精品解析：2025年甘肃省陇南市西和县中考二模数学试卷

西和县2025年春季学期九年级第二次教学质量监测 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 在实数，，0，－2中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. －2 2. 将“非志无以成学”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“志”相对的字是（ ） A. 无 B. 以 C. 成 D. 学 3. 将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是分式方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）. A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 6. 如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 点，是一次函数（为常数，且）的图象上的两点，且，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 8. 为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表，关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（　　） 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数/人 2 4 5 3 1 A. 众数是100 B. 平均数是30 C. 方差是20 D. 中位数是20 9. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若ADBC，则∠DBE为（ ） A. 80° B. 50° C. 55° D. 100° 10. 在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则称A和B为函数的一个“黄金点对”，则函数的“黄金点对”的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 11. 如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是_________m． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 12. 多项式，与的公因式为______． 13. 若点在一次函数图象上，且，则的值是______． 14. 对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定．则计算的值为______． 15. 如图，点与点关于直线对称，则______． 16. 如图，作的任意一条直径，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，若，则阴影部分的面积为______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 先化简，再求值：，其中x＝． 20. 如图，已知． （1）求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的度数． 21. 西安作为国际知名旅游城市，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．小杨和小田到西安旅游，民宿附近的饮食街刚好有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”这四种特色美食，他们两人分别从这四种美食中选一种用餐．（每位游客选择每种特色美食的可能性均相同） （1）小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求他们两人选择不同美食的概率（四种特色美食依次用、、C、D表示）． 22. 如图是某森林公园两山之间一段索道的示意图，点，点分别是索道终点和起点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离与地面垂直且．．在同一平面内，结果精确到，参考数据：） （1）求点到地面的距离； （2）求索道的长． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 24. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交轴于点，交反比例函数的图象于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上一动点，连接交轴于点，当为中点时，求的面积． 25. 如图，是的外接圆，圆心在上，且，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，． （1）求证：是的切线． （2）设的半径为，且，求的长． 26. 综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．求与的函数表达式，并求出的最小值． 27. 已知抛物线与x轴有公共点． （1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； （2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； （3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西和县2025年春季学期九年级第二次教学质量监测 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 在实数，，0，－2中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】用0大于负数而小于正数，两个负数绝对值大的反而小的法则判断． 【详解】解：∵， ∴实数，，0，－2中，最大的数是． 故选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解决问题的关键是熟练掌握实数的大小比较的法则． 2. 将“非志无以成学”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“志”相对的字是（ ） A. 无 B. 以 C. 成 D. 学 【答案】C 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “志”与“成”是相对面， “无”与“学”是相对面， “非”与“以”是相对面． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，具备一定的空间想象能力是解题的关键． 3. 将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角的和与差，熟练掌握平行线的性质，角的和与差是解题的关键．由，可得，从而，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 已知是分式方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入求解即可． 【详解】解：原式化简为， 将代入 得 解得. 当a=-3时a-x=-3-1=-4≠0 ∴a=-3 故选则：D． 【点睛】本题考查分式方程的解．会将分式方程化为整式方程，解题关键将方程的解代入转化为的方程． 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）. A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，可求得菱形的面积与边长，继而求得答案． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，BD=6，AC=8， ∴OB=BD=3，OA=AC=4，AC⊥BD， ∴AB==5， ∵S菱形ABCD=AC•BD=AB•EF， ∴EF===4.8． 故选B． 6. 如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，先利用圆周角定理求出，再根据切线的性质可以得到． 【详解】解：∵， ∴， 又∵为的切线， ∴， ∴， 故选B． 7. 点，是一次函数（为常数，且）的图象上的两点，且，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，将，代入得，是解题的关键． 【详解】解：将，代入得， ，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表，关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（　　） 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数/人 2 4 5 3 1 A. 众数是100 B. 平均数是30 C. 方差是20 D. 中位数是20 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，结合表格即可得出答案． 【详解】解：根据众数的概念可知这15名同学所捐款数额的众数是20，则A选项错误不符合题意； 根据平均数的计算公式，，故B选项错误不符合题意； ，故C错误不符合题意； 将这15名同学所捐款数额按从小到大的顺序排列为5、5、10、10、10、10、20、20、20、20、20、50、50、50、100，根据中位数的概念可知中位数是20，故D选项正确符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是方差、平均数的计算以及众数、中位数的概念，熟练掌握方差、平均数的计算公式以及众数、中位数的概念是解题的关键，侧重考查知识点的记忆、理解、应用能力． 9. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若ADBC，则∠DBE为（ ） A. 80° B. 50° C. 55° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可得∠BAD＝50°，由平行线的性质可求∠DAB＝∠ABC＝50°＝∠DBE． 【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE， ∴AB＝BD，∠ABD＝80°，∠DBE＝∠ABC， ∴∠BAD＝50°， ∵ADBC， ∴∠ABC＝∠BAD＝50°， ∴∠DBE＝∠ABC＝50°， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则称A和B为函数的一个“黄金点对”，则函数的“黄金点对”的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点坐标的横、纵坐标均互为相反数建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为，“黄金点对”中的点的坐标为， 由关于原点对称的点坐标的纵坐标互为相反数得：， 即或， 整理得：或， 解得或（舍去）或或， 经检验，，和均为所列分式方程的解， 所以此函数的“黄金点对”的个数为3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程的应用，掌握理解“黄金点对”的定义是解题关键． 11. 如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是_________m． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论． 【详解】解：设大孔抛物线的解析式为， 把点解析式，得 ，解得， 因此大孔抛物线的解析式为； 由，可知点F的纵坐标为4， 代入解析式， 解得． 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 12. 多项式，与的公因式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 13. 若点在一次函数图象上，且，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】把代入，得，再利用平方差公式，得，进而即可求解． 【详解】解：∵点在一次函数图象上， ∴，即：， ∵，即：， ∴， 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查代数式求值以及一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征以及平方差公式，是解题的关键． 14. 对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定．则计算的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题中的新定义进行计算即可得． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值的运算，解题的关键是理解题意． 15. 如图，点与点关于直线对称，则______． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据点与点关于直线对称求得a，b的值，最后代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于直线对称 ∴a=-2，,解得b=-3 ∴a+b=-2+（-3）=-5 故答案为-5． 【点睛】本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键． 16. 如图，作的任意一条直径，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的面积转换，等边三角形面积，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知弓形与弓形面积相等，弓形与弓形面积相等， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形，同理可知为等边三角形，且两三角形全等， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19. 先化简，再求值：，其中x＝． 【答案】， 【解析】 【分析】先把分式进行化简得到最简分式，再把代入计算，即可得到答案． 【详解】解： = = =； 把代入，得 原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 20. 如图，已知． （1）求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的度数． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； （2）由，，证明， 可得，，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． 21. 西安作为国际知名旅游城市，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．小杨和小田到西安旅游，民宿附近的饮食街刚好有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”这四种特色美食，他们两人分别从这四种美食中选一种用餐．（每位游客选择每种特色美食的可能性均相同） （1）小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求他们两人选择不同美食的概率（四种特色美食依次用、、C、D表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率及两步概率问题，熟练掌握列举法求两步概率问题及简单概率公式是解决问题的关键． （1）根据简单概率公式直接求解即可得到答案； （2）根据题意，列出表格，得到可能的结果，利用简单概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：饮食街有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”四种特色美食，则小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是； 【小问2详解】 解：四种特色美食依次用、、C、D表示，列出表格为： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小杨和小田两人购买不同美食的结果有12种，她们两人购买不同特产的概率为． 22. 如图是某森林公园两山之间一段索道的示意图，点，点分别是索道终点和起点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离与地面垂直且．．在同一平面内，结果精确到，参考数据：） （1）求点到地面的距离； （2）求索道的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过作于，则，在中，由即可解答； （2）过作于，证明四边形是矩形，所以，求得，由得，在中，由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作于，则， 在中， ，， ， ， 点到地面的距离约为； 【小问2详解】 如图，过作于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， 索道的长约为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100， 补全的条形统计图如下图所示： （2）72 （3）1710人 【解析】 【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图； （2）用360度乘以B组人数所占的比例即可； （3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：人， ∴D组的人数为： ， 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形的圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键． 24. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交轴于点，交反比例函数的图象于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上一动点，连接交轴于点，当为中点时，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）把点坐标代入反比例函数求得点坐标，根据求出点的坐标，然后把点的坐标代入中求得的值，即可求出的解析式． （2）设． 根据的中点在轴上，求出点和点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 解得， 轴，， 把点坐标代入，得 ． ． 该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设． ，点为的中点， ． 点在轴上， ， ． ，， ． ，． ． 的面积为3． 25. 如图，是的外接圆，圆心在上，且，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，． （1）求证：是的切线． （2）设的半径为，且，求的长． 【答案】 （1）证明：连接，如图， 是的外接圆，圆心在上， 是的直径， ， 又， ，， ， ， 在中，， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用∠B＝2∠A可计算出∠B＝60°，∠A＝30°，易得∠E＝30°，接着由EF＝FC得到∠ECF＝∠E＝30°，所以∠FCA＝60°，加上∠OCA＝∠A＝30°，所以∠FCO＝∠FCA＋∠ACO＝90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，则CE＝2，所以BE＝BC＋CE＝2＋2，然后在Rt△BEM中计算出BM＝BE＝1＋，再计算AB−BM的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ，， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 26. 综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．求与的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】（1），； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），最小值18 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，利用勾股定理得到，再证明出四边形是正方形，继而得到关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）略 （3）连接交于，由（1）知，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴与的函数表达式：， 由， ∴其最小值为18． 27. 已知抛物线与x轴有公共点． （1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； （2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； （3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 【答案】（1） （2）n＝2 （3）证明：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4． ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）， 抛物线C2的对称轴是直线x＝1， ∵点E与点C关于直线x＝1对称， ∴点E的坐标为（2，3）． ∴点G的坐标为（1，3）． 设直线BE解析式为y＝kx+b， ∴解得： ∴y＝x+1． 当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）． ∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形． 又∵CE⊥DF， ∴四边形CDEF为正方形． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果； （2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果； （3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴有公共点， ∴ ∴∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随着x的增大而增大． 【小问2详解】 解：由题意，得， 当y＝0时，， 解得：或， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）． ∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3）， ∴n+1＝－n2+2n+3． 解得：n＝2或n＝－1（舍去）． 故n的值为2. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $