第4章 立体几何初步（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（湘教版2019必修第二册）

湘教版(2019)必修(第二册) 第4章 立体几何初步 单元测试 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 2.长方形的直观图可能为下图中的哪一个(    ) A．①② B．①②③ C．②⑤ D．③④⑤ 3.下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 4.如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5.在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6.已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.如图，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，现有下列命题：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8.如下图，在正方体中，分别是棱的中点，点在四边形的四边及其内部运动，下列命题，错误的是（    ） A．点在线段上时，就有； B．点在线段上时，就有平面 C．三棱锥的体积有最大值； D．直线与平面所成的角为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 10. 已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实之一 B．“若，，则”是平面与平面平行的性质定理 C．“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理 D．若，，，，则 11.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ）    A．两条异面直线和所成的角为 B．直线与平面垂直 C．点到面的距离为 D．三棱柱外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则αβ； ②若αβ，l⊂α，m⊂β，则lm； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，lγ，则mn. 其中所有真命题的序号为 . 13.已知圆柱的母线长为10，底面直径为4．则该圆柱的表面积为 ． 14.给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④、与平面成角相等，则． 其中是真命题的有 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 16．(本小题满分15分)如图，在正方体中： (1)求直线与平面ABCD所成的角； (2)求直线与平面所成的角； (3)直线在平面ABCD内的射影是哪条直线？ (4)直线在平面内的射影是哪条直线？ 17.(本小题满分15分)如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 18.(本小题满分17分)某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高为4m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4m（高不变）；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4m（底面直径不变）． (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积； (3)哪个方案更经济些？为什么？ 19.(本小题满分17分)如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点. (1)证明： 平面； (2)若四边形是正方形，，求证：平面平面. 答案第6页，共7页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湘教版(2019)必修(第二册) 第4章 立体几何初步 单元测试 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【详解】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 2.长方形的直观图可能为下图中的哪一个(    ) A．①② B．①②③ C．②⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的定义即可求解. 【详解】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°， 故②⑤正确. 故选：C. 3.下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面的基本性质及辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】由平面的性质公理1可判断A，由平面的性质公理2，可判断B，由线面的位置关系可判断CD. 【详解】由 ，，，根据公理1可得，故A选项正确， 由，，，根据公理2可得，故B选项正确， 由，可能与相交，可能有，故C选项错误， 由，根据公理1可得，故D选项正确， 故选：C. 4.如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】将异面直线通过平移转化为平面角，构造三角形，将三条边长求出来，用余弦定理求出即可. 【详解】连接，，如图所示. 易得，所以直线与所成的角为（或其补角）. 不妨设. 在中，易得，，， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 5.在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接，分析可知与平面所成的角为，求出、的长，即可求得，即为所求. 【详解】连接，如下图所示： 在长方体中，平面，则与平面所成的角为， 且，， 因为平面，平面，则， 所以，，即与平面所成角的余弦值为. 故选：C. 6.已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】证明线面平行 【分析】根据题意，由线面平行的判定定理，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确. 对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确. 对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误. 对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误. 故选：B. 7.如图，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，现有下列命题：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】证明异面直线垂直、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理判断作答. 【详解】因AB为圆O的直径，C为圆上异于A、B的任一点，则，又平面，有为锐角，平面， 于是得，又，平面，从而得平面，平面，有，①②④正确； 假定，又，，必有平面，与为的锐角矛盾，③不正确， 所以真命题的个数是3. 故选：C 8.如下图，在正方体中，分别是棱的中点，点在四边形的四边及其内部运动，下列命题，错误的是（    ） A．点在线段上时，就有； B．点在线段上时，就有平面 C．三棱锥的体积有最大值； D．直线与平面所成的角为 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的概念及辨析、面面平行证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】对A：证明平面MEG即可判断A选项正确；对B：证明平面平面即可判断B选项正确；对C：当在E点时，三棱锥的高最大，而底面三角形面积为定值，从而即可判断C选项正确；对D：当在E点时，即可判断D选项错误. 【详解】解：对A：在正方体中，由题意，平面ABCD，所以， 又，，所以平面MEG， 又，所以平面MEG， 所以点在线段上时，，故A选项正确； 对B：由题意，，因为平面，平面，所以平面；同理，因为，所以平面； 又，所以平面平面， 所以点在线段上时，平面，故B选项正确； 对C：过N作，因为平面平面且交线为， 所以平面，即平面， 所以三棱锥的体积为， 当在E点时，线段的长度最大，此时三棱锥的体积有最大值，故C选项正确； 对D：当在E点时，直线平面，所以直线与平面所成的角为0，故D选项错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 10. 已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实之一 B．“若，，则”是平面与平面平行的性质定理 C．