清单02 三角函数的性质与图像（考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

清单02 三角函数的性质与图像 清单01 周期函数 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  清单02 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 清单03 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 清单04 图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 【考点题型一】三角函数的图象（五点作图法）（） 【例1】已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【答案】答案见解析 【详解】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 【变式1-1】用“五点法”作出，的简图. 【答案】答案见解析 【详解】列表： x 0 0 0 1 0 2 1 2 3 2 描点、连线，如图.    【变式1-2】已知函数.    (1)求的最小正周期； (2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）的最小正周期. （2）由（1）， 列对应值表如下： 通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数，的简图如图所示：      【变式1-3】用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【详解】（1）解：由，列表： 描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示.    （2）解：由，可得，列表如下： 1 －1 描点、连线，可得函数的图象，如图所述，    （3）解：列表: 0 0 1 0 -1 0 描点、连线，可得函数的图象，如图所示：      【变式1-4】用“五点法”列表并画出在上的简图，并根据所画图像写出函数的单调递减区间. 【答案】作图见解析；， 【详解】①列表： ②描点： ③连线成图： 易知的最小正周期， 所以的单调递减区间为，. 【考点题型二】周期性和奇偶性（） 【例2】下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是偶函数，故不成立， 对于B，是奇函数，且最小正周期，故成立， 对于C，是奇函数，且最小正周期为，故不成立， 对于D，是偶函数，故不成立. 故选：B 【变式2-1】已知三角函数满足：①为偶函数，②，③，写出一个满足条件的函数 ． 【答案】（答案不唯一，满足题意均可） 【详解】因为，所以是周期为2的偶函数， 不妨设， 因为，所以，可得， 所以． 故答案为：（答案不唯一，满足题意均可）. 【变式2-2】（多选）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由， 则该函数为偶函数，且周期为，故A正确； ， ∵，故该函数为偶函数， 周期为周期的一半，故，故B正确； ，故是偶函数， ,周期，故C错误； 为非奇非偶函数，故D错误； 故选：AB. 【变式2-3】已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（    ） A．0 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由，则， 则有，解得， 则，又，则， 故. 故选：C. 【变式2-4】若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为. 故选：A 【考点题型三】单调性和对称性（） 【例3】已知函数，下列四个结论中，正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 【答案】D 【详解】函数，最小正周期，A选项错误； 由， 则函数的图象不关于直线对称，B选项错误； 由， 则函数的图象不关于点对称，C选项错误； 时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，D选项正确. 故选：D 【变式3-1】函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】C 【详解】由， 得， 即单减区间为， 又，所以单减区间为. 故选：C 【变式3-2】函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以函数的图象的对称中心为，， 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心. 故选：C. 【变式3-3】下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：函数在上单调递增，在上单调递减，故A不满足题意； 对B：函数在上单调递减，故B不满足题意； 对C：函数在上单调递增，故C满足题意； 对D：函数在区间无意义，所以D不满足题意. 故选：C 【变式3-4】已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】C 【详解】对于A，函数的最小正周期，A正确； 对于B，由，，得，， 所以函数的定义域为，B正确； 对于C，由，，得，， 所以函数的图象的对称中心为，，C错误； 对于D，由，，得，， 所以函数的单调递增区间为，，D正确. 故选：C 【考点题型四】求三角不等式（） 【例4】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即，所以的解集是. 故选：B. 【变式4-1】已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，即，所以， 又，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】因为，所以，， 所以，， 因为，所以，， 所以，， 因为真包含了， 所以 “”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式4-3】函数的定义域为 【答案】 【详解】由题，，解得， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-4】函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由对数函数的定义可知底数大于0且不为1，且真数大于0，结合三角函数的性质可得： . 故答案为：. 【考点题型五】求最值（值域）（） 【例5】求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）当时，即时，函数取的最小值，最小值为； 当时，即时，函数取的最大值，最大值为； 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为5，取最大值时对应的取值的集合为 （2）， 因为，所以当时，即时，函数取最小值，， 当时，即时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为3，取最大值时对应的取值的集合为 （3）因为， 所以当时，取最小值，， 当时，取最大值，， 综上，，取最小值时对应的取值集合为， ，取最大值时对应的取值集合为 （4）， 因为，所以当时，即时，函数取最小值，， 当时，即或时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为，取最大值时对应的取值的集合为 【变式5-1】若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB选项，时，， 其中， 显然的最小值为-2，只需内有即可， 当时，取得最大值，最大值为， 故，A错误，B正确； CD选项，同理的最大值为2，只需内有即可， 当时，取得最小值，最小值为， 故，CD错误； 故选：B 【变式5-2】在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，所以， 由诱导公式知，, 又，所以，所以，即的最大值为. 故选：A. 【变式5-3】函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 故，令， 得到，由二次函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 而，，故，故原函数值域为. 故答案为： 【变式5-4】已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)最大值和最小值分别为. 