第03讲 集合的基本运算（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算 【人教A版2019】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈A,或x∈B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈A,且x∈B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的运算】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，然后可求并集． 【解答过程】由得， ∴， 又∵， 故． 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先得，再由集合的并集运算可得. 【解答过程】， 故， 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知集合．， ， 则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的并集运算，可得答案. 【解答过程】由题意，可得. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一上·河南商丘·期末）若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【解题思路】先化简集合B，再求并集，从而可得结果. 【解答过程】因为集合，， 所以， 所以中元素的个数为 故选：C. 【题型2 交集的运算】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求集合B，再求，从而可得结果. 【解答过程】依题意得，集合中的元素满足，，，，，， 则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即， 所以． 故选：C. 【变式2.1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知可得，从而得到交集. 【解答过程】因为， 所以． 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【解题思路】用穷举法求出集合，再求集合的非空真子集的个数即可. 【解答过程】因为，，所以，所以的非空真子集的个数为． 故选：C. 【变式2.3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合定义可求得集合，由交集定义可求得结果. 【解答过程】当时，；当时，； 当时，；当时，； ，. 故选：B. 【题型3 补集的运算】 【例3】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集的定义求解即可． 【解答过程】因为集合，集合， 所以． 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集的概念进行运算. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合，再利用补集的定义求解. 【解答过程】依题意，，所以. 故选：D. 【变式3.3】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】求出补集，再由子集的定义求解． 【解答过程】依题意，，所以的子集有个. 故选：C. 【题型4 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用交集的定义即可求得结果. 【解答过程】因为集合，集合，且，所以， 故选：B. 【变式4.1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，可得即可得解. 【解答过程】依题意，，可得． 故选：A. 【变式4.2】（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【解题思路】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【解答过程】由补集知且，对比得， 则. 故选：B. 【变式4.3】（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知集合，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【解题思路】求出集合A中方程的解，确定出A，由，得，分类讨论确定出a的值即可. 【解答过程】方程解得：或，∴， 由，得， 当时，，满足题意； 当时，，可得或，解得：或， 综上，或1或0． 故选：D． 【题型5 交、并、补集的混合运算】 【例5】（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合交并补运算的定义直接运算即可. 【解答过程】因为 ，所以. 又，所以 . 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由补集、交集和并集定义依次求出、、和，再由子集定义结合交集和并集定义即可逐项判断各选项得解. 【解答过程】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用交集的定义可求得集合； （2）（3）利用并集和补集的定义可求得结果. 【解答过程】（1）因为集合，集合，则. （2）因为全集， 则，故. （3）由题意可得，则. 【变式5.3】（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)求 【解题思路】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【解答过程】（1）由条件可得：； （2）或， 所以 或. 【题型6 集合混合运算中的求参问题】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据求得的取值范围. 【解答过程】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【解答过程】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【变式6.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 【例7】（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得. 【解答过程】由图知阴影部分表示的集合是, 因， ， 则，故. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的图形，利用韦恩图，结合集合的运算判断即可. 【解答过程】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C. 【变式7.2】（23-24高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由图可知影部分所表示的集合为，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【解答过程】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 【变式7.3】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【解答过程】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为 . 故选：D． 【题型8 集合运算中的新定义问题】 【例8】（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【解答过程】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 【变式8.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【解题思路】由题意先求，进而求出 【解答过程】由于，， 所以， 所以或， 故选：C． 【变式8.2】（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算出，，，即可求出的值. 【解答过程】由题意， ，，， ∴，， ，， 故选：B. 【变式8.3】（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 【解题思路】根据题意可得，进而可判断AD；根据补集和并集运算判断B；对于C：分析可知，进而列举求解. 【解答过程】由已知条件可得. 对于选项A：显然，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B错误； 对于选项C：若，即， 则满足条件的集合M有：、、、、、，共6个，故C正确； 对于选项D：中所有元素之和为，故D错误. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用集合的并运算求集合即可. 【解答过程】由. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的补集运算求集合即可. 【解答过程】由补集定义可知. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 【解题思路】根据交集运算的定义，进行求解即可. 【解答过程】解法1  由题意知S所有可能的集合为，，则符合条件的集合S的个数为12． 解法2  由题意，集合，若，则，此时集合S的个数为，所以当时，可得集合S的个数为． 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，得到，进行求解即可. 【解答过程】由，得或． 又， 所以，故． 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，进行求解即可. 【解答过程】依题意可得3，，3，，1，，1，， 故2，， 故． 故选：D. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据Venn图表达的集合的运算，进行求解即可. 【解答过程】阴影在，内，而不在内，即在内， 故阴影表示的集合是． 故选：B. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集及补集定义计算判断各个选项. 【解答过程】因为或，所以A，B错误，D正确； 又，故C错误. 故选：D. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【解题思路】根据题意，得到，进行求解即可. 【解答过程】因为，所以且，则且（k，）， 所以，即， 所以. 又，所以（c，），即，即， 所以. 当时，；当时，；当时，. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【解答过程】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【解题思路】分别讨论，，，即可求解. 【解答过程】由题意得集合． 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合． 综上，或3或4． 故选：ACD. 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意画出图，即可得解. 【解答过程】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合或，则 或 . 【解题思路】数形结合得出补集即可. 【解答过程】在数轴上表示出全集,集合, 根据补集的概念可知或. 故答案为：或. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【解题思路】根据题意，分类讨论，进行求解即可. 【解答过程】，且B为A的子集． 当时，，解得． 当时，若，即，此时的解为，即，符合题意． 若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意； 当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为． 故答案为：． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合和，满足，，则实数 ． 【解题思路】根据题意，进行求解即可. 【解答过程】由题知，但；，但． 将和分别代入集合，中，得即 解得 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【解题思路】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解； （2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可. 【解答过程】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【解答过程】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 17．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【解题思路】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【解答过程】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【解题思路】（1）根据题意，进行求解即可； （2）分类讨论，进行求解即可. 【解答过程】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 【人教A版2019】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈A,或x∈B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈A,且x∈B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 并集的运算】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知集合．， ， 则（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·河南商丘·期末）若集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【题型2 交集的运算】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【变式2.3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 补集的运算】 【例3】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【变式4.3】（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知集合，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【题型5 交、并、补集的混合运算】 【例5】（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)； (2)； (3). 【变式5.3】（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)求 【题型6 集合混合运算中的求参问题】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6.2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式6.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 【例7】（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【题型8 集合运算中的新定义问题】 【例8】（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式8.2】（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 一、单选题 1．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合或，则 . 13．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合和，满足，，则实数 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 17．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$