“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理 D．若，，，，则 【答案】CD 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线线平行、面面平行证明线面平行 【分析】根据立体几何中的公理可判断A选项；利用平面与平面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行的判定定理可判断C选项；分和两种情况进行讨论，由线面平行的性质和判定定理可判断D选项 【详解】解：“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实的一个推论，故A错误； “若，，则”是平面与平面平行的一个性质，故B错误； “若，，，则”是直线与平面平行的判定定理，故C正确； 若，设过直线m的平面分别交，于直线a，b，如图所示： ∵，，，∴， ∵，，， ∴，∴， ∵，∴，∵，，∴； 若，，，则，故D正确， 故选：CD． 11.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ）    A．两条异面直线和所成的角为 B．直线与平面垂直 C．点到面的距离为 D．三棱柱外接球表面积为 【答案】BD 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、证明线面垂直、求点面距离 【分析】根据正方体的结构与性质求出异面直线所成的角判断A，根据线面垂直的判定定理判断B，利用等体积法判断C，根据正方体外接球及球表面积公式判断D. 【详解】如图，    连接，，在正方体中， ，所以异面直线和所成的角为（或其补角）， 在正中，， 所以异面直线和所成的角为，故A错误； 连接，在正方体中，，，， 平面，所以平面，故B正确； 设到面的距离为，由可知，， 因为，，所以，解得，故C错误； 因为三棱柱外接球即正方体的外接球， 所以外接球的直径，所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则αβ； ②若αβ，l⊂α，m⊂β，则lm； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，lγ，则mn. 其中所有真命题的序号为 . 【答案】③ 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面平行的性质 【分析】①利用平面的位置关系判断；②利用直线与直线的位置关系判断；③利用线面平行的性质定理判断. 【详解】①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则αβ或α与β相交； ②若αβ，l⊂α，m⊂β，则lm或直线l与m异面； ③因为α∩β＝l，β∩γ＝m， lγ，所以ml，同理可证ln，所以mn. 故答案为：③ 13.已知圆柱的母线长为10，底面直径为4．则该圆柱的表面积为 ． 【答案】48π 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，圆柱表面积为 故答案为： 14.给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④、与平面成角相等，则． 其中是真命题的有 ． 【答案】①② 【知识点】判断线面是否垂直、线面角的概念及辨析、线面平行的性质 【分析】根据线线，线面的位置关系，判断选项. 【详解】根据线面平行的性质定理可知①正确； 根据线面垂直的判断定理，可知②正确； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，相交或异面，故③错误； 若与平面成角相等，则两直线平行，相交或异面，故④错误. 故答案为：①② 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题、求异面直线所成的角 【分析】（1）证明，即可得四点共面； （2）由平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，在平面内解三角形即可. 【详解】（1）连接. 在中，点E，F分别为棱，AB的中点， 则， 在正方体中，， ，且， 四边形是平行四边形， ，则， 故、、、四点共面.    （2）由（1）知，， 则即为所求异面直线与BC所成的角， 设正方体的棱长为， 在中，， 则， 所以. 故所求异面直线与BC所成角的余弦值为． 16．(本小题满分15分)如图，在正方体中： (1)求直线与平面ABCD所成的角； (2)求直线与平面所成的角； (3)直线在平面ABCD内的射影是哪条直线？ (4)直线在平面内的射影是哪条直线？ 【答案】(1) (2) (3)直线AB (4)直线A1D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断线面是否垂直、求线面角 【分析】(1)由正方体的结构特征得平面并结合线面角的定义 即可得解. (2)推导出平面即可得直线与平面所成的角. (3)由平面并结合射影的意义即可得解. (4)由平面并结合射影的意义即可得解. 【详解】（1）在正方体中，因平面， 所以直线与平面ABCD所成的角是. （2）在正方体中，因，平面，平面， 于是得平面， 所以直线与平面所成的角是. （3）在正方体中，因平面，垂足为A，而点B在平面内， 所以直线在平面ABCD内的射影是直线AB. （4）在正方体中，连A1D，如图， 因平面，垂足为D，而点A1在平面内 ， 所以直线在平面内的射影是直线A1D. 17.(本小题满分15分)如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，且平面平面，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，即可根据线面平行求证面面平行， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证平面，即可求解， （3）根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，，∵平面，平面，∴平面， 同理，平面，∵，平面， ∴平面平面； （2）证明：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， ∵平面，∴，∵，∴， 又∵，，平面,故平面， ∵平面，∴； （3）过点作交的延长线于点，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，平面,∴平面，因此为直线与平面所成的角， ∵，，∴，， ∴，所以直线与平面所成角的正弦值为 18.(本小题满分17分)某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高为4m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4m（高不变）；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4m（底面直径不变）． (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积； (3)哪个方案更经济些？为什么？ 【答案】(1)方案一，；方案二，； (2)方案一，；方案二，； (3)方案二比方案一更加经济，理由见解析． 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据底面半径和高，根据体积公式，分别计算两种方案的体积； （2）根据半径和高求母线长，根据公式求圆锥的侧面积； （3）比较两种方案的体积和侧面积，得出结论. 【详解】（1）若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16m，高不变， 则新建的圆锥形仓库的体积； 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8m，底面直径不变， 则新建的圆锥形仓库的体积． （2）若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16m，高不变， 则圆锥的母线长，新建的圆锥形仓库的侧面积； 若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8m，底面直径不变， 则圆锥的母线长， 新建的圆锥形仓库的侧面积． （3）由（1）（2）知，，，所以按方案二新建的圆锥形仓库的体积更大，侧面积更小，所需耗材更少，故方案二比方案一更加经济． 19.(本小题满分17分)如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点. (1)证明： 平面； (2)若四边形是正方形，，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）欲证明 平面 ，只需证明平行于平面 内的一条直线即可； （2）欲证明平面平面，只需证明其中的一个面经过垂直于另一个面的直线即可. 【详解】（1）易知分别为的中点， 是的中位线， ， 平面平面， 平面； （2）底面 平面， 又平面，且， 平面， 又 平面，四边形是正方形，， 平面，平面， 又平面平面平面. 答案第6页，共7页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$