则； 其中正确的(    ) A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有 9.由可以得到用表示的式子是(    ) A. B. C. D. 10.下列四个解方程过程中变形正确的是(    ) A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 11.下列变形中，不正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12.下列等式变形正确的是(    ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若，则  D. 若 ，则 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.有盒饼干，其中的盒质量相同，另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少______次保证可以找出这盒饼干． 14.比的倍大的数等于的倍，列等式表示为______． 15.已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为          ． 16.将等式变形，过程如下：因为，所以第一步，所以第二步，上述过程中，第一步的根据是          ，第二步得出了明显错误的结论，其原因是          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在信息时代信息安全很重要，往往需要对信息进行加密，按照“乘加取个位”的方式逐位加密，给明码，就可以求出密码，如明码为“”，则加密之后的密码为“”；具体求法如下：先看明码的十位上数字“”，则，取个位，得密码的十位上数字“”；再看明码的个位上数字“”，则，取个位，得密码的个位上数字“”，由此得密码为“”反之，给出密码，也可以求出明码，如密码为“”，则明码为“”；具体求法如下：设明码十位上的数字为，则，则有，由密码十位上的数字为“”所以可能为、、， 当时，解得，符合题意； 当时，解得不是整数，舍去； 当解得不是整数，舍去； 所以得到明码十位上的数字为；同理，可到明码个位上的数字为，故明码为“”． 根据上面的阅读材料，回答问题 若明码为“”，则密码为______． 若密码为“”，则明码为______． 将明码“”按上述加密方法，经过两次加密得密码为______． 若某明码按上述加密方法，经过两次加密得到密码是“”，则明码是______． 18.本小题分 回答问题，如果需要可以举例说明． 如果，那么的值是多少？ 如果，那么的值是多少？ 如果，可以取哪些数？ 如果，可以取哪些数？ 19.本小题分 通州区期中根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 如果，那么________； 如果，那么________； 如果，那么________． 中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”请运用这种方法尝试解决下面的问题： 比较与的大小； 若，比较，的大小． 20.本小题分 若，满足方程，，且，求的值； 已知，且，求的值； 若，，满足，，求的最大值． 21.本小题分 我们在七年级学习过解一元一次方程，八下课本第二章第四节学习解一元一次不等式。请你类比解下列一元一次方程学习解一元一次不等式，并完成下列问题。 解一元一次不等式，并把它解集表示在数轴上． 结合本题说明等式基本性质与不等式基本性质的区别． 22.本小题分 如图，已知，，，，与平行吗？与平行吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内注明说理依据． 解：，已知， ． ____________． 又已知， ． ____等式的性质． 同理可得____． 即． ____________． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为的数或式子，等式仍然成立依据其性质依次判断即可． 【解答】 解：如果，则，正确； 如果，则，错误，因为如果，则和不一定相等； 如果，则，正确； 如果，则，正确． 则其中正确的是， 故选B． 2.【答案】  【解析】解：、两边都加，等式依然成立，故A不符合题意； B、两边都减，等式依然成立，故C不符合题意； C、两边都乘以，等式依然成立，故C不符合题意； D、时，两边都除以无意义，故D符合题意； 故选：． 根据等式的性质，可得答案． 本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立，可得答案． 【解答】 解：、若，则，正确； B、若，则 ，正确； C、若，则，正确； D、若，时，两边都除以无意义，错误； 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．根据等式的基本性质将方程两边都乘以可得答案． 【解答】 解：方程两边都乘以， 得：， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：将去括号，得， 不正确，不符合题意； 将的两边同除以，得， B正确，符合题意； 将去分母，得， 不正确，不符合题意； 将两个分数的分子、分母同乘以，得， 不正确，不符合题意． 故选：． A.根据“括号前面是负号，去括号后要变号”去括号即可； B.根据等式的基本性质，将方程两边同除以即可； C.根据等式的基本性质，将方程两边同乘以即可； D.将两个分数的分子、分母同乘以即可． 本题考查解一元一次方程、等式的性质，熟练掌握并灵活运用一元一次方程的解法及等式的个基本性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】根据等式的基本性质：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质：等式的两边都乘以或者除以同一个数除数不为零，所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决． 【解答】解：、根据等式的性质，由可得，故此选项不符合题意； 、根据等式的性质，由可得，故此选项符合题意； 、根据等式的性质，由可得，故此选项不符合题意； 、根据等式的性质，当时，由可得，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理． 7.【答案】  【解析】解：、若，当时，根据等式的性质，有；当时，、可以不相等；故A错误，符合题意； B、若，可知，根据等式的性质，有，故B正确，不符题意； C、若，因为，根据等式的性质，有，故C正确，不符题意； D、若，根据等式的性质，有，故D正确，不符题意； 故选：． 根据等式的性质逐项判断即可求解． 本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：， 是一元二次方程的解， ，结论正确； 方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，结论正确； 是方程的一个根， ， 若为，则无法得出，结论不正确； 是一元二次方程的根， ， ， ，结论正确． 正确的结论有． 故选：． 由，可得出是一元二次方程的解，进而可得出； 由方程有两个不相等的实根，可得出，结合偶次方的非负性，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实根； 代入，可得出，当时，无法得出； 利用求根公式，可得出，变形后即可得出． 本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】本题考查了等式的性质、去分母，每一项同乘公约数移项即可求得结果，正确化简是解题的关键． 【详解】解：， 同乘可得：， 移项可得：， 同时除以可得：， 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解答此题根据等式的基本性质将方程变形即可． 【解答】 解：由，得：，不符合题意； B.由，得：，不符合题意； C.由，得：，符合题意； D、由，得：，不是，不符合题意， 故选C． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等式的基本性质的应用，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。等式的基本性质等式两边同时乘或除以同一个不为的整式，等式仍然成立。解题的关键是对等式性质的熟练应用。 根据等式的基本性质判断选项，根据等式的基本性质判断、、选项即可． 【解答】 解：、根据等式的基本性质，等式的两边同时减去，得，故此项正确； B、当时，不能由得，故此项不正确； C、首先根据等式的基本性质，等式两边同时除以得，再根据等式的基本性质，等式两边同时减去，得，故此项正确； D、由可知，由此在等式两边同时乘，得，故此项正确， 故选B． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的基本性质是等式的两边都加上或减去同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质是等式的两边都乘以或除以同一个数除数不能为，所得的结果仍是等式．据此逐项分析即可． 【解答】 解：若，则两边都乘以得，原变形错误，不符合题意； B.若，则两边都乘以得，原变形错误，不符合题意； C.若，则两边都减得，两边再减得，正确，符合题意； D.若，则两边都乘以得，原变形错误，不符合题意， 故选C． 13.【答案】  【解析】解：把盒饼干任意盒一组分成组，取任意两组放在天平上称，如天平平衡，则次品在没称的一组中，若不平衡，则在轻的一组中； 再把轻的一组分成三组，把盒一组的放在天平上称，若平衡，则分成一盒一组的是次品，若不平衡，则在轻的一组中； 再把轻的这两盒放在天平上称，即可找出次品； 综上，至少称次保证可以找出这盒饼干， 故答案为：． 将盒饼干依次分组后进行判断即可． 本题考查等式的性质，由题意将它们进行正确的分组是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意，得， 故答案为：． 根据题意的倍表示为，即得出，同理的倍表示为，再用等号连接即可． 本题考查代数式和等式的性质等知识点，关键是能列代数式表示题意所反映的数量关系． 15.【答案】  【解析】【分析】 根据题意得出的值，进而得出答案． 此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出的值是解题关键． 【解答】 解：因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程两边各项乘得到：， 方程和方程同解， 所以， 解得：0． 故答案为：0． 16.【答案】等式的基本性质 没有考虑的情况   【解析】【分析】 此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．利用等式的基本性质判断即可． 【解答】 解：将等式变形，过程如下：因为，所以第一步，所以第二步，上述过程中，第一步的根据是等式的基本性质，第二步得出了明显错误的结论，其原因是没有考虑的情况， 故答案为等式的基本性质；没有考虑的情况． 17.【答案】        【解析】解：，取个位，得密码的十位数字是，；，取个位，得密码的个位数字是，因此密码为． 故答案为：； 设明码十位上的数字为，则， 所以， 由密码十位上的数字为“”， 所以可能为、、， 当时，解 不是整数，舍去； 当时，解得，符合题意； 当时，解得 不是整数，舍去． 所以得明码的十位数字是；同理，可到明码个位上的数字为， 所以明码是． 故答案为：； ，，，即经过第一次加密后密码是； ，，，即经过加密后密码为， 所以经过两次加密后的密码是． 故答案为：； 当密码为时，设明码千位上的数字为，则，则有，由密码千位上的数字是“”，所以可得可能是，，． 当时，解得，不是整数，不符合题意舍去； 当时，解得，不是整数，不符合题意舍去； 当时，解得，符合题意． 所以得到明码千位上的数字是；同理，可得明码百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是，故明码为“”； 当密码为时，设明码千位上的数字为，则，则有，由密码千位上的数字是“”，所以可得可能是，，． 当时，解得，是整数，符合题意； 当时，解得，不是整数，不符合题意舍去； 当时，解得，不是整数，不符合题意舍去． 所以得到明明千位上的数字是；同理，可得明码百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是，故明码为． 故答案为：． 、根据给明码求密码的具体计算方法直接计算即可； 、根据给密码求明码的具体计算方法直接计算即可． 本题考查了数字问题的应用，认真阅读材料，正确计算是解题的关键． 18.【答案】解：由题意，， ． 由题意，， ． ． 由题意，， 为绝对值是它本身的数． 取非负数． 由题意，， 为绝对值是它的相反数的数． 取非正数．  【解析】依据题意，根据绝对值、相反数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 本题主要考查了绝对值、相反数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 19.【答案】【小题】 ；  ； 【小题】 解：因为， 所以；   两边都减去，得， 所以，所以．   【解析】 【分析】 此题考查不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． 根据不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变求解即可； 根据等式的两边同时加上同一个数，等式仍然成立求解即可； 根据不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变求解即可． 【解答】 解：因为，所以，即； 因为，所以，即； 因为，所以，即．  此题考查不等式的性质，整式的加减，解题关键是理解“求差法比较大小”． 先根据整式的减法计算得到，然后根据“求差法比较大小”即可求解； 先根据不等式的性质两边都减去，可得，即，最后根据“求差法比较大小”即可求解． 20.【答案】解：由题意得，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ； 易知， 等式两边同时乘，得，即， 又，， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ； ，， ，， ，且， ， ， ， ， ， ，即的最大值为．  【解析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、整体代入法求代数式的值． 先根据一元二次方程的解的定义结合已知得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系得出，的值，最后利用整体代入法即可求出所求代数式的值； 本题主要考查了等式的基本性质、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值． 先根据等式的基本性质、一元二次方程的解的定义结合已知得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系得出，的值，最后将所求分式利用分式的加减运算法则化简后将，的值代入计算即可得解； 本题主要考查了完全平方公式、偶次方的非负性、不等式的基本性质． 先根据已知条件得出，，再根据完全平方公式结合偶次方的非负性得出，即，最后根据不等式的基本性质即可求得的最大值． 21.【答案】解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得  系数化为，得 不等式的解集在数轴上表示为： 区别：等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数，等式仍然成立． 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等式仍然成立，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等式改变方向．   【解析】本题主要考查一元一次不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，还考查了等式的基本性质和不等式的基本性质． 解答此题，类比解一元一次方程的方法解一元一次不等式即可，并把解集表示在数轴上． 结合题目，说明等式基本性质 和不等式基本性质 的区别即可． 22.【答案】解：，， 等量代换； 同位角相等，两直线平行 又， ； 等式的性质； 同理可得． 即． 同位角相等，两直线平行．  【解析】根据平行线的判定和等量代换等，填上证明结果和依据即可． 本题考查平行线的判定和等式的性质．正确理解题目中的证明思路是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$