精品解析：2025年陕西省西安市阎良区中考第三次模拟考试数学试卷

试卷类型：A 2025年初中学业水平模拟考试 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的立方根为（ ） A. －4 B. 4 C. －8 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据立方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的立方根为． 故选A． 2. 如图，将直角三角形绕直角边 所在直线旋转一周，得到的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 四棱柱 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案． 【详解】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥． 故选：D． 3. 如图是某吸管杯的大致结构示意图， ，吸管底部 在 上，将吸管沿 点处折弯，使得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，先根据 ，得，再根据两直线平行，同旁内角互补，得，进而可得的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 年，我国粮食总产量首次迈上斤新台阶，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及 的值． 【详解】解：， 故选：． 5. 如图，点 为正方形 内一点，连接、、、，，则图中的等腰三角形（含等边三角形）共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质和等边三角形的判定和性质，求得，，再证明，求得，据此求得等腰三角形共有4个． 【详解】解：∵正方形 ， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，都是等腰三角形，共有4个， 故选：D． 6. 已知在平面直角坐标系中，直线与 轴交于点，与轴交于点，与直线关于 轴对称的直线交轴于点 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线与坐标轴围成的图形面积，轴对称图形性质，先利用一次函数解析式求出点的坐标，再根据轴对称图形的性质求出点 坐标，进而求出 的长，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，求出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵点和点 关于 轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选： ． 7. 如图，四边形 内接于 ，为 的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而可得，又由圆周角定理得，再根据角的和差即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 内接于 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为 的直径， ∴， ∴， 故选： ． 8. 已知在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与 轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线（、、为常数，且），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点及二次函数的图象与几何变换，依据题意，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为，进而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与 轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线， ∴抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴，， ∴， 故选项A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故选项B错误； ∵， ∴， 故选项C正确； 将点代入得，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知数轴上的点和点到原点的距离相等，且点在数轴的负半轴上，若点表示的数为，则点表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴．根据题意得点表示的数是． 【详解】解：∵点表示的数为，点和点到原点的距离相等，且点在数轴的负半轴上， ∴点表示的数是， 故答案为：． 10. 如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了镶嵌，正多边形的内角，先求出正五边形的每个内角度数，进而根据图形求出等腰三角形的顶角度数，再根据等腰三角形的性质求出底角度数即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的每个内角度数为，正三角形的每个内角度数为 ， ∴等腰三角形的顶角度数为， ∴等腰三角形的一个底角度数为， 故答案为：． 11. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是__________． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴色， ∴红， 故答案为：9． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴于点 ，延长 交反比例函数的图象于点，点 为 的中点，连接 、 ，若的面积为4，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设，根据题意得，，，进而得，，再根据的面积为4，列式计算可得答案． 【详解】解：设， 根据题意得，，， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在菱形 中， ，，连接 ，点 为 上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．