2025年高中数学解题技巧之周期性讲义

大招4 周期性 1、 函数周期性的定义：对于函数，如果存在非零常数使得当取定义域内任意值时，都有，那么就称为周期函数，为该函数的周期． 2、 有关周期性的常见结论： （1） 令x－a代换掉x，则，所以该函数周期为 （2） （A为常数） 令x＋a代换掉x，则即，所以周期为 同理，（A为常数），该函数周期也为 （3） ，周期为；，周期为 ，周期为；，周期为 ，周期为；，周期为；，周期为 （4） 复合函数：的周期为，则的周期也为 （5） 若的周期为，则、的周期均为 【典例1】已知函数是定义域为的奇函数，满足．若，则 . 【大招指引】先利用奇函数和得到函数的周期为4，再赋值进行求解. 【解析】∵是定义域为的奇函数，． 且．∴，∴， ∴，∴， ∴是周期函数，且一个周期为4，∴，， ， ∴ 【题后反思】本题在推导周期时也可以利用对称性和周期之间的关系进行求解，已知函数的图象关于原点、直线对称，所以周期为4. 【温馨提醒】在处理多个单独的函数值之和时，往往转化为周期函数进行简化. 【举一反三1】 1． 已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． B． D． 【答案】C 【分析】根据周期性求函数解析式. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 【举一反三2】 2． 已知函数对满足：，，且，，求． 【答案】 【分析】根据抽象函数的性质推导函数具有周期性，根据周期性化简所求，再取特殊值即可得答案. 【详解】由得， 从而，所以，于是可得， 故函数是以周期为的函数， 进而， 由可得，由可得， 又，，所以得， 因为，所以， 又由得 所以. 【典例2】已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ） A．    B．1    C．2023    D．2024 【大招指引】借助赋值法和合题意可得函数的对称性与周期性，再结合题目中所给条件可得，即可得解. 【解析】因为为偶函数，所以①， 因为，所以， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有，所以，所以， 所以的周期为8．因为，所以， 同理，由，得， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，所以， 所以的周期为8，所以， 由，得， 由，得，所以， 所以． 故选：A. 【题后反思】解答此类抽象函数的相关问题时，要根据题设条件推出函数具有的相关性质，这里主要用到整体代换的方法，从而推出抽象函数具有的相关等式，推出其具有的奇偶性以及对称性和周期性等，求函数值时，常常要采用赋值法，即令x取特殊值代入求值.. 【温馨提醒】解决抽象函数的求值、性质判断等问题的常见结论有： （1） 关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2） 关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 【举一反三】 3． 已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为奇函数 B． D．的周期为3 【答案】C 【分析】令 ，则得，再令即可得到奇偶性，再令则得到其周期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到的值. 【详解】令 ， 得得 或 ， 当 时，令得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ； 令 得 ， 且的定义域为，故 为偶函数， 所以B错误 ； 令 ， 得 ， 所以 ， 所以 ， 则，则， 所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ； 令 ， 得 ， 因为 所以 ，所以 ， 故C正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可. 【典例3】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，再根据条件得到的值，进而由题意得到，从而得到的值即可求解. 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以，因为， 所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以因为，所以.所以故选：D 【题后反思】这种问题是给出两个函数的抽象关系，其中一个具有对称性，处理方法就类似于我们解二元一次方程组的加减消元法，只是这里的消元需要利用函数对称性之间的等量关系来实现. 【温馨提醒】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解决问题. 【举一反三】 4． 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A． f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数 B． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件和是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出为偶函数，进而判断选项；根据函数是奇函数，周期为4即可判断选项；由得即可判断选项；根据题干条件得到，再结合函数的周期即可判断选项. 【详解】因为，所以，又， 则有，因为是奇函数，所以， 可得，即有与， 即，所以是周期为4的周期函数， 故也是周期为4的周期函数． 因为，所以，所以为偶函数．故错误； 由是奇函数，则，所以， 又， 所以，所以选项错误； 由得，所以选项错误； 因为， ， 所以，所以， 所以选项正确． 故选：. 5． 设，，，，，数列，则的前100项和是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据题意得到是以4为周期的函数，进而即可求解． 