专题19.2 一次函数与几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题19.2 一次函数与几何综合 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． （1）求点的坐标； （2）若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C； （2）求出直线的表达式，根据求解即可； （3）求出直线的表达式，然后分三种情况：①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；③当为平行四边形的对角线时，讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， 即， ∵面积为15， ∴， ∴， ∴ （2）设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式得： 解得： ∴直线的表达式为：； ∵， ∴，解得：， ∴ 解得：， ∴； （3）∵ ， 设直线的表达式为， 将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：， 解得： ∴直线的表达式为：． ①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图： ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：过点E作轴于F， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E的纵坐标是， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，存在，满足条件的点D的坐标为或或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点是第二象限内直线（为大于2的常数）上一个动点，点、，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积的变化情况为（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 2．（2025·广东珠海·二模）如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（   ） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 5．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（   ） A．25 B． C． D．32 6．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线： 交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 7．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 9．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，直线l与x轴交于点，与轴交点，点是直线l上一点，过点M的直线交边点N，若直线将分成面积相等的两部分，则点N的坐标是 ． 11．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 12．（2025·江苏·一模）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在直线上，且位于第一象限．若，则点C的坐标为 ． 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为 ． 14．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点是x轴上一点，点E、F分别为直线，y轴上的两个动点，当周长最小时，点E的坐标为 ． 16．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 18．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为 ． 19．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形的顶点坐标为，直线分别交轴、轴于、点，若线段上有一点，直线上有一点，是以为斜边的等腰直角三角形，则点P坐标为 ．   20．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标． 21．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，点C为上一点，点M为上一点，交于N，． （1）求直线和直线的解析式； （2）若，求点M的坐标； （3）若，求点M的坐标． 22．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． （1）求点和点的坐标； （2）若点是直线上一点，若的面积为3，求点的坐标； （3）过点的直线交轴于点（点在点右侧），当时，求直线的表达式． 23．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 24．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，经过点 的直线交轴于点 ，直线：交轴于点，交于点． （1）填空： ，点的坐标为 ，的面积为 ； （2）是直线上的一点，过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点是轴上一点，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，的坐标为，横坐标为的点在线段上，点是轴负半轴上一动点，以点为直角顶点在的左边作等腰直角三角形，连结、． （1）求直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，求点的坐标；（用含的代数式表示） （3）求的周长的最小值． 26．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、三点坐标分别为、、，把沿翻折，点恰好落在轴的点处，为折痕． （1）求直线的解析式； （2）在平面直角坐标系中，有一个动点使得，动点的纵坐标是否为横坐标的函数？若是，求出关于的函数解析式；若否，请说明理由； （3）连接、，点为边的中点，，且交外角的平分线于点，请补全图形，并求证． 27．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． （1）求点、点的坐标． （2）过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： （3）在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 28．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点、的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 29．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，． （1）求点坐标； （2）点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围； （3）若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 30．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． （1）若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值． （2）如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 31．（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． （1）求直线的解析式． （2）点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． （3）如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 32．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为y轴负半轴上一点，且，直线经过A，C两点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点Q，与x轴，y轴分别交于点D，点E．点P是直线上位于第四象限内的一点，点M，N分别在直线，上．若点N在点M左侧，且，连接，，，当时，求点P的坐标以及的最小值； （3）如图2，将绕点O逆时针旋转得到，在旋转过程中，直线与x轴于交点G，与直线交于点H，在平面内确定一点K，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点K的坐标． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.2 一次函数与几何综合 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． （1）求点的坐标； （2）若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C； （2）求出直线的表达式，根据求解即可； （3）求出直线的表达式，然后分三种情况：①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；③当为平行四边形的对角线时，讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， 即， ∵面积为15， ∴， ∴， ∴ （2）设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式得： 解得： ∴直线的表达式为：； ∵， ∴，解得：， ∴ 解得：， ∴； （3）∵ ， 设直线的表达式为， 将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：， 解得： ∴直线的表达式为：． ①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图： ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：过点E作轴于F， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E的纵坐标是， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，存在，满足条件的点D的坐标为或或． · 学霸必刷 1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点是第二象限内直线（为大于2的常数）上一个动点，点、，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积的变化情况为（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 【思路点拨】 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键．连接先求出直线的解析式得出直线与点所在直线平行，从而得到在点移动过程中，三角形的面积不变，即可求解． 【解题过程】 解：连接， 设直线的解析式为， ∵直线过点、， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点是第二象限内直线（为大于2的常数）上一个动点， ∴直线与点所在直线平行． ∴在点移动过程中，三角形的面积不变，三角形的面积不变， ∴四边形的面积不变． 故选：C 2．（2025·广东珠海·二模）如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查正方形的性质，一次函数的图象上的点的坐标特征，全等三角形的判断与性质，掌握知识点是解题的关键．过点A作轴于E，过点B作于F，依题意设点，则，证与全等，可得，，进而得，，则，，即可解答． 【解题过程】 解：过点A作轴于E，过点B作于F，设点，如图 ∴， ∵点A是直线在第一象限图象上一动点， ∴，， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴，， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查菱形的性质，一次函数与几何的综合应用，连接，，根据对称性，得到，进而得到，得到点在线段上时，的值最小，平移思想求出点坐标，进而求出直线的解析式，直线与直线的交点即为点的坐标． 【解题过程】 解：连接，， ∵菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴点在线段上时，的值最小， ∵， ∴点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，点在第一象限的角平分线上， ∴点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，直线的解析式为：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 联立，解得：； ∴； 故选B． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（   ） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题． 【解题过程】 解：将代入得，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ， 则， 令边长的高为， 则， 则， 点在线段上，且， ， ， 过点D作的垂线，垂足为H， ，平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 即点的坐标为， ． 故选：A． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（   ） A．25 B． C． D．32 【思路点拨】 连接，交于点，过点作轴于点，设直线与轴的交点为点，先求出点的纵坐标为6，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据一次函数的解析式求出点的坐标，求出的长，最后计算菱形的面积即可． 【解题过程】 解：如图，连接，交于点，过点作轴于点，设直线与轴的交点为点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点的坐标为，点的纵坐标为2， ∴点的纵坐标为， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， ∴， 由一次函数的图象可知，， 将代入一次函数得：，解得，即， 将代入一次函数得：，即，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵轴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴一次函数的解析式为， 将代入一次函数得：，解得，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：D． 6．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线： 交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【思路点拨】 令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【解题过程】 解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， 如图，取的中点， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ， ． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ． 故选：D． 7．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【思路点拨】 作轴且，连接，延长交轴于，求出点坐标为，点坐标为，得出，得出点，设点，则，证明得出，，得出，，三点共线，从而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案． 【解题过程】 解：如图，作轴且，连接，作轴于， ， 直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，令，， 点坐标为，点坐标为， ， 轴， ，， 点坐标为， 设点，则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，，三点横坐标相同，都为， ，，三点共线， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， 当即时，最小，为， 的最小值为， 故选：D． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】 先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【解题过程】 解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 9．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出，，，得到，得到为直角三角形；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【解题过程】 解：①∵直线：与直线：都经过， ∴方程组的解为， 故①正确，符合题意； ②把，代入直线：，可得， 解得， ∴直线：， 把代入直线：，可得， 中，令，则， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， 故②正确，符合题意； ③在直线：中，令，则， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④点A关于y轴对称的点为， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， ∴当的值最小时，点P的坐标为， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 10．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，直线l与x轴交于点，与轴交点，点是直线l上一点，过点M的直线交边点N，若直线将分成面积相等的两部分，则点N的坐标是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数与几何综合，先根据点A和点B的坐标求出的面积，再利用待定系数法直线l解析式，进而得到点M的坐标，再由直线将分成面积相等的两部分得到的面积，据此利用三角形面积计算公式列式求解即可． 【解题过程】 解：∵直线l与x轴交于点，与轴交点， ∴， ∴； 设直线l的解析式为， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为， ∵点是直线l上一点， ∴，解得， ∴， ∵直线将分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点问题．根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，如图，在轴上截取，过作轴交直线于，证明，可得，再进一步求解即可． 【解题过程】 解：直线与坐标轴交于点，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，， 如图，在轴上截取，过作轴交直线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（2025·江苏·一模）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在直线上，且位于第一象限．若，则点C的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用、等角对等边、勾股定理，延长交轴于，求出，，由等角对等边得出，设，由勾股定理计算得出，求出直线的解析式为，联立，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解题过程】 解：如图，延长交轴于， ， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴当时，；当时，，解得， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质，证明，设点，从而得到，再将点和代入一次函数解析式，求出、的值，进而得到的长，即可求解． 【解题过程】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点， ，， ，， ， 一次函数的图象经过正方形的顶点和， ，解得：， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，通过构造全等，求出点的纵坐标（即的长）是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，则，由为等腰直角三角形，可得出，，利用等角的余角相等，可得出，由，利用平行线的性质，可得出，即，进而可证出，利用全等三角形的性质，可求出的长，结合的长，可得出的长，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 【解题过程】 解：当时，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则，如图所示， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ，，， 当时，， 解得：， 点的坐标是． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点是x轴上一点，点E、F分别为直线，y轴上的两个动点，当周长最小时，点E的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，过点作轴，且，连接，交于点，作点关于轴的对称点，连接，易得关于对称，得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小为的长，连接，与的交点即为点，进行求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作轴，且，连接，交于点，作点关于轴的对称点，连接，，则：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小为的长， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题． 【解题过程】 解：将代入得，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ， 则， 令边长的高为， 则， 则， 点在线段上，且， ， ， 过点D作的垂线，垂足为H， ，平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数与几何综合、轴对称、全等三角形的判定与性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．由得出，连接交直线于，在上截取，连接，利用轴对称的性质和全等三角形的性质推出、即为符合题意的两个点，利用A、B、C、D坐标求出直线与直线的解析式，联立可得的坐标，再根据对称性得出的横坐标等于的横坐标的相反数，代入直线即可完成求解． 【解题过程】 解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 对于， 令，则，即， 令，则，即， ， ； 连接交直线于，在上截取，连接， ， 和关于轴对称， 、在轴上， ， 为符合题意的一个点， ，， ， ， ，，， ， ， 为符合题意的另一个点； ，， 直线的解析式为， ，， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， 由对称性得：的横坐标为， 代入，则， ， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的几何应用、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．