【详解】（1）由，，得， 故的单调递增区间为. （2）由于，故， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而， 则， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 【考点题型六】根据奇偶性和对称性求参数（） 【例6】已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 由于函数在上有且只有一个零点， 故，解得， 故选：B 【变式6-1】已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为均为偶函数， 所以与的图象均关于直线对称， 所以， 即，. 所以的最小值为2． 故选：B 【变式6-2】“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 【变式6-3】已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，， 得或，解得或， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式6-4】已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，解得， 因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以，则， 故选：A． 【考点题型七】根据单调性求参数（） 【例7】已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题， 因为在区间内单调递增， 所以在区间内单调递减， 所以，， 解得，， 又，所以只有当时，不等式有解，解集为， 所以的最大值为. 故选:A. 【变式7-1】已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件： . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题意，得，解得， 又在上单调，所以， 即，解得， 当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意； 当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意； 当时，当时，，，此时在上不单调，不符合题意； 同理可继续验证，其中符合题意. 因此“的图象关于直线对称，且在上单调”的充要条件为“”. 故答案为：（答案不唯一） 【变式7-2】已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 【变式7-3】已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 可知：对应最大值，也即，， 由，且都在区间内， 所以由对称性可知：， 所以， 所以，即， 所以，，又， 取可得：， 所以， 故选：C 【变式7-4】已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，， 由在区间上单调，则， 于是，解得， 由，得，因此或， 又，则，，所以. 故选：C 【考点题型八】根据最值（值域）求参数（） 【例8】已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间； (2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值． 【答案】(1);; (2)或. 【详解】（1）因为, 所以函数的最小正周期为， 令, 得,， 所以函数的对称中心为, 令， 得， 故函数的减区间为. （2）， 又当时，， 则， 若， 则有，解得， 当时， ，解得， 又明显不符合题意， 故或者. 【变式8-1】已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为，值域为，则， 则观察函数图象可得，的最大值为的最小值为， 故选：D. 【变式8-2】已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以． 画出的图象，如图．    由图，得或，解得或． 故选:C． 【变式8-3】设函数 ．若对任意实数都成立，则的值可以为 .（答案不唯一，写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一，符合即可） 【详解】对任意实数都成立，则时，， 所以，则，解得 因为，取，则. 故答案为：（答案不唯一，符合即可） 【变式8-4】已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； 【答案】(1) (2)或5； 【详解】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. 【考点题型九】由图象确定函数的解析式（） 【例9】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据图象可知，即，解得； 又，即， 解得，又，因此； 所以， 因此. 故选：B 【变式9-1】函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由图可得：周期，所以， 代入最低点得：， 可得：，解得， 所以有， 再由，解得， 故函数的增区间为， 故选：A. 【变式9-2】（多选）如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（   ） A． B． C．是曲线的一条对称轴 D．曲线向右平移1个单位后关于原点对称 【答案】AC 【详解】因为，，所以，所以函数的周期为， 所以，故选项B错误； 则函数，当函数取最大值时，， 解得，故函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为， 又，所以，所以，故选项A正确； 当时，为函数最小值， 故是曲线的一条对称轴，故选项C正确； 曲线向右平移1个单位后， 显然不关于原点对称，（），故D错误. 故选：AC 【变式9-3】（多选）已知如图是函数的部分图象，则（   ）    A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．若在上的值域为，则的最大值为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象 【答案】BCD 【详解】观察图象，得，即，而，解得， 又，且在函数的递增区间内，则， 解得，，解得，因此，， 对于A，，不是函数的对称中心，A错误； 对于B，由，得，在单调递增，B正确； 对于C，由，得，由在上的值域为， 得，解得，因此的最大值为，C正确； 对于D，将向左平移个单位后，得，为偶函数，D正确. 故选：BCD 【变式9-4】已知函数的部分图象如图所示． (1)求，，． (2)已知函数． ①求的分段解析式； ②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；② 【详解】（1）由题图可知，由，得， 得．由题图可知，的图象过点， 则，得， 因为，所以． （2）①当时，， 此时，得． 当时，， 此时，得． 故． ②由，得． 由，得， 即或， 因为在上的图象与直线恰有3个公共点， 所以， 得，即的取值范围为. 【考点题型十】三角函数的图象变换（） 【例10】对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】A 【详解】易知将向右平移个单位可得. 故选：A 【变式10-1】（多选）已知函数．则能够使得变成函数的变换为（   ） A．先横坐标变为原来的，再向左平移 B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C．先向左平移，再横坐标变为原来的 D．先向右平移，再横坐标变为原来的 【答案】ACD 【详解】先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象；再将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误； 先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项C正确； 先将的图象向右平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项D正确. 故选：ACD 【变式10-2】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为 . 【答案】 【详解】由题意，， 令，解得， 所以函数的单调增区间为 故答案为： 【变式10-3】要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【详解】因为， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：B. 【变式10-4】已知向量，，函数． (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为向量，，函数， 所以 ， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）知， 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位， 则， 当时，，， 则． 所以在的值域为. 【考点题型十一】三角函数在生活中的应用（） 【例11】如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【详解】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 【变式11-1】如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，， 所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离. 故选：C 【变式11-2】由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 【变式11-3】（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【答案】CD 【详解】函数中，，所以， 时，，解得，所以， 所以，故A错误； 令时，得，则， 解得，所以的最小值为分钟，即用时秒， 所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误； 由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确； 当点运动2秒时，即时，，故D正确； 故选：CD 【变式11-4】如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)； (2)6h． 【详解】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 22 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 三角函数的性质与图像 清单01 周期函数 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  清单02 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 清单03 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 清单04 图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 【考点题型一】三角函数的图象（五点作图法）（） 【例1】已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【变式1-1】用“五点法”作出，的简图. 【变式1-2】已知函数.    (1)求的最小正周期； (2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图. 【变式1-3】用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【变式1-4】用“五点法”列表并画出在上的简图，并根据所画图像写出函数的单调递减区间. 【考点题型二】周期性和奇偶性（） 【例2】下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知三角函数满足：①为偶函数，②，③，写出一个满足条件的函数 ． 【变式2-2】（多选）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（    ） A．0 B． C．4 D． 【变式2-4】若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】单调性和对称性（） 【例3】已知函数，下列四个结论中，正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 【变式3-1】函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【变式3-2】函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【考点题型四】求三角不等式（） 【例4】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则不等式的解集为 ． 【变式4-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【变式4-3】函数的定义域为 【变式4-4】函数的定义域为 . 【考点题型五】求最值（值域）（） 【例5】求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【变式5-1】若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】函数的值域为 . 【变式5-4】已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【考点题型六】根据奇偶性和对称性求参数（） 【例6】已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【变式6-3】已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 . 【变式6-4】已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】根据单调性求参数（） 【例7】已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式7-1】已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件： . 【变式7-2】已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式7-3】已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】根据最值（值域）求参数（） 【例8】已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间； (2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值． 【变式8-1】已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】设函数 ．若对任意实数都成立，则的值可以为 .（答案不唯一，写出一个满足条件的值即可） 【变式8-4】已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； 【考点题型九】由图象确定函数的解析式（） 【例9】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式9-1】函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（   ） A． B． C．是曲线的一条对称轴 D．曲线向右平移1个单位后关于原点对称 【变式9-3】（多选）已知如图是函数的部分图象，则（   ）    A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．若在上的值域为，则的最大值为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象 【变式9-4】已知函数的部分图象如图所示． (1)求，，． (2)已知函数． ①求的分段解析式； ②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围． 【考点题型十】三角函数的图象变换（） 【例10】对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【变式10-1】（多选）已知函数．则能够使得变成函数的变换为（   ） A．先横坐标变为原来的，再向左平移 B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C．先向左平移，再横坐标变为原来的 D．先向右平移，再横坐标变为原来的 【变式10-2】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为 . 【变式10-3】要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式10-4】已知向量，，函数． (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 【考点题型十一】三角函数在生活中的应用（） 【例11】如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【变式11-1】如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【变式11-3】（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【变式11-4】如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$