【详解】由， 则， 则， 则， 则， 所以是以4为周期的函数， 又， 所以的前100项和为： ． 故选：D． 6． 已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据得出函数的周期；再根据为奇函数得出，利用赋值法求出；最后利用的周期即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以的周期为6. 又因为为奇函数， 所以，即，即， 令，则，即 所以， 故选：C. 7． 若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解. 【详解】由，得，则，即函数的周期为4， 由是R上的奇函数，得，即， 于是，，即， 因此，AB错误； 由，取，得，则， 因此，取，得， 于是， 则，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 8． 如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解． 【详解】由题意可知，是周期为的函数， 所以. 由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以， 所以. 故选：A. 9． 已知是周期为的函数，且都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的周期性与对称性可得解. 【详解】由已知， 即， 令，可知，即， 又函数的周期为， 则， 故选：C. 10． 已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 11． 已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 12． 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（    ） A． 是奇函数 B． B． D． 【答案】BCD 【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称， 则， 即，所以，函数为偶函数， 又因为，则， 令，则，所以，为常值函数， 设，其中为常数， 当时，，此时，函数不是奇函数，A错； 对于B选项，因为，令，可得， 即， 等式两边求导得，即， 所以，函数的图象关于点对称， 在等式中，令可得，可得，B对； 对于C选项，因为，则， 可得， 所以，，C对； 对于D选项，在等式两边同时求导得，即， 所以，函数是以为周期的周期函数， 因为，所以，，， ，可得， ，， 由中令，可得，则， ， 所以， ， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化： 1 函数的图象关于点对称，则； 2 函数的图象关于直线对称，则. 13． 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A． 为奇函数 B． B． D． 【答案】BD 【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案. 【详解】因为，所以，又，则有； 因为是奇函数，所以， 可得，即有， 所以， 所以是周期为4的周期函数， 故也是周期为4的周期函数， 因为，所以，所以为偶函数，故错误； 由是奇函数，则，所以， 又， 所以，所以C选项错误； 由(1)，得，所以B选项正确； 因为， ， 所以， 所以，所以D选项正确． 故选：BD． 14． 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，为奇函数，且，则（    ） A． B． B． D． 【答案】BCD 【分析】根据 为奇函数推出对称中心 , 根据 逆向思维得到 , 代入 推出 的对称轴 , 进一步得出周期为 4, 周期也为4 , 算出时的与函数值以及一个周期内的值即可求解. 【详解】因为, 则, 因为 ，所以, 用换，则有，即 所以有，取 代入得到，则 ， 所以，函数的图象关于对称, 并不满足，故选项A错误； 因为，代入 所以有,由判断A选项时可知， 故，用换x，可得，函数的图象关于对称, 两边取导数可得，故选项C正确； 而在上为奇函数, 则 过, 图像向右移动一个单位得到过，故图像关于对称，;； 而，用换x，可得， 所以有，令换，有则 的周期 ;故选项B正确； 故,所以， 故， 而又因为，，，，，所以 ，，，，， ，故选项D正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了导数的综合运用，以及抽象函数的奇偶性，周期性和对称性的性质的灵活转换运用，难度较大. 15． 已知函数，的定义域均为，且满足对任意实数，，，若是偶函数，，则（    ） A． 是周期为2的周期函数 B．为奇函数 B． 是周期为4的周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，①，②， 以替换②中的得③， 由①③得④， 令得，A选项错误. 由④得⑤， 以替换⑤中的得， 所以为奇函数，B选项正确，且， 以替换②中的得⑥， 由①⑥得⑦， 以替换⑦中的得， 所以， 所以是周期为4的周期函数，所以C选项正确. 由，令，得， 令，得， 由， 令，得， 令，得， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好的办法，如这是对称性，并且是轴对称；这也是对称性，且是中心对称. 16． 已知定义在上的函数，其导函数分别为，且， 则（    ） A． 的图象关于点中心对称 B． B． D． 【答案】BCD 【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果. 【详解】由题意可得，两式相减可得①， 所以的图象关于点中心对称，A错误； 由②，②式两边对求导可得，可知是偶函数， 以替换①中的可得， 可得，所以是周期为4的周期函数，B正确； 因为，可知也是周期为4的周期函数，即， 两边求导可得，所以，C正确； 因为，令，则，即， 又因为是偶函数，所以， 又因为是周期为4的周期函数，则， 由可得， 所以，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于y轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于y轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招4 周期性 1、 函数周期性的定义：对于函数，如果存在非零常数使得当取定义域内任意值时，都有，那么就称为周期函数，为该函数的周期． 2、 有关周期性的常见结论： （1） 令x－a代换掉x，则，所以该函数周期为 （2） （A为常数） 令x＋a代换掉x，则即，所以周期为 同理，（A为常数），该函数周期也为 （3） ，周期为；，周期为 ，周期为；，周期为 ，周期为；，周期为；，周期为 （4） 复合函数：的周期为，则的周期也为 （5） 若的周期为，则、的周期均为 【典例1】已知函数是定义域为的奇函数，满足．若，则 . 【大招指引】先利用奇函数和得到函数的周期为4，再赋值进行求解. 【解析】∵是定义域为的奇函数，． 且．∴，∴， ∴，∴， ∴是周期函数，且一个周期为4，∴，， ， ∴ 【题后反思】本题在推导周期时也可以利用对称性和周期之间的关系进行求解，已知函数的图象关于原点、直线对称，所以周期为4. 【温馨提醒】在处理多个单独的函数值之和时，往往转化为周期函数进行简化. 【举一反三1】 1． 已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． B． D． 【举一反三2】 2． 已知函数对满足：，，且，，求． 【典例2】已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ） A．    B．1    C．2023    D．2024 【大招指引】借助赋值法和合题意可得函数的对称性与周期性，再结合题目中所给条件可得，即可得解. 【解析】因为为偶函数，所以①， 因为，所以， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有，所以，所以， 所以的周期为8．因为，所以， 同理，由，得， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，所以， 所以的周期为8，所以， 由，得， 由，得，所以， 所以． 故选：A. 【题后反思】解答此类抽象函数的相关问题时，要根据题设条件推出函数具有的相关性质，这里主要用到整体代换的方法，从而推出抽象函数具有的相关等式，推出其具有的奇偶性以及对称性和周期性等，求函数值时，常常要采用赋值法，即令x取特殊值代入求值.. 【温馨提醒】解决抽象函数的求值、性质判断等问题的常见结论有： （1） 关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2） 关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 【举一反三】 3． 已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为奇函数 B． D．的周期为3 【典例3】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，再根据条件得到的值，进而由题意得到，从而得到的值即可求解. 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以，因为， 所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以因为，所以.所以故选：D 【题后反思】这种问题是给出两个函数的抽象关系，其中一个具有对称性，处理方法就类似于我们解二元一次方程组的加减消元法，只是这里的消元需要利用函数对称性之间的等量关系来实现. 【温馨提醒】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解决问题. 【举一反三】 4． 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A． f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数 B． D． 5． 设，，，，，数列，则的前100项和是（   ） A． B． C． D．0 6． 已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7． 若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． B． D． 8． 如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（    ） A．0 B． C．1 D． 9． 已知是周期为的函数，且都有，则（    ） A． B． C． D． 10． 已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 11． 已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． B． D． 12． 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（    ） A． 是奇函数 B． B． D． 13． 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A． 为奇函数 B． B． D． 14． 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，为奇函数，且，则（    ） A． B． B． D． 15． 已知函数，的定义域均为，且满足对任意实数，，，若是偶函数，，则（    ） A． 是周期为2的周期函数 B．为奇函数 B． 是周期为4的周期函数 D． 16． 已知定义在上的函数，其导函数分别为，且， 则（    ） A． 的图象关于点中心对称 B． B． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$