过点作的垂线，截取，过点作轴的垂线，分别与过点作轴的垂线交于点，连接，交于点，先根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求出点的坐标，再根据等腰三角形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与直线联立求解即可得． 【解题过程】 解：如图，过点作的垂线，截取，过点作轴的垂线，分别与过点作轴的垂线交于点，连接，交于点， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， ∴， ∵，， ∴平分， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， 则点的坐标为， 故答案为：． 19．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形的顶点坐标为，直线分别交轴、轴于、点，若线段上有一点，直线上有一点，是以为斜边的等腰直角三角形，则点P坐标为 ．   【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质．分点、在两侧和点、在同侧两种情况考虑，画出图形，通过构造“一线三垂直”全等模型求解即可． 【解题过程】 解：当点、在两侧时，过点作于，作于，如图1所示． ， ， ． 是以为斜边的等腰直角三角形， ． 在和中，， ， ，． 设点，则，，， ， 解得：， ，， 点； 当点、在同侧时，过点作于，作于，如图2所示． ， ． ，， ． 是以为斜边的等腰直角三角形， ． 在和中，， ， ，． 设点，则，，， ，解得：， ，， 点． 综上所述：点坐标为或． 20．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标． 【思路点拨】 本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积等知识点，学会运用用转化的思想思考问题成为解题的关键． （1）由直线与直线交于点得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再根据的面积为面积的求得，设，再分点M在上方和下方两种情况，分别根据以及三角形面积公式列方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线与轴交于点，与直线交于点， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ①点在上方时，如图， ，解得：， ∴点坐标为； ②点在下方，即如图， ∴，解得：， ∴点坐标为． 综上，点坐标为或． 21．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，点C为上一点，点M为上一点，交于N，． （1）求直线和直线的解析式； （2）若，求点M的坐标； （3）若，求点M的坐标． 【思路点拨】 （1）先把点坐标代入求出的值，从而得到直线的解析式为，然后求出点坐标，接着利用三角形面积公式计算出，即可得到的坐标，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据得出，则直线的解析式为，联立直线的解析式，即可求解； （3）连，由已知得，得出，代入，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵直线与轴交于点， ∴, 解得：， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入得，， 解得：， 的解析式为：，直线的解析式为； （2）解：， ， ，将代入得：， 设直线的解析式为， ∴，解得：， 直线的解析式为， 由得． ； （3）解：连接，由已知得， ，将代入得 ． 22．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． （1）求点和点的坐标； （2）若点是直线上一点，若的面积为3，求点的坐标； （3）过点的直线交轴于点（点在点右侧），当时，求直线的表达式． 【思路点拨】 本题考查了一次函数综合题，利用三角形的面积公式得出点的坐标，利用全等三角形的判定和性质解答是解题关键． （1）根据直线与坐标轴的交点解答即可； （2）由，即可求解； （3）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可． 【解题过程】 （1）解：交轴和轴于点和点， 当时，则； 当时，解得， ，； （2）设点，如图，连接， 则，解得， 故点或； （3）当，如图，过点作交于点，过点作轴， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为． 23．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【思路点拨】 本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义以及性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； （3）先由两点间距离公式求出，然后分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：对于， 由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， 或 ∴或； ②∵， ∴， 当时，则或； 当时，如图： 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴此时点M与点C重合， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，点M的坐标为或或或． 24．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，经过点 的直线交轴于点 ，直线：交轴于点，交于点． （1）填空： ，点的坐标为 ，的面积为 ； （2）是直线上的一点，过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点是轴上一点，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了一次函数综合问题，面积问题，平行四边形的性质，中点坐标公式，平移的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）将点 代入待定系数法求解析式，得，则，联立解析式求得点，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧时，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）分以为边和以为对角线两种情况，分别画出图形，根据平移的性质求得点的坐标，即可求解． 【解题过程】 （1）解：将点 代入 得 解得：，则 ∴直线解析式为， 联立 解得： ∴ 直线：交轴于点，当时， ∴ 又∵ ∴ ∴的面积为 故答案为：2，，． （2）轴， 轴， 设，， 分两种情况： ①如图，当点在点右侧时， ，， 由得，， 解得， ， 此时，点的坐标为， ②如图，当点在点左侧时， ，， 由得，， 解得，， 此时，点的坐标为， 综上，点的坐标为或，； （3）存在点的坐标为 或或 在轴上， 点的纵坐标为 分以为边和以为对角线两种情况： ①以为边时，又分为边和为边两种情况： ⅰ当为边时，如图，由平移可知，当点平到点时，纵坐标减小个单位，点平移到点纵坐标也减小个单位， 的纵坐标为， 由得，， ； ⅱ当为对角线时，如图，同理可得； 或 ②以为对角线时，，互相平分， ， ， ， 由得，， 综上，直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为 或或 25．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，的坐标为，横坐标为的点在线段上，点是轴负半轴上一动点，以点为直角顶点在的左边作等腰直角三角形，连结、． （1）求直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，求点的坐标；（用含的代数式表示） （3）求的周长的最小值． 【思路点拨】 （1）把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，，分类讨论：如图所示，点在点右侧，过点作轴于点，作点作轴于点；如图所示，点在点左侧，过点作轴于点，作点作轴于点；结合全等三角形的判定和性质即可求解； （3）根据题意得到，，设，则，点在直线的直线上，设直线与轴、轴交于点，作点关于直线的对称点，连接，交于点，则，连接，当值最小时，的周长有最小值，此时，点三点共线，，根据对称可得，，四边形是正方形，，由两点之间距离公式计算即可得到，由此即可求解． 【解题过程】 （1）解：直线与轴、轴分别交于、两点，的坐标为， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线的函数表达式为，横坐标为的点在线段上， ∴当时，， ∴， ∵以点为直角顶点在的左边作等腰直角三角形， ∴， 如图所示，点在点右侧，过点作轴于点，作点作轴于点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴； 如图所示，点在点左侧，过点作轴于点，作点作轴于点， 同理，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴； 综上所述，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 设， ∴， ∴点在直线的直线上，设直线与轴、轴交于点，作点关于直线的对称点，连接，交于点，则，连接， ∴， 当值最小时，的周长有最小值，此时，点三点共线，， 当时，，当时，， ∴， ∴，则是等腰直角三角形， 根据对称可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 26．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、三点坐标分别为、、，把沿翻折，点恰好落在轴的点处，为折痕． （1）求直线的解析式； （2）在平面直角坐标系中，有一个动点使得，动点的纵坐标是否为横坐标的函数？若是，求出关于的函数解析式；若否，请说明理由； （3）连接、，点为边的中点，，且交外角的平分线于点，请补全图形，并求证． 【思路点拨】 （1）由翻折的性质可得，，待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意知，，则，由勾股定理得，，设到的距离为，依题意得，，可求，即点在距离为的直线上运动，如图1，记与轴的交点为，与轴的交点为，作于，则，可求，由勾股定理得，，则，，设直线的解析式为；将代入，可求，则直线的解析式为；同理，直线的解析式为； （3）如图2，延长交的延长线于，记与轴的交点为，则，证明四边形是正方形，，证明，则，由，可得，如图2，作于，轴于，证明四边形是正方形，则，，，证明，则，证明，进而可证． 【解题过程】 （1）解：由翻折的性质可得，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 依题意得，， 解得，， ∴点在距离为的直线上运动，如图1，记与轴的交点为，与轴的交点为，作于， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理可得，， 设直线的解析式为； 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为； ∴动点的纵坐标是横坐标的函数，关于的函数解析式为或； （3）证明：如图2，延长交的延长线于，记与轴的交点为， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，， ∴外角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，作于，轴于， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 27．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． （1）求点、点的坐标． （2）过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： （3）在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【思路点拨】 （1）首先求出，，然后根据中心对称的性质求出，然后根据平行四边形的性质求出； （2）如图所示，点E为的中点，连接，，首先得出，然后分两种情况讨论，分别根据题意求出点F和点G的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况讨论，当点Q在y轴左边时，求出，得到所在直线表达式为，然后求出；当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点，根据对称性求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点 ∴当时， ∴； 当时， 解得 ∴ ∵点关于点的对称点为点， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为16 ∴； （2）解：如图所示，点E为的中点，连接，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点E为的中点 ∴ ∴ ∵直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点F ∴当时， ∴ ∴ ∵， ∴点F的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 设表达式为 根据题意得， 解得 ∴的表达式为； ∴当时，如图交于点G ∴ ∵， ∴点G的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 同理利用待定系数法求出表达式为 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：如图所示， ∵直线与轴交于点（当点在点的下方）， ∴点M为直线直线与y轴的交点 ∴当时， ∴ 当点Q在y轴左边时， ∵， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴； 当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点的坐标为或． 28．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点、的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【思路点拨】 本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，当，时，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点， 同理得：， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点，过作交于点， 同理得：， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 29．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，． （1）求点坐标； （2）点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围； （3）若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【思路点拨】 （1）根据直线与坐标轴交点的计算方法求解即可； （2）根据题意，，设的长度为，，是等边三角形，，过点作轴于点，可得，由，即可求解； （3）根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则第二种情况，如图所示，四边形是菱形，；第三种情况，如图所示，四边形是菱形，，连接交于点；数形结合分析即可求解． 【解题过程】 （1）解：直线图象与轴、轴分别交于两点， 当时，，则， 当时，， 解得，，则； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，则， 设的长度为， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段、上时（不与端点重合）， ∴， ∴； （3）解：以点为顶点的四边形为菱形， 第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则， ∴，则， ∵， ∴点与点重合，则； 第二种情况，如图所示，四边形是菱形，， ∴， 由上述证明可得，， ∴， ∴； 第三种情况，如图所示，四边形是菱形，，连接交于点， ∴，且， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以为顶点的四边形为菱形时，的坐标为或或． 30．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． （1）若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值． （2）如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【思路点拨】 （1）①根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； ②在上取点，使，连接，，则，证明，得出，证明，得出，可求出，根据两点间距离公式求出，，由，则当E、M、共线时，，最小值为，故周长的最小值为，进而可求出M的坐标； （2）作于H，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【解题过程】 （1）解：①∵矩形，，， ∴，，，，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式，过点、点， ∴，解得：， ∴直线的解析式； ②∵， ∴， ∵， ∴， 在上取点，使，连接，，则， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当E、M、共线时，，最小值为， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴轴，， ∴M的纵坐标为1， 把代入，得， 解得， ∴． （2）解：如图，作于H， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴，， 又，   ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 31．（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． （1）求直线的解析式． （2）点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． （3）如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出点A的坐标得到的长，则可求出的长得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立直线和直线解析式求出点D坐标，则可求出，进而可得，再根据三角形面积计算公式求出的长，从而得到点P的坐标；作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长，再求出直线的解析式，进而求出点E坐标即可； （3）先求出直线的解析式；如图所示，取，连接，可证明，即是等腰直角三角形，则，即点M即为直线与直线的交点，求出直线解析式为，联立，解得，则点M的坐标为；如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且，则，则点M为直线与直线的交点，同理求出此时点M的坐标即可． 【解题过程】 （1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵点P在y轴正半轴上， ∴点P的坐标为； 如图所示，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：∵将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式； 如图所示，取，连接， ∵， ∴，． ， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点M即为直线与直线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点M为直线与直线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 32．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为y轴负半轴上一点，且，直线经过A，C两点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点Q，与x轴，y轴分别交于点D，点E．点P是直线上位于第四象限内的一点，点M，N分别在直线，上．若点N在点M左侧，且，连接，，，当时，求点P的坐标以及的最小值； （3）如图2，将绕点O逆时针旋转得到，在旋转过程中，直线与x轴于交点G，与直线交于点H，在平面内确定一点K，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点K的坐标． 【思路点拨】 （1）先求出，得出，结合题意可得，从而得出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，设，结合，得出，求出，从而求出，求出直线的解析式为，，，，，作交于，则四边形为平行四边形，为等边三角形，，作交于，求出，，利用平移得出，则，，证明四边形为平行四边形，得出，作点关于直线的对称点，连接交于，连接，则，，求出，由轴对称的性质可得，从而可得，即的最小值为，求出的值即可得解； （3）分两种情况：四边形第一次为菱形时，过点作轴于点，过点作轴于点，利用含角的直角三角形的性质求出点和点的坐标，再利用菱形中，是平移来的，结合点到点的平移方式，即可求出点的坐标；当四边形第二次为菱形时，过点作轴于点，此时点与点重合，得出点坐标，利用含角的直角三角形的性质求出点的坐标，再利用菱形中，是平移来的，结合点到点的平移方式，即可求出点的坐标． 【解题过程】 （1）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时，， 解得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵点P是直线上位于第四象限内的一点， ∴设， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵将直线向上平移个单位长度得到直线，直线的解析式为， ∴直线的解析式为，，， ∴， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，，， ∴， 如图，作交于， 则四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， 作交于，则， ∴， 将点沿方向平移单位长度得到点（即向左平移个单位长度，向上平移个单位长度）， 则，即， 则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于，连接，则，，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值； （3）解：如图，四边形第一次为菱形时，过点作轴于点，过点作轴于点， 此时为等腰三角形，且， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由菱形中，，， ∴是平移来的， ∵点到点的平移方式是水平向右平移个单位长度， ∴点为点水平向右平移个单位长度， ∴点的坐标为， 即； 如图，四边形第二次为菱形时，过点作轴于点， 此时为等腰三角形，且， ∴，， 由旋转知，即， ∴点与点重合， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同上平移方法可得点为点水平向右平移个单位长度， ∴点的坐标为， 即； 综上所述，或． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$