连接 并延长至点 ，使，记 与 的交点为 ，连接 ，过点、点 作直线，由三角形中位线定理求得点在过点 且垂直于 的直线上，当点在 时，此时周长的最小值为，证明是等边三角形，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接 并延长至点 ，使，记 与 的交点为 ，连接 ，连接，连接，过点 作直线垂直 ，则： 直线是线段 的垂直平分线， ∵菱形 中， ∴，，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴， ∵ 是定长， ∴周长的最小值为， ∴当点在 上时，的周长最小，为， ∵在菱形 中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的运算法则、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 15. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解： 去分母、去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， 是原方程的增根，故原方程无解． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算．根据平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式整式的法则运算化简，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 17. 如图，已知四边形 是平行四边形，请用尺规作图法在边 上求作一点 ，连接、，使得的面积等于面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，点 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，可得，由平行四边形的性质得，，即得， 和 间的距离相等，由三角形的面积公式可得，故点 即为所求，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，已知的边 与的边在一条直线上，，，，请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为结论，并证明． （1）你选择的结论是__________；（填序号） （2）根据你选择的结论，写出该结论的证明过程． 【答案】（1）①或③ （2） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴或． 【解析】 【分析】（ ）根据题意及全等三角形的性质选择即可； （ ）利用证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：选择的结论是①或③， 故答案为：①或③； 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标依次为、、、．四边形与四边形 关于轴对称（点、、、的对应点分别为点、、 、 ），请你在图中画出四边形，并写出点的坐标． 【答案】 如图所示，四边形即为所求，由图可得，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，根据轴对称的性质找到点、、、的位置，进而画出图形，再根据图形写出点的坐标即可，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】略 20. 端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，每位参加活动的学生最多只能选择其中两项活动，且每项活动被选择的可能性均相同． （1）该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是__________ ； （2）该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法，求婷婷选择的是包粽子和做香包的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（ ）根据概率公式计算即可求解； （ ）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小玲从这七项活动中随机选择一项，共有种等结果， ∴她选择的是包粽子的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中婷婷选择的是包粽子和做香包的结果有 种， ∴婷婷选择的是包粽子和做香包的概率是． 21. 公刘雕塑位于陕西省境内，公刘炯炯有神的双眼和刚毅的表情，表现出一位氏族酋长的温和谦逊、刚毅威武的精神气质和光辉形象．如图是洋洋同学测量公刘雕塑高度的示意图，在地面上的点 处测得雕塑最高点的仰角，沿 走到点 处，放置一个支架 ，将测角仪放置在支架 上，测得雕塑最高点的仰角，已知米，米，、，点 在 上，图中所有的点都在同一平面内，测角仪的大小忽略不计，请你求出公刘雕塑的高度 ．【参考数据：，，】 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长 交 于点 ，可得，，米，设米，则米，由 得米，即得米，再由得，解方程求出 即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长 交 于点 ， 由题意得，，，米， 设米，则米， 在 中，∵， ∴米， ∴米， 在中，∵， ∴， 即， 解得， ∴米， 答：公刘雕塑的高度 为米． 22. 中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为 个，按照方案一获得包装盒的总费用为元，按照方案二获得包装盒的总费用为元． （1）分别求出、与 之间的函数关系式； （2）假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【答案】（1）；； （2） 解：当时，方案二更省钱；当时，方案一和方案二费用一样；当时，方案一更省钱．理由如下： 令，则， 解得， ∵， ∴当时，，方案二更省钱； 当时，，方案一和方案二费用一样； 当时，，方案一更省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据题意可得、与 之间的函数关系式； （2）求出当x的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，得： 按照方案一获得包装盒的总费用； 按照方案二获得包装盒的总费用； 【小问2详解】 略 23. 灞桥樱桃是陕西省西安市特产，因其颗粒饱满，色泽艳丽，果肉质地细腻，富含多种矿物元素，有“中华名果”之称号．近日樱桃进入了销售旺季，某水果商计划从果农蒋大爷的樱桃园购进一批樱桃进行销售，从已采摘好的、两个品种的樱桃中各随机抽取 颗，称量了单果重量（单位：），现将称量结果记录如下： 【信息一】两个品种樱桃单果重量统计表： 果类 一等果 二等果 三等果 单果重量／ 品种颗数／颗 品种颗数／颗 【信息二】两个品种樱桃单果重量的众数、中位数、平均数和方差如下： 众数 中位数 平均数 方差 品种 品种 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中__________，__________，__________； （2）根据该水果商的要求，从、两个品种中选择一个单果重量较均匀的品种购进，则该水果商应该购进__________品种的樱桃；（选填“”或“”） （3）若本次已采摘好的品种樱桃共有颗，请你估计这颗中一等果有多少颗？ 【答案】（1） ，， （2） （3）颗 【解析】 【分析】（ ）根据表格数据及中位数、加权平均数的定义解答即可求解； （ ）根据众数、中位数、平均数和方差的意义判断即可求解； （ ）用乘以品种一等果的占比即可求解； 本题考查了众数、中位数、平均数和方差，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表得，，， ∴， 故答案为： ，，； 【小问2详解】 解：两种水果的中位数和平均数相同，众数相近，但品种方差较品种方差小，即品种重量较均匀，所以该水果商应该购进品种的樱桃， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计这颗中一等果有颗． 24. 如图， 内接于为 的直径，连接 ，过点作交 的延长线于点 ． （1）求证：为 的切线； （2）若，求 的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ 为 的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是 的半径， ∴为 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （2）延长 ，交 于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设 的半径为 ，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长 ，交 于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设 的半径为 ，则， 在中，， ∴， 解得， ∴ 的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图1是某农家小院晾衣服的实景图，晾衣绳近似呈抛物线形，其示意图如图2所示，、 是两根与地面垂直的木桩，高度均为，晾衣绳所在抛物线经过、 两点，与 之间的水平距离，现计划在地面上的点 处竖立第三根高为的木桩 ，将原晾衣绳所在抛物线分成两段抛物线和（绳长可在、 处微调，和均经过点 ），已知于点 ，，以 所在直线为 轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（、为常数，且）． （1）求点、 的坐标和、的值； （2）若在抛物线的最低点处晾一条裙子，裙子可到达的最低位置到抛物线最低点的竖直距离为，请计算并说明裙子是否会接触地面？（假设晾衣绳不会因为裙子重量而变形） 【答案】（1），，， （2）裙子不会接触地面 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得出点的坐标，再把点的坐标代入抛物线的关系式可求出、的值； （2）由（1）可得抛物线的关系式，即可求出抛物线的顶点坐标，可得抛物线的最低点到地面的距离，进而判断即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，，， 把，代入得， ， 解得， 即，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线的关系式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的最低点到地面的距离为， ∵， ∴裙子不会接触地面． 26. 【问题提出】 （1）如图1，点在直线 上，点、 均在直线 上，连接、，，且 与 之间的距离为，，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，连接、 ，若的面积为 ，求的面积； 【问题解决】 （3）2025年4月28日，中共中央、国务院《生态环境保护督察工作条例》的发布，对于全面推进美丽中国建设具有重要意义．为了保护生态环境，某集团每年都会种植植被，如图3，五边形是该集团今年规划的植被种植区域的平面示意图，米，米，米，，的中点 处有一个出入口，集团规划人员计划在上取一个点，在五边形内部取一个点 ，使得是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，并在和区域内种植某种裸子植物，为了合理购买植物幼苗的数量，需要知道和的面积之和，请你帮助规划人员计算出和的面积之和． 【答案】（1）；（2） ；（3）平方米． 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式即可求解； （2）先证明，则有与的相似比为，所以与的面积比为，从而求解； （3）连接、 ，取 的中点 ，连接，可证四边形是正方形，所以米， 和 均为等腰直角三角形，＝，取的中点 ，连接、、，如图 ，则由（ ）可得，所以，过点 作于点，过点 作于点，取的中点 ，连接，连接交于点，过点 作于点，则有四边形为矩形，由四边形为正方形可得米，米，，故有米，则平方米，．所以，，则点 在所在直线上运动，点 到的距离即为的长，最后通过即可求解． 【详解】解：（1）与 之间的距离为，， 的面积为， 故答案为：； （2） 和均为等腰直角三角形，， ，， ， ，且与的相似比为， 与的面积比为， ； （3）连接、 ，取 的中点 ，连接，如图 ， 米，米， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 为正方形的中心， 米，和均为等腰直角三角形， ， 取 的中点 ，连接、、，如图，则， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 由（2）可得， ， 过点 作于点，过点 作于点，取的中点 ，连接，连接交于点，过点 作于点，则有四边形为矩形，如图， 、 分别为、的中点， 为的中位线， ， 四边形为矩形， 米，米， 米， 由四边形为正方形可得米，米，， 米， 平方米，， 米， 米， ， ， ， ， 点 在所在直线上运动，点 到的距离即为的长， ， ， 在中，， 米负值已舍， 米， 平方米， 平方米， 和的面积之和为平方米． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，中位线定理，解直角三角形等知识掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2025年初中学业水平模拟考试 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的立方根为（ ） A. －4 B. 4 C. －8 D. 8 2. 如图，将直角三角形绕直角边 所在直线旋转一周，得到的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 四棱柱 D. 圆锥 3. 如图是某吸管杯的大致结构示意图，，吸管底部在 上，将吸管沿 点处折弯，使得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 年，我国粮食总产量首次迈上斤新台阶，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点 为正方形内一点，连接、、 、，，则图中的等腰三角形（含等边三角形）共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点 ，与直线关于轴对称的直线交轴于点，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于 ，为 的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线（、、为常数，且），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知数轴上的点和点 到原点的距离相等，且点在数轴的负半轴上，若点 表示的数为，则点表示的数为__________． 10. 如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为______． 11. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是__________． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴于点，延长交反比例函数的图象于点 ，点 为 的中点，连接 、，若的面积为4，则的值为__________． 13. 如图，在菱形中，，，连接，点 为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为__________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知四边形是平行四边形，请用尺规作图法在边 上求作一点 ，连接、 ，使得的面积等于面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，已知的边 与的边 在一条直线上，，，，请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为结论，并证明． （1）你选择的结论是__________；（填序号） （2）根据你选择的结论，写出该结论的证明过程． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标依次为、、、．四边形与四边形关于轴对称（点、、、的对应点分别为点、 、、 ），请你在图中画出四边形，并写出点的坐标． 20. 端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，每位参加活动的学生最多只能选择其中两项活动，且每项活动被选择的可能性均相同． （1）该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是__________ ； （2）该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法，求婷婷选择的是包粽子和做香包的概率． 21. 公刘雕塑位于陕西省境内，公刘炯炯有神的双眼和刚毅的表情，表现出一位氏族酋长的温和谦逊、刚毅威武的精神气质和光辉形象．如图是洋洋同学测量公刘雕塑高度的示意图，在地面上的点处测得雕塑最高点的仰角，沿走到点 处，放置一个支架 ，将测角仪放置在支架 上，测得雕塑最高点的仰角，已知米，米，、，点在上，图中所有的点都在同一平面内，测角仪的大小忽略不计，请你求出公刘雕塑的高度 ．【参考数据：，，】 22. 中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为个，按照方案一获得包装盒的总费用为元，按照方案二获得包装盒的总费用为元． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 23. 灞桥樱桃是陕西省西安市特产，因其颗粒饱满，色泽艳丽，果肉质地细腻，富含多种矿物元素，有“中华名果”之称号．近日樱桃进入了销售旺季，某水果商计划从果农蒋大爷的樱桃园购进一批樱桃进行销售，从已采摘好的、 两个品种的樱桃中各随机抽取颗，称量了单果重量（单位：），现将称量结果记录如下： 【信息一】两个品种樱桃单果重量统计表： 果类 一等果 二等果 三等果 单果重量／ 品种颗数／颗 品种颗数／颗 【信息二】两个品种樱桃单果重量的众数、中位数、平均数和方差如下： 众数 中位数 平均数 方差 品种 品种 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中__________，__________，__________； （2）根据该水果商的要求，从、 两个品种中选择一个单果重量较均匀的品种购进，则该水果商应该购进__________品种的樱桃；（选填“”或“ ”） （3）若本次已采摘好的品种樱桃共有颗，请你估计这颗中一等果有多少颗？ 24. 如图， 内接于为 的直径，连接 ，过点作交 的延长线于点 ． （1）求证： 为 的切线； （2）若，求 的半径． 25. 如图1是某农家小院晾衣服的实景图，晾衣绳近似呈抛物线形，其示意图如图2所示，、是两根与地面垂直的木桩，高度均为，晾衣绳所在抛物线经过、两点，与之间的水平距离，现计划在地面上的点 处竖立第三根高为的木桩 ，将原晾衣绳所在抛物线分成两段抛物线和（绳长可在、处微调，和均经过点），已知于点 ，，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（、为常数，且）． （1）求点、的坐标和、的值； （2）若在抛物线的最低点处晾一条裙子，裙子可到达的最低位置到抛物线最低点的竖直距离为，请计算并说明裙子是否会接触地面？（假设晾衣绳不会因为裙子重量而变形） 26. 【问题提出】 （1）如图1，点在直线 上，点 、均在直线 上，连接、，，且 与 之间的距离为 ，，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，连接、 ，若的面积为，求的面积； 【问题解决】 （3）2025年4月28日，中共中央、国务院《生态环境保护督察工作条例》的发布，对于全面推进美丽中国建设具有重要意义．为了保护生态环境，某集团每年都会种植植被，如图3，五边形是该集团今年规划的植被种植区域的平面示意图，米，米，米，，的中点处有一个出入口，集团规划人员计划在上取一个点，在五边形内部取一个点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，并在和区域内种植某种裸子植物，为了合理购买植物幼苗的数量，需要知道和的面积之和，请你帮助规划人员计算出和的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $