精品解析：河南省鹤壁市2025年中考一模考数学试题(1)

2025年初中学业水平调研暨中考模拟测试 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 2的绝对值是（　　） A. B. C. D. 2 2. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个平面展开图如图所示，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 祝 B. 你 C. 成 D. 功 5. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《九章算术》中有个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人与钱各几何？”意思是：“有若十人共同出钱买鸡，如果每人出9钱，那么多了11钱；如果每人出6钱，那么少了16钱．问：人和钱的数量各是多少？”如果设有个人共同出钱买鸡，则可列一元一次方程（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（ ） 2031 1 3 A. 2024 B. C. 2025 D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 8. 某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下(单位：分)：80，90，70，100，60，80，80，则这组数据的中位数和众数分别是( ) A. 90，80 B. 70，80 C. 80，80 D. 100，80 9. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　） A. B. C. D. 36 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________. 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是_____． 13. 樱花节期间，将分别写有“欢”“迎”“来”“到”“鹤”“壁”的六张除汉字外均相同的卡片（每张卡片上只有一个汉字）放入一个不透明的袋子里，每次摸之前先均匀搅拌，随机摸出一张卡片，不放回，再随机摸出一张卡片，则两次摸出卡片上的汉字能组成“鹤壁”的概率为_____． 14. 如图，在矩形中，，以为直径的半圆与相切于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点 ，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留 ） 15. 如图所示，在矩形中，，为上一点，将沿着翻折得到．连结．若，且，则的长为_____，的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 河南航天宏图信息技术有限公司落户鹤壁，并多次成功完成卫星发射任务，为鹤壁市数字经济发展做出巨大贡献．为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀）．数据整理如图表：根据信息，回答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 众数 7 优秀率 0.5 （1）写出统计表中 ， ，的值； （2）若该校八年级有1200名学生，请估计该校八年级学生成绩优秀的人数； （3）若该校七年级有1000名学生，请估计该校七年级学生高于众数的人数． 18. 如图，在中， 平分，交于点D． （1）尺规作图：作 的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 19. 鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 （1）求的值； （2）该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 20. 数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下点出发沿斜坡到达点，再从点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示．斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知点海拔米，点海拔米． （1）问点测得点的俯角为________，并求点的海拔； （2）求斜坡的坡度； （3）为了方便上下山，若在到之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 21. 跳绳是大家喜欢的一项体育运动．集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．当身高为的小红站在小明右侧绳子的下方，且距小明拿绳子的手时，绳子恰好碰到小红的头顶．现以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式； （2）若身高为的小蓝也站在绳子的下方， ①当小蓝在距小明拿绳子的手右侧时，绳子___________（“会”或“不会”）碰到小蓝的头顶； ②设小蓝与小明拿绳子的手之间的水平距离为，为保证绳子不会碰到小蓝的头顶，求的取值范围． 22. 已知在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行经，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 23. 某学习小组遇到这样一个问题：如图1所示，在中，平分，． （1）请观察猜想之间的数量关系； （2）探究迁移：如图2所示，，是四边形的对角线，，求证：； （3）思维拓展：如图3所示，在中，，是的中点，交于点，点在上，，请直接写出三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平调研暨中考模拟测试 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 2的绝对值是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：2的绝对值是是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键． 2. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 3. 如图所示，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，过点E作，根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故选：C． 4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个平面展开图如图所示，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 祝 B. 你 C. 成 D. 功 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，正方体的平面展开图中，相对面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可求解，掌握正方体的展开图． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面之间一定相隔一个正方形， ∴“你”字所在面相对的面上的汉字是“功”， 故选：． 5. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《九章算术》中有个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人与钱各几何？”意思是：“有若十人共同出钱买鸡，如果每人出9钱，那么多了11钱；如果每人出6钱，那么少了16钱．问：人和钱的数量各是多少？”如果设有个人共同出钱买鸡，则可列一元一次方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．设有个人共同出钱买鸡，根据买鸡需要的钱数不变即可列出方程． 【详解】解：设有个人共同出钱买鸡， 由题意得，． 故选：D． 6. 我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（ ） 2031 1 3 A. 2024 B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设左上角的数字为m，根据题意可得方程，求出，然后得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设左上角的数字为m， m 2031 1 3 由题意得，， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 8. 某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下(单位：分)：80，90，70，100，60，80，80，则这组数据的中位数和众数分别是( ) A. 90，80 B. 70，80 C. 80，80 D. 100，80 【答案】C 【解析】 【详解】∵从小到大排列后为：60,70,80,80,80,90,100， ∴中位数是80，众数是80. 故选C. 点睛：如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数； 9. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形的性质，根据题意得出每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，再根据每次变换后，对角线的长变为上一次的倍即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∴每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复， 又∵余2， ∴第个正方形中与点O相对的顶点在上，即在y轴上， 又∴每次变换后，对角线的长变为上一次的倍， ∴第个正方形中含点O的对角线长为， ∴第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为， 故选： 10. 如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　） A. B. C. D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以，选 ． 【详解】解：如下图，在边上取点，使得和关于对称， 连接，得， 连接，作，垂足为， 由三角形三边关系和垂线段最短知， ， 即有最小值， 菱形中，，， 在△中，， 解得， 是图象上的最低点 ， 此时令与交于点， 由于，在△中， ，又， ， 又的长度为，图2中是图象上的最低点， ， 又， ， 故选：A． 【点睛】本题考查动点及最小值问题，解题的关键是在于通过翻折点轴对称），然后利用三角形三边关系及垂线段最短原理，判断出最小值为． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详解】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 13. 樱花节期间，将分别写有“欢”“迎”“来”“到”“鹤”“壁”的六张除汉字外均相同的卡片（每张卡片上只有一个汉字）放入一个不透明的袋子里，每次摸之前先均匀搅拌，随机摸出一张卡片，不放回，再随机摸出一张卡片，则两次摸出卡片上的汉字能组成“鹤壁”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和两次摸出卡片上的汉字能组成“鹤壁”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图为： 共有30种等可能的结果，其中选到“鹤壁”的结果数为2， 所以两次摸出卡片上的汉字能组成“鹤壁”的概率为． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，以为直径的半圆与相切于点，连接，以点 为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分的面积矩形的面积的面积扇形的面积即可得出答案． 【详解】解：连接， 半圆的直径是，半圆与相切于点， ，， 四边形为正方形，为对角线， ，， 阴影部分的面积矩形的面积的面积扇形的面积 即：阴影部分的面积＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的求法以及矩形的性质，勾股定理等知识点，正确得出的长以及是解本题的关键． 15. 如图所示，在矩形中，，为上一点，将沿着翻折得到．连结．若，且，则的长为_____，的长为_____． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质以及三角函数的定义是解题的关键． 连接，过点F作于点G，设交于点，根据已知条件得出，进而得出，在，中勾股定理求得，进而证明，在中，得出，，进而在，中，求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点F作于点G，设交于点， ∵将沿着翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴在中，， 在中，， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合计算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 河南航天宏图信息技术有限公司落户鹤壁，并多次成功完成卫星发射任务，为鹤壁市数字经济发展做出巨大贡献．为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀）．数据整理如图表：根据信息，回答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 众数 7 优秀率 0.5 （1）写出统计表中，，的值； （2）若该校八年级有1200名学生，请估计该校八年级学生成绩优秀的人数； （3）若该校七年级有1000名学生，请估计该校七年级学生高于众数的人数． 【答案】（1），，7.5 （2）该校八年级学生成绩优秀的人数为人 （3）该校七年级学生高于众数的人数为人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）用乘以八年级的优秀率即可得解； （3）用乘以学生高于众数的人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：由七年级学生成绩统计图可得：分所占的比例最多，故众数， 优秀率； 八年级学生成绩位于第10、11位的成绩分别为分和分，故八年级学生成绩的中位数为； 【小问2详解】 解：（人）， 故该校八年级学生成绩优秀的人数为人； 【小问3详解】 解：（人）， 故该校七年级学生高于众数的人数为人． 18. 如图，在中， 平分，交于点D． （1）尺规作图：作 的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）四边形是菱形， 理由如下： 平分， ， 的垂直平分线是， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）先由角平分线的定义得到，再由线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对角推出，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 （1）求的值； （2）该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 【答案】（1）a的值为30，b的值为45 （2）①（，x取整数）；②当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133 套时，获利最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据“购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①由题意即可得出y关于x的函数关系式，根据“购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半”列出不等式，求出的取值范围即可；②根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 即的值为30，b的值为45； 【小问2详解】 解：①由题意得， ∵购进乒乓球拍的套数不超过120套 ∴， ∵购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半， ， 解得：， 则的取值范围为：， ∴关于的函数关系式为 （，取整数）； ②由中，，可得随的增大而减小， ，取整数， ∴当时，取最大值， 此时， 答：当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套时，获利最大． 20. 数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下 点出发沿斜坡到达 点，再从 点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示．斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知点海拔米，点海拔米． （1）问点测得 点的俯角为________，并求 点的海拔； （2）求斜坡的坡度； （3）为了方便上下山，若在 到之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 【答案】（1）45°，521米；（2）坡度为；（3）米． 【解析】 【分析】（1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，根据斜坡BC的坡度是1：1，可得∠CBD=45°，继而可求得CD的长度，求出B点的高度； （2）根据（1）中求得B点的高度，AB=200米，利用勾股定理求出AE的长度，易求得AB的坡度； （3）根据CF⊥AM，BE⊥AM，BD⊥CF，得出四边形EFDB是矩形，继而可求得AF=800米，CF=600米，利用勾股定理即可求得AC的长度． 【详解】解：（1）如图，过作，为垂足，过 点作，，、 为垂足， ∵斜坡的坡度是， ∴， ∴， ∴ ∴在点测得 点的俯角为， ∴，又米， ∴（米）， ∵点海拔米， ∴ 点的海拔高度为（米）， 即 点处的海拔为521米； （2）∵米，米，（米）， ∴的坡度， 故斜坡的坡度为． （3）∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米，米， ∴米． 即钢缆的长度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题与坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用． 21. 跳绳是大家喜欢的一项体育运动．集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．当身高为的小红站在小明右侧绳子的下方，且距小明拿绳子的手时，绳子恰好碰到小红的头顶．现以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式； （2）若身高为的小蓝也站在绳子的下方， ①当小蓝在距小明拿绳子的手右侧时，绳子___________（“会”或“不会”）碰到小蓝的头顶； ②设小蓝与小明拿绳子的手之间的水平距离为，为保证绳子不会碰到小蓝的头顶，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①不会；② 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，由题知此抛物线经过三点，将这三点代入中，求出a、b、c的值，即可得抛物线的解析式； （2）①根据抛物线的解析式求出时y的值，若则绳子不会碰到小蓝的头顶，若则绳子会碰到小蓝的头顶； ②求出时x的两个值，即可知d的范围． 本题考查了二次函数，掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 设抛物线的解析式为， 由题知，此抛物线经过三点， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ①当时，， ∴绳子不会碰到小蓝的头顶， 故答案为：不会． ②由得， 时，， 则， ， ， 解得， 为保证绳子不会碰到小蓝的头顶， ∴d的取值范围是：． 22. 已知在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行经，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在⊙O上， ∴是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线分线段成比例定理得到，进而证明即可得结论； （2）连接，利用平行线分线段成比例定理得到，从而得，设，利用勾股定理进行求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线分线段成比例，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 23. 某学习小组遇到这样一个问题：如图1所示，在中，平分，． （1）请观察猜想之间的数量关系； （2）探究迁移：如图2所示，，是四边形的对角线，，求证：； （3）思维拓展：如图3所示，在中，， 是的中点，交于点，点在上，，请直接写出三者之间的数量关系． 【答案】（1）， （2） 证明：如图：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，使得，连接，证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； （2）延长到E，使，连接，先根据已知和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，再利用三角形的内角和定理推导出，进而证明得到，，证明是等边三角形得到，进而可得结论； （3）连接，过点O作，根据含30度角的直角三角形的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质 ，再求得，进而得到，然后由得结论． 【小问1详解】 解：猜想，证明如下： 在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴， 在和中，，， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 如图，连接，过点O作， ∵，， ∴，， ∵点D是的中点，， ∴，又， ∴，又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题型，主要考查了三角形的内角和外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，涉及知识点较多，解答的关键学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $