期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、整式混合运算 1．（24-25七年级下·安徽合肥·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）（1）已知，． ①求的值． ②计算的结果． （2）若，求的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）①根据同底数幂的除法法则解答即可；②根据同底数幂的乘法可得，由①可得，最后根据积的乘方的逆用，即可求解； （2）逆用积的乘方法则、同底数幂的乘除法法则解答即可． 【详解】解：（1）①， ， ， 即； ②， ， ，即， ； （2）， ． 3．（2025·安徽亳州·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉说的对，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算、整式的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）按照定义的运算规则代入数值计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，判断即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：嘉嘉说的对，理由： ∵ ∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． （1）利用进行计算即可得到答案； （2）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）， ， 原式 ． 5．（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析； (2)3； (3)或． 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴且， 解得． 故答案为：3； （3） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴或， 解得或0． ∴的值是或0． 压轴满分题二、分式方程有（无）解问题 6．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可． 【详解】（1）解：∵分式方程的根是， ∴， 解得 （2）解：去分母，并化简得， 当，即时，方程无解，则分式方程也无解， 当，即时， ∵分式方程无解， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 解得， 综上，当或时，分式方程无解． 7．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得：， 整数为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得， 分式方程有整数解， 是整数，且， 整数为：1，5， 所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：6． 8．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知分式方程有解，其中“”表示一个数． (1)若“”表示的数为，求分式方程的解； (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是“”是，这两个数中的一个．请你帮助嘉淇确定“”表示的数，并求原分式方程的解． 【答案】(1) (2)“”表示的数是，分式方程的解为 【分析】（1）根据题意列出分式方程，求解即可； （2）把和分别代入方程，求解判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为； （2）解：若“”是，则有， 去分母得：，该方程无解， 分式方程无解； 若“”是，则有， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为， 综上所述：“”表示的数是，分式方程的解为． 【点睛】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 9．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）按要求完成以下问题： (1)计算图中阴影所示绿地的面积； (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了列代数式和分式方程无解的知识点，熟练掌握分式方程无解分两种情况是解题的关键． （1）利用分割法且阴影部分的面积，列出代数式即可； （2）根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和增根分类讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 去分母得， ， 整理为：， 当时，， 当时，整式方程无解， 当时，， ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， 分式方程无解时，或． 10．（2025·安徽合肥·一模）（1）小丁和小迪分别解方程的过程如表： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在答题卡______处打“√”；若错误，请打“×”，并写出你的解答过程． （2）某学校课后兴趣小组在计划开展手工制作活动，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】（1）小丁和小迪的解法都不正确，解答过程见解析；（2）这些卡纸最多可以做成12个包装盒 【分析】本题主要考查了解分式方程、由实际问题抽象出二元一次方程组等知识点，掌握分式方程的解法以及找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． （1）先根据解分式方程的步骤判定正误，然后再将分式方程化成整式方程求解，最后检验即可完成正确解答； （2）设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：（1）小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下： ， 两边同乘，去分母，得， 移项，合并同类项，得， 检验：将代入中，可得， 则是分式方程的解， 故原分式方程的解是． （2）设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意可得：，解得， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则能做出12个侧面，24个底面，这些卡纸最多可以做成12个包装盒． 压轴满分题三、因式分解一一公式法 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练计算是解题的关键． （1）直接提取公因式，进而分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差，再利用完全平方公式即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：； 乙的解答是： (1)______的解答是错误的． (2)解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质：______． (3)化简并求值：，其中． 【答案】(1)乙 (2) (3)，8 【分析】本题考查二次根式性质、去绝对值、完全平方差公式因式分解及代数式求值等知识，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键． （1）由得到，从而确定，结合即可判断； （2）由（1）的分析过程即可得到答案； （3）先由完全平方差公式分解因式，再由化简，进而由判断，去绝对值即可得到化简结果，再将代入即可得到代数式的值． 【详解】（1）解：， ，即， ， 综上所述，乙的解答是错误的， 故答案为：乙； （2）解：由（1）可知，解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质：， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式 ， 当时，原式． 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 14．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)64 (2) (3)当时，有最大值，最大值是7 【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值； （2）先配成完全平方，再用平方差公式分解； （3）先配方，再利用非负数的性质求最值即可． 【详解】（1）解： ， 是一个完全平方式， ， ； （2）解： ； （3）解： ． ． 当时，有最大值，最大值是7． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）14 【分析】本题考查了图形规律，运用代数式表达式，解一元二次方程． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据前几个图案的规律，即可求解； （3）根据题意，列出关系式，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （2）第个图案中，“”的数量有：， 故答案为：； （3）由题意得，，即， 解得（负数已舍去）， 即的值为14． 压轴满分题四、不等式（组）组含参计算问题 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如，． (1)若，求x的取值范围． (2)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，即为，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若关于和的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)是否存在一个整数使不等式的解集为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，1，2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y得代数式；根据方程的解满足的解满足得到不等式组，解不等式组就可以得出a的范围； （2）根据不等式的解集为，求出a的取值范围，即可解答. 【详解】（1）解： ，得 ． ，得 ． 解得：． （2）解：存在．理由如下： 变形为． 原不等式的解集为， ． 由（1）得 ． 为整数， 的值为1，2． 18．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【答案】(1)①5，②是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组B的解集判断即可求解； （2）求出不等式组C和D的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：①， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组A的解集中点值为； 故答案为：5 ②∵在的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是 （2）解：， 解得：， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“郴永宜方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“郴永宜方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）解：，解得：； ，解得：； 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 的解集为：， 在范围内， ∴不等式组 的“郴永宜方程”是； 故答案为：； （2）解：解方程得：， 解不等式组，得， ∵关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”， ∴， 解得； （3）解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“郴永宜方程”， ∴在范围内， ∴， 解得， 综上所述，． 20．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料： 材料1：集合是数学中最基本的概念之一，指具有某种特定性质的对象的总体．这些对象称为集合的元素（或成员），且满足以下特性： （1）确定性：任一元素要么属于集合，要么不属于集合（不存在模糊状态）； （2）互异性：集合中的元素互不相同； （3）无序性：元素排列顺序不影响集合本身． 例如：集合均是集合P的元素，因此1，2，3均属于集合P，0不是集合P的元素，因此0不属于集合P． 材料2：集合的表示方法： （1）列举法：直接列出元素．例如：； （2）描述法：通过条件定义元素．例如：是偶数 材料3：集合间的关系：（1）若，则A，B两个集合中的元素完全一样．例如：若，，则、（2）若 (读作：A包含于B），则集合A中的每个元素都属于集合B．例如：，，若，则，即 请根据上述材料完成下列问题： (1) 整数集合， 有理数集合；（填序号） ①属于；②不属于． (2)已知，若，求x，y的值； (3)已知，，若；直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，② (2) (3)， 【分析】本题考查了无理数与有理数、二次根式、立方根、一元一次不等式组等知识，正确理解集合的定义和特性是解题关键． （1）根据整数、无理数与有理数、集合的定义即可得； （2）先根据集合的特性和二次根式有意义的条件可得，再根据可得，从而可得，然后根据可得，即，利用立方根的性质可得的值，由此即可得； （3）先解一元一次不等式组可得，再根据可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵整数包括正整数、0和负整数， ∴属于整数集合， ∵是无理数， ∴不属于有理数集合， 故答案为：①，②． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵，，且， ∴这个不等式组有解， ∴， ∴， 又∵，且， ∴，， ∴，． 压轴满分题五、一元一次不等式（组）的新定义问题 21．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足不等式，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据新定义列出方程组是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解； （2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含m的式子表示出x，y，再根据即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， 解得：； （2）解：由题意得，， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据的定义，可得，求解即可； （2）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：． （2）解：分情况讨论： ①当，即时， ， 解得：； ②当，即时， ， 解得：， 综上，的取值范围是或； 23．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：． (1)求的值： (2)若的值小于34，求x的取值范围，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题考查定义新运算，求不等式的解集，并在数轴上表示解集： （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出不等式，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， 解得：； 在数轴上表示解集如图： 24．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“关联方程”． (1)在方程①；②；③ 中，关于的不等式组 的“关联方程”是 ；(填序号) (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 该不等式组的解集为：，和在的范围内，不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， ， 解得：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 25．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ，， ∵x，y是非负数，即，， ，，． 【回答问题】： (1)求出a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由新定义运算的含义结合已知条件建立方程组，再解方程组可得答案； （2）先表示，再根据，是非负数，可得且可得，而，再结合不等式的性质可得答案； （3）由新定义运算的含义可得，可得，仿照（2）的方法建立不等式组可得，再结合，再结合x的范围求解即可； 【详解】（1）解：∵；，， ∴， ∴解方程组得：； （2）∵， ， ，是非负数， 即， ， ∵， ∴ ， ． （3）∵，，而， ∴，解得：， ∵，，都为非负数， ∴，解得：， ∴ ； 当时，原式， 当时，原式， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，三元一次方程组的应用，代数式的最大值与最小值的计算，新定义运算的含义，理解题意，建立合适的方程组与不等式组是解本题的关键． 压轴满分题六、 分式的规律性问题 26．（2024·安徽·一模）观察以下等式： 第1个等式；第2个等式； 第3个等式；第4个等式；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)； (2)；见解析 【分析】（1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大1，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边分子为1，分母为两个加数分母的乘积，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：猜想：； 证明如下： 等式左边， 等式右边， ∴等式左边等式右边， ∴猜想成立． 【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键． 27．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 28．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 【答案】(1)①④ (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了分式的定义、分式的加减运算等知识点，灵活运用分式的加减运算法则成为解题的关键． （1）根据真分式的定义逐一判断即可； （2）先对原式变形，然后逆用分式加法并约分即可解答； （3）由（2）的信息可得：是整数，可得或，然后再解方程即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， ∴①是真分式，②是假分数，③是假分数，④是真分式． 故答案为：①④． （2）解：． （3）解：∵假分式的值是整数， ∴，即是整数． ∴或，解得：或或0或， ∵x的值为整数， ∴x的值为0或． 故答案为：0或． 29．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… （1）写出第5个等式：________________； （2）探究规律：猜想第个等式，并证明； （3）问题解决：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升的，如果不考虑实际操作因素，按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？为什么？ 【答案】（1）   （2）；证明见解析  （3）不能；见解析 【分析】（1）观察各等式，找出分子分母中的数与序号的关系即可写出第五个等式； （2）根据题目中的式子，可以写出生意人猜想，并验证猜想是否正确； （3）根据题意求出前n次倒水量之和，再与1进行比较即可． 【详解】解：（1）第5个等式：； 故答案为：； （2）猜想：，证明： 等式右边等式左边， ∴猜想成立； （3）由题意可得： 第次倒出水量：， ∴前次总共倒出水量： ， ∵， ∴这1L水不能倒完． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律的问题，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是发现分子分母中的数与序号的关系． 30．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）阅读下列材料： 关于的方程： 的解是，； （即）的解是，； 的解是，； 的解是；… (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证； (2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：． 【答案】(1)的解是，，验证见解析 (2)， 【分析】（1）认真审题，找到规律：的解为，，分别代入验证即可； （2）据规律解题即可． 【详解】（1）解：猜想 (m≠0)的解是，． 验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+， ∴方程成立； 当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+， ∴方程成立； ∴ (m≠0)的解是，； （2）解：由得， ∴x-1=a-1，， ∴，． 经检验：它们都是原方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律： (m≠0)的解是，． 压轴满分题七、多项式乘法中的规律问题 31．（2025·安徽安庆·模拟预测）观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字变化规律，整式的运算，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据自然数的等式规律即可求解； （）根据自然数的等式规律即可求解，然后通过整式乘法法则进行验证即可． 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 故答案为：； （2）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； ∴第个等式为：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边． 32．（24-25七年级下·安徽亳州·单元测试）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中的规律性问题，准确计算是解题的关键． （1）根据给出式子的规律书写即可； （2）根据给出式子的规律即可得出结果； （3）根据（2）中的规律计算即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案是：． （2）解：根据题意得：； 故答案是：； （3）解： 33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据已有等式，得到相应的规律，是解题的关键： （1）根据已有等式，抽象概括出相应的规律即可； （2）利用（1）中规律解题即可； （3）将式子乘以，利用规律解题即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； 故答案为：； （2）； （3） ． 34．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：； （3）解：规律为：， 证明： ， ， ∴． 35．（2025七年级下·安徽池州·模拟预测）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简： ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值： (3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由． 【答案】(1)①；②100 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查立方差和立方和公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键． （1）根据立方差公式计算； （2）根据完全平方公式计算； （3）根据体积找到a，b关系． 【详解】（1）解：①原式 ②原式 故答案为：①；②100； （2）∵，则 ∴， ∴； （3）不可能，理由如下： 假设长方体可能为正方体，由题意：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不成立， ∴该长方体不可能是边长为的正方体． 压轴满分题八、利用平移的性质解决问题 36．（23-24七年级下·安徽蚌埠·课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可． 【详解】解：如图所示：    （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为； （2）分别在和上截取河的宽度； （3）连接，分别交和于点和； （4）过点和分别作和的垂线段，垂足分别为和； （5）连接和．则桥建在和处才能使两村之间的路程最短． 【点睛】本题考查最短路径问题．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解． 37．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在某一基地的建设中，准备在一个长为米、宽为米的长方形草坪上修建两条宽为a米的通道．    (1)求剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）由平移知识剩余草坪看成是一个长为米，宽为米的长方形，由长方形面积公式即可求解； （2）把，代入（1）中化简后的算式中求值即可． 【详解】（1）解：剩余草坪的面积是： 平方米． （2）解：当，时， 原式 ； 所以剩余草坪的面积是平方米． 【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，平移性质及科学记数法，利用平移性质正确表示出剩余草坪的长与宽是关键． 38．（23-24七年级下·安徽亳州·单元测试）某酒店在装修时在大厅的主楼梯上铺设一种红色地毯，其侧面如图所示，已知这种地毯每平方米售价60元，主楼梯道宽为2米，则买地毯至少需要多少元？ 【答案】1080元 【分析】利用平移线段，计算地毯的长度，再根据地毯的面积，计算价格，即可解答． 【详解】解：由图形可得，利用平移线段，把楼梯的横向线段向下平移，竖向线段左平移，则横向线段总和为m，纵向线段总和为m， 地毯的长度为m， 地毯的面积为， 买地毯至少需要（元）， 答：买地毯至少需要1080元． 【点睛】本题考查了线段的平移，观察图形，求出地毯的长度是解题的关键． 39．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 40．（23-24七年级下·安徽池州·期末）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)见解析过程； (2)40，=； (3)（ab-a） 【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB； （2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求； （2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2， 则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位； S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位； ∴S1=S2， 故答案为：40，=； （3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度， ∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位． 故答案为：（ab-a）． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积． 压轴满分题九、因式分解的实际综合应用 41．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 【答案】；[发现]（答案不唯一）；[探究]见解析；[应用] 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解的应用，代数式求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将整式化简得到，得出，即可求出，即可得到答案； 根据“对称多项式”的定义即可得到答案； 和是两个连续的奇数，设，则，推出，由是偶数，设，则，得到，即可得到结论； 根据题意得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， “○”表示的数为， 故答案为：； [发现] 根据“对称多项式”的定义得， 故答案为：（答案不唯一）； [探究] 和是两个连续的奇数，设，则， ， 是奇数， 是偶数， 设，则， ， 的值为的倍数； [应用] ， ， ； 的值为． 42．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．解题的关键是理解新定义的意思． （1）根据“优美数”的定义进行计算即可； （2）根据“优美数”的定义进行解答即可； （3）通过因式分解得，根据“优美数”的定义，列出k的方程求得k即可． 【详解】（1）解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 43．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． (1)则图③可以解释为等式：______． (2)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． (3)在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 【答案】(1) (2)①②③④ (3)图见解析， 【分析】此题考查了利用图形面积研究因式分解、平方差公式，此类题的解题思路为：原面积等于拼剪后的面积，掌握解题思路是解题的关键． （1）观察图形，根据面积列出等式即可； （2）根据图中每个图形的面积之间的关系，即可判断出正确的有几个； （3）画出的矩形边长分别为和即可； 【详解】（1）解：由图可知， 故答案为： （2）①，故正确； ②由图可知，，，，故正确； ③由图可知，，，则，故③正确； ④， ∴，故④正确 综上，正确的选项为：①②③④． （3）如图， 故答案为： 44．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问 题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解：先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：； (3)求 的最小值． (4)已知实数x，y 满 足，求的最小值，并指出此时y的值． 【答案】(1)4 (2) (3)8 (4)， 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）因为，可得答案为： 4 ； （2）按照示例（1）解答为； （3）按照示例（2）解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答． （4）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． （4）解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 45．（24-25七年级下·安徽六安·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________； (2)观察图2，可以发现代数式可以因式分解为__________； (3)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式， 这个因式分解的等式是：____________________； ②已知，，利用上面的规律求的值． ③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果： ______________________________． 【答案】(1)、； (2) (3)①；②的值为； ③ 【分析】本题主要考查了通过不同方式计算图形面积或几何体体积来推导因式分解等式．掌握图形结合的方法是解题的关键． 根据图形列出其面积或体积的代数式，然后推导出因式分解等式，并运用这些等式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中大正方形的面积可以看成：①边长为的大正方形，则其面积可以表示为：； ②边长为的正方形、边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形，则其面积可以表示为：； ①②表示的是同一图形的面积，则有，从而得到的因式分解的等式是：． （2）解：图2还可以看作一个长为，宽为的长方形，则其面积为，所以可以发现代数式可以因式分解为． （3）解：①对于图3棱长为的正方体，从整体看，体积为：， 从分割后的小几何体看，有两个棱长分别为、的小正方体和三个长为、宽为、高为的长方体以及三个长为、宽为、高为的长方体组成，则其体积可以表示为：，因为这两种表示都为图3 正方体体积，所以； ②由①知，移项可得：， 进一步变形为：， 已知，，代入可得： ； ③对因式分解，观察发现． 压轴满分题十、 分式方程的实际应用问题 46．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）为弘扬开州举子园文化，某纪念品店最初用元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完该纪念品店又用元购进了第二批该款笔记本，由于供货紧张，每本笔记本的进货价比第一次多元，所购数量是第一批购进数量的倍． (1)该专卖店购进的第一批笔记本每本的进价是多少元？ (2)如果两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于元，那么每份笔记本的标价至少是多少元？ 【答案】(1)5元 (2)8元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键： （1）设该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是元，根据每本笔记本的进货价比第一次多元，所购数量是第一批购进数量的倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设每份笔记本的标价是元，根据要使两批笔记本全部售完后利润不低于元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是元，则第二批笔记本每份的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：该专卖店购进的第一批笔记本每本的进价是元； （2）设每份笔记本的标价是元， 第二批笔记本每份的进价为：元， 由题意得：， 解得：， 答：每份笔记本的标价至少是元． 47．（2025·安徽六安·二模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的1.5倍，且厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本． (1)求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 【答案】(1)每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为 (2)75本数学书 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）设还可以摆本数学书，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为， 由题意得：． 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为． （2）解：设还可以摆本数学书， 由题意得，， 解得： 答：最多还可以摆75本数学书． 48．（2025·安徽淮北·二模）某市为推进绿色出行体系建设，拟对现有新能源汽车充电设施进行扩建改造．该工程由甲，乙两家电力工程公司共同承担施工任务，已知若由甲公司独立施工，完成全部工程需要个工作日；若采用乙公司先行施工个工作日，剩余工程由甲乙两公司联合施工个工作日的方式，亦可完成全部工程． (1)求乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要多少个工作日？ (2)现工程预算为不超过万元，已知甲公司施工费用为每日万元，乙公司施工费用为每日万元．若采用乙公司先独立施工若干工作日后，再由甲乙两公司联合施工的方式完成工程，则甲公司至少需要参与施工多少个工作日？ 【答案】(1)个 (2)个 【分析】（）设乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日，根据题意列出方程即可求解； （）设乙公司先独立施工个工作日，甲乙公司合作施工个工作日，根据题意可得，解不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， 答：乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日； （2）解：设乙公司先独立施工个工作日，甲乙公司合作施工个工作日， 由题意得，， 解得， 答：甲公司至少需要参与施工个工作日． 49．（2025·安徽滁州·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 【答案】(1)2次 (2)小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出不等式和方程是解题的关键． （1）设在活动二中篮球掉落x次，根据活动一和活动二完成的时间加上因为篮球掉落额外增加的时间不超过28秒列出不等式求解即可； （2）设小红跑了秒，则小强跑了秒，根据小红的说法建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设在活动二中篮球掉落x次， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为2， 答：在活动二中篮球最多能掉落2次； （2）解：设小红跑了秒，则小强跑了秒， ， 方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 50．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）2024年厦门铁人三项公开赛于11月9日~10日在环东海域浪漫线举行．铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． (1)甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； (2)小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． 【答案】(1)甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度 (2)①跑步，理由见解析；②选择策略二理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意列出方程，即可求解， （2）①跑分别算出小陈跑步、游泳、自行车的成绩与平均成绩的差占平均成绩的比例，即可求解；②记策略一所用时间为，策略二所用时间为，利用作差法比较两种策略的时间，即可求解． 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 则，解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：， 此时， ∴甲的速度为：，乙的速度为：， ∵，， ∴甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度， （2）解：①跑步，理由如下： ∵， ， ， 且， ∴小陈成绩最不理想的是跑步项目， ②记策略一所用时间为，策略二所用时间为， 则：， 整理得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， 即：， 又， ∴， ∴， 答：策略二所用时间小于策略一，因此选择策略二． 压轴满分题十一、一元一次不等式组的实际综合应用 51．（2025·安徽蚌埠·二模）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)分别购买每个大、小两种垃圾桶各多少元钱? (2)该校计划购买大、小垃圾桶共32个，总费用不超过2880元，求最多购买大垃圾桶多少个． 【答案】(1)购买每个大垃圾桶180元钱，每个小垃圾桶60元钱 (2)最多购买大垃圾桶8个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设购买每个大垃圾桶元钱，每个小垃圾桶元钱，然后根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出方程组，解之即可； （2）设购买大垃圾桶个，则需要购买小垃圾桶个，然后根据“该校计划购买大、小垃圾桶共32个，总费用不超过2880元”列出一元一次不等式，解之得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买每个大垃圾桶元钱，每个小垃圾桶元钱， 依题意得，， 解得， 答：购买每个大垃圾桶180元钱，每个小垃圾桶60元钱． （2）解：设购买大垃圾桶个，则需要购买小垃圾桶个， 依题意得，， 解得， 所以的最大值是8． 答：最多购买大垃圾桶8个． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个竹篮的质量为，装入每枚质量为的一些鸡蛋后，总质量超过了．该竹篮内至少装了多少枚鸡蛋？ (1)如果这个竹篮装了x枚鸡蛋，那么x应满足怎样的关系？ (2)填写下表： 鸡蛋数量 30 35 40 45 50 总质量/kg (3)估计该竹篮至少装了多少枚鸡蛋． 【答案】(1) (2)见详解 (3)42枚 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用． （1）如果这个竹篮装了x枚鸡蛋，根据一个竹篮的质量为，装入每枚质量为的一些鸡蛋后，总质量超过了列出关于x的一元一次不等式即可． （2）根据总质量为代入求解，然后补全表格即可． （3）解（1）列出的不等式即可． 【详解】（1）解：如果这个竹篮装了x枚鸡蛋， 则根据题意有： （2）解：填表如下： 鸡蛋个数 30 35 40 45 50 总质量 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 （3）解： 则该竹篮至少装了42枚鸡蛋 53．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染，进货单如下： 商品 进行（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． (1)请你求出甲、乙每件商品的进价； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过6870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 【答案】(1)甲商品每件75元，乙商品每件50元 (2)74件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． （1）设乙商品每件的进价为x元，则甲商品的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设最多购买甲商品y件．根据题意，得，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙商品每件的进价为x元，则甲商品的进价为元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲商品每件75元，乙商品每件50元． （2）解：设最多购买甲商品y件．根据题意，得，， 解得， 由件数是正整数， 故y最大取74． 答：最多购买甲商品74件． 54．（23-24七年级下·全国·单元测试）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解． （1）根据表格收费标准，及小王家4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可； （2）先判断用水量超过，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理得：， 解得：； （2）解：当用水量为时，水费为：元，元， ∵， ∴小王家6月份的用水量超过， 设小王家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， ∴小王家6月份最多用水． 55．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 压轴满分题十二、乘法公式在几何图形中的应用 56．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长（不含直径）之和为，面积之和为． (1)求长方形的周长？ (2)求长方形的面积？ 【答案】(1)32 (2)60 【分析】（1）设长方形的长为a，宽为b，根据四个半圆的周长之和为，可得，从而可求得长方形的周长； （2）根据面积之和为，可得，进而求出ab的值即可求得长方形的面积． 【详解】（1）解：设长方形的长为a，宽为b，由题意得， ，即：， ∴长方形的周长为， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴长方形的面积为60． 【点睛】本题考查了求代数式的值以及完全平方公式的几何意义，将公式进行适当的变形是解决问题的关键． 57．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如： ， ． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据求出，即可求解； （3）根据题意可得：，，，得到，根据，，，求出，进而得到，可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3）正方形、的边长分别为、， ，， ， ， ，， ， ， 或（负值舍去）， ． 58．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟知乘法公式是解题的关键． （1）根据长方形和正方形面积计算公式分别求出A、B的面积，二者求和即可得到答案； （2）根据长方形和正方形周长计算公式推出，进而可求出A、B面积，再根据净收入计算公式代值计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴、两园区的面积之和为平方米； （2）解：∵整改后两园区周长之和为1200米， ∴， ∴， ∴正方形面积为平方米， ∴长方形面积为平方米， 元． 59．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．如由图1可以得到，由图2可以得到． 现有四个长与宽分别为a、b的小长方形，按图3的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图3中阴影部分的面积： 方法1：_______________；方法2：_______________；由此得到等式_______________； (2)利用上述等量关系解决问题：若，，求的值； (3)如图4，在正方形中，，，其中四边形、、均为正方形，四边形、是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为24，求长方形的面积． 【答案】(1)，， (2)15 (3)4 【分析】本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）方法1：根据大正方形的面积减去4个长方形的面积求解，方法2：根据图形，得小正方形的边长为，然后根据正方形的面积公式求解，即可得出答案； （2）先求出，从而得，进而求解即可； （3）设正方形的边长为x，则，，根据阴影部分面积的和为24，得出，令，，则，，根据完全平方公式可求出，即可求解． 【详解】（1）解：方法1：根据图形，得大正方形的面积为，4个长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 方法2：根据图形，得小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， ∴ 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设正方形的边长为x， ∵，， ∴，， ∵阴影部分面积的和为24， ∴， 令，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴长方形的面积为4． 60．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (4)【迁移应用】计算． 【答案】(1)①②③ (2)4 (3)图和证明见解析， (4) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解：原式 ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． ∵， ∴，，， ∴， ∴． （4）解：将看作，看作，看作， 则 ． 压轴满分题十三、利用平行线的性质探究角的关系 61．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，探索这两个角之间的关系． (1)如图，若，，则______________．（填“”“”或“”） (2)如图，，，与的大小有何关系？请说明理由． (3)若两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)、或、． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 根据两直线平行，同位角相等，可得：，，等量代换可得：； 根据两直线平，同旁内角互补，可得：，根据两直线平行，同位角相等，可得：，等量代换可得：； 由和可知若两个角的两边分别平行，这两个角相等或互补，设一个角为，根据两角之间的关系列出关于的方程，解方程求出这两个角的度数即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ， ， 又， ， ； 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，设与交于点． ， ， ， ， ； （3）解：设一个角为， 当两角相等时，， 解得：； 当两角互补时，， 解得：． 这两个角的度数为、或、． 62．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，点M、N分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点H是延长线上一点，连接，若平分，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定及性质即可证明； （2）过点H作，设，根据角平分线的定义得到，，结合（1）的结论得到，再由平行线的判断及性质得到，，因此，从而得出结论． （3）过作，过点P作，设，根据平行线的判定及性质得到，，由角平分线的定义得到，从而，又，因此，，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点H作，设， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）解：过作，过点P作，设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 63．（24-25七年级下·安徽池州·期中）【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 【答案】（1）；（2），，之间的数量关系为：或者或者；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）分点在线段上，点在线段右侧，点在线段左侧三种情况，过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可； （3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过点P作，则：， ， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2），，之间的数量关系为：或者或者． ①当点在线段上时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②当点在线段右侧时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； ③当点在线段左侧时，；理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； （3）过点P作，过点Q作，如图， 由（2）的结论可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，． ∴ ． 64．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．    (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系， 三角板的角度计算等知识． （1）由平行线的性质得，再由，即可求解； （2）过点F作，结合已知得，从而有，，则； （3）由平行得，即，又，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点F作，      ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 65．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． （1）过点作，则，根据平行线的性质可知，，进而可求解； （2）①过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果； ②过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， 即， 故答案为：． （2）①， 理由如下：过点作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由如下：过点作，则， ∴ ∵ ∴ ∴． 压轴满分题十四、平行线中动点问题 66．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知直线与直线，直线分别交于点E，F，平分交直线于点M，且．    (1)求证：； (2)点G是射线上的一个动点(不与点M，F重合)，平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设． ①点G在点F右侧，且，求的度数； ②点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由角平分线的定义即得出，结合题意可证明，即得出； （2）①平分和，可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②分两种情况讨论：当点G在点F的右侧，当点G在点F的左侧时，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如图1，      ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． ②和之间的数量关系为或．理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）得， 当点G在点F的左侧时，如图2，      ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 综上所述，和之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 67．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）直线，直线l3、l4分别与l1、l2交于点B、F和A、E，点D是直线l3上一动点，交l4于点C． (1)如图1，当点D在l1、l2两线之间运动时，试找出∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系，并说明理由； (2)当点D在l1、l2两线外侧运动时，试探索∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系（点D和B、F不重合），画出图形，直接写出结论． 【答案】(1)∠BAD＋∠DEF＝∠ADE，理由见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用平行线的性质证明∠BAD＋∠DEF＝∠ADE即可； （2）当点D运动到直线l1的上方时，∠BAD＋∠ADE＝∠DEF．当点D运动到直线l2的下方时，∠DEF＋∠ADE＝∠BAD． 【详解】（1）解：结论：∠BAD＋∠DEF＝∠ADE， 理由：∵（已知）， ∴ ∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ADC＋∠CDE＝∠ADE， ∴∠BAD＋∠DEF＝∠ADE（等量代换）． （2）解：①如下图，当点D运动到直线l1的上方时， ∵（已知）， ∴ ∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ADC＋∠ADE＝∠CDE， ∴∠BAD＋∠ADE＝∠CDE（等量代换）． 即：∠BAD＋∠ADE＝∠DEF． ②如下图，当点D运动到直线l2的下方时， ∵（已知）， ∴ ∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠CDE＋∠ADE＝∠ACD， ∴∠DEF＋∠ADE＝∠ADC（等量代换）． 即：∠DEF＋∠ADE＝∠BAD． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 68．（23-24七年级下·安徽池州·期中）已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点． (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由平角的定义求出，，再根据角平分线的定义求出，由此求出的度数即可求出的度数； （2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质得到，进而得到，再仿照（1）求出，则； （3）根据平行线的性质推出，再由（2）的结论得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点F作， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴，， ∵和的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知角平分线的性质，添加平行线探究角的关系是解题的关键． 69．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC． (1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ； (2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示） (3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系． 【答案】(1)25° (2)∠AMP＝； (3)∠QND＝2∠AMP． 【分析】（1）过P作PEAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解； （2）过P作PFAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－，进而可求解； （3）过P作PFAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－，进而可求解； 【详解】（1）解：过P作PEAB， ∵ABCD， ∴PECD， ∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN， ∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC， ∵∠MPN＝90°， ∴∠AMP+∠PNC＝90°， ∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°， ∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）， ∵∠QND＝50°， ∴∠PNC＝65°， ∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°； 故答案为：25° （2）过P作PFAB， ∵ABCD， ∴PFCD， ∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN， ∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC， ∵∠MPN＝90°， ∴∠AMP+∠PNC＝90°， ∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°， ∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）， ∵∠QND＝， ∴∠PNC＝＝90°－， ∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝； 即∠AMP＝； （3）过P作PFAB， ∵ABCD， ∴PFCD， ∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN， ∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC， ∵∠MPN＝90°， ∴∠AMP+∠PNC＝90°， ∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°， ∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）＝90°－， ∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝． 即∠QND＝2∠AMP． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平角的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 70．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 压轴满分题十五、平行线中的翻折问题 71．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕．如果，求的度数．    【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，再由，可得，得，可得，再由折叠的性质可得，求出即可． 【详解】由折叠的性质，得：， 又， ， ， ， 由折叠的性质，得：， 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定和性质，熟练掌握折叠的性质、平行线的判定和性质是解题的关键． 72．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图，在直角三角形纸片中，，E，F分别是，上的点，将沿折叠得到．若于点O，猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据，得到，利用平行线性质，得到，从而得到，得到结果． 【详解】解：． 理由如下： ，． ． ． ． 由折叠可得． ． ． 73．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图1，有一张四边形ABCD纸片，，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P． (1)求证：∠GEA＝∠HFB； (2)如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时，，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据可得，进而可得，而，由等量代换可得结论； （2）由翻折前后对应角的大小不变的性质可得∠G＝∠D＝70°，当∠EFC＝35°，可得∠HFC＝70°，进而可得∠HPE＝∠HFC＝70°，又因为，可得∠GEP＝110°，由∠G＋∠GEP＝180°可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD沿EF折叠，， ∴， ∴∠GEA＝∠EPF， 又∵， ∴∠EPF＝∠HFB， ∴∠GEA＝∠HFB； （2）当∠EFC＝35°时，， ∵四边形ABCD沿EF折叠， ∴∠G＝∠D＝70°，∠HFE＝∠EFC＝35°， ∴∠HFC＝70°， 又∵， ∴∠HPE＝∠HFC＝70°， ∵， ∠GEP＝110°， ∴∠G＋∠GEP＝180°， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 74．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，角度的和差等内容，解题关键是找到图中角度之间的关系，列出等式． （1）由垂直的定义及角度的和差计算可得； （2）证明平分，即证明，通过题目中角度的和差运算可得； （3）设出的度数，表示出的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可． 【详解】（1）解：，相交于点， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）解：， 设，则， ， ，， ， ， ，，三点在一条直线上， ， 解得：， ． 75．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】； 张华的说法正确，理由见解析； 在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解． 根据折叠的性质可知； 根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前； 根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】解：根据折叠的性质可知， 故答案为：； 张华的说法正确， 证明：根据折叠的性质可知， 由可知， ， ； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 当灯转动秒时，灯转动了秒， 在灯P射线第一次到达之前，， 故答案为：； 解：灯的射线从转到需要的时间是秒， 在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒， 灯的射线转动的速度是每秒， 灯从转到需要的时间是秒， 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ∴ ， 解得：； 综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 压轴满分题十六、平行线的性质与判定综合应用 76．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了同旁内角互补，两直线平行，对顶角相等，等量代换，理解相关知识是解答关键． （1）根据对顶角相等得到，再利用同旁内角互补，两直线平行即可求解； （2）根据两直线平行同旁同角互补得到，结合已知用等量代换和同旁内角互补，两直线平行求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：． 理由如下：， ． ， ， ． 77．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 78．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数． (2)如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． (3)当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； （1）过点作，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）设，根据平行线的性质得出，结合平角的定义，即可求解； （3）当在下方时，如图所示，由（1）可得，则，根据平行线的性质得出，进而即可求解；当在上方时，根据平行线的性质，同理可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵，即， 解得：， ∴； （3）解：当在下方时，如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 由（1）可得 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴． 当在上方时，如图所示，过点作 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 79．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）体育课上，小明和小聪突然争论起来，他们都说自己比对方身体长的高，这时善于思考的小慧走过来，笑着对他俩说：“你们不要争了，其实你们一样高，看看地上，你俩的影子一样长”（假设太阳光线是平行的），小明和小聪不太明白，小慧给他们讲了其中的道理． 小慧说我们先对该问题进行数学抽象：如右图，直线a表示地面，AB，CD分别表示你俩的身高，PM和ON表示太阳光线，是平行的，BM和DN表示你俩身高的影长，然后小慧用所学的数学知识解决了该问题． 下面给出了小慧解决该问题的一部分内容，请你将已知，求证补充完整，并给出证明： (1)已知：如图，于点B，于点D， ， ． (2)求证： ． (3)证明： 【答案】(1)AM∥CN（或PM∥QN），BM＝DN； (2)AB＝CD； (3)见解析 【分析】（1）根据已知太阳光线是平行的，他俩的影子一样长，得到AM∥CN（或PM∥QN），BM＝DN． （2）根据要解决的问题是他俩的身高一样，即求证的问题为AB＝CD． （3）利用AAS证明△ABM≌△CDN，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵太阳光线是平行的，他俩的影子一样长， ∴AM∥CN（或PM∥QN），BM＝DN． 故答案为：AM∥CN（或PM∥QN），BM＝DN． （2）解：要解决的问题是他俩的身高一样，即求证的问题为AB＝CD． 故答案为：AB=CD； （3）证明：∵AB⊥a，CD⊥a， ∴∠ABM＝∠CDN＝90°． ∵AM∥CN， ∴∠AMB＝∠CND． ∵BM＝DN， ∴△ABM≌△CDN． ∴AB＝CD． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定即性质，平行线的性质，熟记各定理并从对话中分析出已知与求证解决问题是解题的关键． 80．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 【答案】（）证明见解析；（）；（） 【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题十七、平行模型的综合问题 81．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 82．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前2世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》，书中记载的现象：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”即潜望镜的雏形．如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在点即可看到点的光线．已知，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据．    证明：（已知）， （ ） （已知）， （ ） （等式的性质）． ， （平角的定义）， ， （ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；等量代换； ；；；内错角相等，两直线平行. 【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”可得，又由于，可得，由平角的定义可得，，由此可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等） （已知）， （等量代换） （等式的性质）． ， （平角的定义）， ， （内错角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换； ；；；内错角相等，两直线平行. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 83．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），图见解析 【分析】本题考查作图-作角的平分线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．由平行线的性质得，，利用等角的补角相等证明； （2）结论：．利用平行线的判定和性质证明即可； （3）过点E作．证明得，由平分得，由得，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，过点P作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3中，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 84．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，得，从而得，，进而求角度即可得解； （2）过点作，利用平行线的性质即可解答 （3）延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，过作直线， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ． 85．（23-24七年级下·安徽六安·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴； （2）如图③，延长，交于点，过作， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握确定不等式组解集的口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出这个解集即可求解． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考了分式的值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 由表格可知，当时，分式无意义，当时，分式的值为零，从而得出分式有可能是． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母可能为， 当时，分式的值为零， ∴分式的分子可能为， ∴分式有可能是， 故选：． 3．（2025·安徽蚌埠·二模）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律，根据题意，充分理解为与的距离，为与的距离，且满足，，则，分别代入数值到化简，得，，，再代入数值到，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵，规定，，， ∴， ∵记为与的距离，为与的距离， ∴， ∴， ∴ ∴， 则， 解得，， 则 ∴ 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，则，，所以，再结合，求出，然后对，即，最后代入求值即可，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解：∵每个大圆圈上的四个数字的和都等于， ∴， ∴，， 设上面大圆圈四个数字的平方和记为，下面大圆圈四个数字的平方和记为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， 则，结论正确，本选项不符合题意； 故选：C． 6．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的相反数是；的倒数是 故答案为：；． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元一次不等式组有解，满足条件的a的范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，先解不等式组，再根据不等式组有解，确定出a的范围即可． 【详解】解：关于x的一元一次不等式组， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·安徽六安·课后作业）填空： （1）小明走了的路，则小明的速度是 km/h； （2）某食堂有大米，原计划每天用米，现提倡“光盘行动”，每天节约用米，则这批大米可比原计划多用 天． 【答案】 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意列出代数式是解本题的关键． （1）用路程÷时间即可表示出小明的速度； （2）用大米总量÷每天的用量即可表示出可用的天数． 【详解】解：小明走了的路，则小明的速度是km/h； 某食堂有大米，原计划每天用米，现提倡“光盘行动”，每天节约用米，则这批大米可比原计划多用天， 故答案为：；． 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值；找准等量关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键．设每个小长方形的长为宽为则每个小长方形的面积为，根据大长方形的周长为，且阴影部分的面积为，列出二元二次方程组，再求出的值，即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，则每个小长方形的面积为， 由题意得： 整理得： 由①得：， 即③， ③②得：， ， 即每个小长方形的面积为， 故答案为： 10．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质与判定，角的动态定义，一元一次方程的应用，先求解，，再分两种情况：①当到达前，②当到达后，再画图解答即可． 【详解】解： ∵，， ∴，， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，先转动， 分两种情况： ①当到达前， ，， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； ②当到达后， ，，， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上，射线再转动或秒时，射线、射线互相平行． 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求算术平方根、立方根、乘方，再计算加减即可； （2先求算术平方根、立方根，再计算加减即可； （3）先乘方、求算术平方根、化简绝对值，再计算加减即可； （4）先乘方、求立方根、化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 【答案】(1)纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个 (2)制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个，根据卖出了150件手工艺品，总收入为2496元．再建立方程组解题即可； （2）设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件，根据总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的建立不等式组求解的范围，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个， 由题意得： 解得： 答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个． （2）解：设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件， 由题意得： 解得： ∴ ∵m是整数   ∴，35 当时，，利润是元 当时，，利润是元 ∵ 方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件； 答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大． 13．（2025·安徽安庆·模拟预测）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 【答案】①；，0 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算以及代数求值，根据同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：这个解答从第①步开始出现错误； 原式 当时，原式． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】【知识生成】， 【知识应用】20，4 【知识迁移】15 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； 知识应用：根据代入计算即可； 知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到， 根据代入计算即可． 【详解】【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴有， 故答案为：；； 【知识应用】解：∵， 则， ， 故答案为：20，4； 【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ∴ ． 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（100题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、整式混合运算 1．（24-25七年级下·安徽合肥·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）（1）已知，． ①求的值． ②计算的结果． （2）若，求的值． 3．（2025·安徽亳州·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 5．（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 压轴满分题二、分式方程有（无）解问题 6．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 7．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 8．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知分式方程有解，其中“”表示一个数． (1)若“”表示的数为，求分式方程的解； (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是“”是，这两个数中的一个．请你帮助嘉淇确定“”表示的数，并求原分式方程的解． 9．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）按要求完成以下问题： (1)计算图中阴影所示绿地的面积； (2)若关于的方程无解，求的值． 10．（2025·安徽合肥·一模）（1）小丁和小迪分别解方程的过程如表： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在答题卡______处打“√”；若错误，请打“×”，并写出你的解答过程． （2）某学校课后兴趣小组在计划开展手工制作活动，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 压轴满分题三、因式分解一一公式法 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：； 乙的解答是： (1)______的解答是错误的． (2)解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质：______． (3)化简并求值：，其中． 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 14．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； （2）第1个图案中，“”的数量有：； 第2个图案中，“”的数量有：； 第3个图案中，“”的数量有：， …， 第个图案中，“”的数量有：______； 【规律应用】 （3）第个图案中，“”和“”的数量之和为225，求的值． 压轴满分题四、不等式（组）组含参计算问题 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如，． (1)若，求x的取值范围． (2)若不等式组的解集为，求m的取值范围． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若关于和的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)是否存在一个整数使不等式的解集为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 19．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 20．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料： 材料1：集合是数学中最基本的概念之一，指具有某种特定性质的对象的总体．这些对象称为集合的元素（或成员），且满足以下特性： （1）确定性：任一元素要么属于集合，要么不属于集合（不存在模糊状态）； （2）互异性：集合中的元素互不相同； （3）无序性：元素排列顺序不影响集合本身． 例如：集合均是集合P的元素，因此1，2，3均属于集合P，0不是集合P的元素，因此0不属于集合P． 材料2：集合的表示方法： （1）列举法：直接列出元素．例如：； （2）描述法：通过条件定义元素．例如：是偶数 材料3：集合间的关系：（1）若，则A，B两个集合中的元素完全一样．例如：若，，则、（2）若 (读作：A包含于B），则集合A中的每个元素都属于集合B．例如：，，若，则，即 请根据上述材料完成下列问题： (1) 整数集合， 有理数集合；（填序号） ①属于；②不属于． (2)已知，若，求x，y的值； (3)已知，，若；直接写出的取值范围． 压轴满分题五、一元一次不等式（组）的新定义问题 21．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足不等式，求m的取值范围． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 23．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：． (1)求的值： (2)若的值小于34，求x的取值范围，并把解集在数轴上表示出来． 24．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“关联方程”． (1)在方程①；②；③ 中，关于的不等式组 的“关联方程”是 ；(填序号) (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； 25．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ，， ∵x，y是非负数，即，， ，，． 【回答问题】： (1)求出a，b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的取值范围． 压轴满分题六、 分式的规律性问题 26．（2024·安徽·一模）观察以下等式： 第1个等式；第2个等式； 第3个等式；第4个等式；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 27．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 28．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 29．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… （1）写出第5个等式：________________； （2）探究规律：猜想第个等式，并证明； （3）问题解决：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，第次倒出的水量是升的，如果不考虑实际操作因素，按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？为什么？ 30．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）阅读下列材料： 关于的方程： 的解是，； （即）的解是，； 的解是，； 的解是；… (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证； (2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：． 压轴满分题七、多项式乘法中的规律问题 31．（2025·安徽安庆·模拟预测）观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 32．（24-25七年级下·安徽亳州·单元测试）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 34．（24-25七年级下·安徽宣城·阶段练习）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 35．（2025七年级下·安徽池州·模拟预测）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简： ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值： (3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由． 压轴满分题八、利用平移的性质解决问题 36．（23-24七年级下·安徽蚌埠·课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）    37．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在某一基地的建设中，准备在一个长为米、宽为米的长方形草坪上修建两条宽为a米的通道．    (1)求剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积（结果用科学记数法表示）． 38．（23-24七年级下·安徽亳州·单元测试）某酒店在装修时在大厅的主楼梯上铺设一种红色地毯，其侧面如图所示，已知这种地毯每平方米售价60元，主楼梯道宽为2米，则买地毯至少需要多少元？ 39．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 40．（23-24七年级下·安徽池州·期末）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 压轴满分题九、因式分解的实际综合应用 41．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 42．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 43．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． (1)则图③可以解释为等式：______． (2)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． (3)在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 44．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问 题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解：先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：； (3)求 的最小值． (4)已知实数x，y 满 足，求的最小值，并指出此时y的值． 45．（24-25七年级下·安徽六安·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________； (2)观察图2，可以发现代数式可以因式分解为__________； (3)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式， 这个因式分解的等式是：____________________； ②已知，，利用上面的规律求的值． ③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果： ______________________________． 压轴满分题十、 分式方程的实际应用问题 46．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）为弘扬开州举子园文化，某纪念品店最初用元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完该纪念品店又用元购进了第二批该款笔记本，由于供货紧张，每本笔记本的进货价比第一次多元，所购数量是第一批购进数量的倍． (1)该专卖店购进的第一批笔记本每本的进价是多少元？ (2)如果两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于元，那么每份笔记本的标价至少是多少元？ 47．（2025·安徽六安·二模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的1.5倍，且厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本． (1)求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 48．（2025·安徽淮北·二模）某市为推进绿色出行体系建设，拟对现有新能源汽车充电设施进行扩建改造．该工程由甲，乙两家电力工程公司共同承担施工任务，已知若由甲公司独立施工，完成全部工程需要个工作日；若采用乙公司先行施工个工作日，剩余工程由甲乙两公司联合施工个工作日的方式，亦可完成全部工程． (1)求乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要多少个工作日？ (2)现工程预算为不超过万元，已知甲公司施工费用为每日万元，乙公司施工费用为每日万元．若采用乙公司先独立施工若干工作日后，再由甲乙两公司联合施工的方式完成工程，则甲公司至少需要参与施工多少个工作日？ 49．（2025·安徽滁州·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 50．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）2024年厦门铁人三项公开赛于11月9日~10日在环东海域浪漫线举行．铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． (1)甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； (2)小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． 压轴满分题十一、一元一次不等式组的实际综合应用 51．（2025·安徽蚌埠·二模）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)分别购买每个大、小两种垃圾桶各多少元钱? (2)该校计划购买大、小垃圾桶共32个，总费用不超过2880元，求最多购买大垃圾桶多少个． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个竹篮的质量为，装入每枚质量为的一些鸡蛋后，总质量超过了．该竹篮内至少装了多少枚鸡蛋？ (1)如果这个竹篮装了x枚鸡蛋，那么x应满足怎样的关系？ (2)填写下表： 鸡蛋数量 30 35 40 45 50 总质量/kg (3)估计该竹篮至少装了多少枚鸡蛋． 53．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染，进货单如下： 商品 进行（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． (1)请你求出甲、乙每件商品的进价； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过6870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 54．（23-24七年级下·全国·单元测试）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 55．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 压轴满分题十二、乘法公式在几何图形中的应用 56．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长（不含直径）之和为，面积之和为． (1)求长方形的周长？ (2)求长方形的面积？ 57．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如： ， ． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 58．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 59．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．如由图1可以得到，由图2可以得到． 现有四个长与宽分别为a、b的小长方形，按图3的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图3中阴影部分的面积： 方法1：_______________；方法2：_______________；由此得到等式_______________； (2)利用上述等量关系解决问题：若，，求的值； (3)如图4，在正方形中，，，其中四边形、、均为正方形，四边形、是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为24，求长方形的面积． 60．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (4)【迁移应用】计算． 压轴满分题十三、利用平行线的性质探究角的关系 61．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，探索这两个角之间的关系． (1)如图，若，，则______________．（填“”“”或“”） (2)如图，，，与的大小有何关系？请说明理由． (3)若两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 62．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，点M、N分别是上的点，点G在之间，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点H是延长线上一点，连接，若平分，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数． 63．（24-25七年级下·安徽池州·期中）【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 64．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．    (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 65．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 压轴满分题十四、平行线中动点问题 66．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知直线与直线，直线分别交于点E，F，平分交直线于点M，且．    (1)求证：； (2)点G是射线上的一个动点(不与点M，F重合)，平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设． ①点G在点F右侧，且，求的度数； ②点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出结论． 67．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）直线，直线l3、l4分别与l1、l2交于点B、F和A、E，点D是直线l3上一动点，交l4于点C． (1)如图1，当点D在l1、l2两线之间运动时，试找出∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系，并说明理由； (2)当点D在l1、l2两线外侧运动时，试探索∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系（点D和B、F不重合），画出图形，直接写出结论． 68．（23-24七年级下·安徽池州·期中）已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点． (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数． 69．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC． (1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ； (2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示） (3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系． 70．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    压轴满分题十五、平行线中的翻折问题 71．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕．如果，求的度数．    72．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图，在直角三角形纸片中，，E，F分别是，上的点，将沿折叠得到．若于点O，猜想与的位置关系，并说明理由． 73．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图1，有一张四边形ABCD纸片，，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P． (1)求证：∠GEA＝∠HFB； (2)如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时，，并说明理由． 74．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 75．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 压轴满分题十六、平行线的性质与判定综合应用 76．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 77．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 78．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数． (2)如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． (3)当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）． 79．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）体育课上，小明和小聪突然争论起来，他们都说自己比对方身体长的高，这时善于思考的小慧走过来，笑着对他俩说：“你们不要争了，其实你们一样高，看看地上，你俩的影子一样长”（假设太阳光线是平行的），小明和小聪不太明白，小慧给他们讲了其中的道理． 小慧说我们先对该问题进行数学抽象：如右图，直线a表示地面，AB，CD分别表示你俩的身高，PM和ON表示太阳光线，是平行的，BM和DN表示你俩身高的影长，然后小慧用所学的数学知识解决了该问题． 下面给出了小慧解决该问题的一部分内容，请你将已知，求证补充完整，并给出证明： (1)已知：如图，于点B，于点D， ， ． (2)求证： ． (3)证明： 80．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 压轴满分题十七、平行模型的综合问题 81．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 82．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前2世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》，书中记载的现象：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”即潜望镜的雏形．如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在点即可看到点的光线．已知，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据．    证明：（已知）， （ ） （已知）， （ ） （等式的性质）． ， （平角的定义）， ， （ ）． 83．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 84．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 85．（23-24七年级下·安徽六安·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·安徽蚌埠·二模）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元一次不等式组有解，满足条件的a的范围为 ． 8．（24-25七年级下·安徽六安·课后作业）填空： （1）小明走了的路，则小明的速度是 km/h； （2）某食堂有大米，原计划每天用米，现提倡“光盘行动”，每天节约用米，则这批大米可比原计划多用 天． 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 ． 10．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？ 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 12．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 13．（2025·安徽安庆·模拟预测）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$