2025年高中数学解题技巧之F型函数不等式讲义

大招5  F型函数不等式 1、 单调性定义的等价形式： （1） 函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2） 函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、 利用单调性、奇偶性解不等式原理 （1）解型不等式 1 利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； 2 若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解. （1）为奇函数，形如的不等式的解法： 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解. 3、 单调性和奇偶性综合求不等式范围问题 1 奇函数单调性不改变，当为定义在R上的奇函数时，若时，单调递增，则时，也单调递增，即；同理，若时，单调递减，则时，也单调递减，即； 2 偶函数单调性改变，当为定义在R上的偶函数时，若时，单调递增，则时，单调递减，即；；同理，若时，单调递减，则时，单调递增，即；． 【典例1】已知，若，求a的取值范围． 【大招指引】先利用函数的奇偶性定义和导数判定函数为奇函数，且在定义域上单调递增，进而转化为进行求解. 【解析】因为，所以该函数为奇函数， 又，故该函数单调递增， 又，所以， 即，解得 【题后反思】因为的解析式比较复杂，所以代入求解显然不可行，进而考虑转化为利用函数单调性和奇偶性进行求解. 【温馨提醒】对于型不等式的求解，应先利用函数的奇偶性转化为，再利用单调性进行求解. 【举一反三】 1． 已知，若，求a的取值范围． 【答案】 【分析】设，判断奇偶性，并求导确定函数的单调性，将所求不等式转化为关于的不等式，根据奇偶性与单调性求解即可. 【详解】因为，，则， 令，则有，所以为奇函数， 又恒成立，所以在上单调递减， 由于，则， 所以，则，则，解得. 【典例2】设函数，则使得成立的x的取值范围是 . 【大招指引】先利用函数的奇偶性、单调性的定义判定函数为偶函数且在是增函数，再利用单调性进行求解. 【解析】由知是偶函数且在是增函数， 所以． 【题后反思】因为的解析式比较复杂，所以代入求解显然不可行，考虑进而转化为利用函数单调性和奇偶性进行求解. 【温馨提醒】若为偶函数，且在单调递增，则： 若为偶函数，且在单调递减，则. 【举一反三】 2． 已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用奇偶性、单调性定义判断的奇偶性和上的单调性，再根据奇偶和单调性求不等式解集即可. 【详解】由且， 所以为偶函数， 若时，， 而， 所以，故在上递增，则上递减， 要使成立，即，可得. 故答案为： 【典例3】已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A．        B．      C．        D． 【大招指引】先利用将转化为，再利用单调性进行求解. 【解析】根据题意，满足， 则， 则， 又由是定义在上的减函数， 则有，解可得， 即不等式的解集为.故选：B. 【题后反思】解决本题的关键是利用利用将转化为. 【温馨提醒】在研究函数问题时，一定要注意“定义域优先”原则，如本题中若忽视定义域，则会出现这样错误答案. 【举一反三】 3． 已知定义在上的函数为增函数，且满足，. （1）求和的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）赋值法直接求和； （2），由函数在上为增函数，可得，计算即可. 【详解】（1）， 又， （2）， 因为函数在上为增函数， 所以， 不等式的解集为 4． 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知函数为偶函数，且当时，函数单调递增，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】因为函数满足，且定义域为R， 所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增， 故可以变为，即， 当时，； 当时，可得． 又，当且仅当时取等号， 所以，解得. 故选：B． 5． 已知是定义在上的减函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】令时，， 由， 因为是定义在上的减函数， 所以有， 故选：D 6． 已知函数，则关于不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，分析这两个函数在上的单调性与奇偶性，可得出函数在上的单调性与奇偶性，可将所求不等式变形为，结合函数的单调性解之即可. 【详解】解：设，则函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 设，，，则， 故函数的定义域为，且， 所以，，则函数为上的奇函数， 当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 因为函数在上连续，故函数在上为增函数， 令，则函数在上为增函数， 且，即函数为奇函数， 由可得，即， 所以，，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：C. 7． 已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是奇函数求出，得到，判断出的单调性，再利用单调性和奇偶性可得恒成立，由可得答案. 【详解】∵是奇函数，∴即恒成立， 即， 则，解得，又∵，∴，则， 所以， ，是奇函数， 因为在是单调递减函数，在是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得， 可得恒成立， 则，即恒成立， 所以恒成立，解得. 故选：B. 8． 设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】不等式等价于，利用函数的奇偶性和单调性可得答案. 【详解】因为是偶函数，所以等价于， 又在上单调递减，所以在上单调递增． 由得，或， 又，所以， 由得，由得， 故解集为. 故答案为：. 9． 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减．若实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数性质可知在上单调递增，并化简不等式为，由单调性可得，解对数不等式即可求得结果. 【详解】为上的偶函数，且在区间上单调递减， 在上单调递增； ，， 即，，即或， 解得：或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 10． 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】不等式左右两边同时除以，会发现左端部分是单调递减函数，将右端常数变为函数值的形式，利用单调性解不等式. 【详解】因为是奇函数，且，所以．因为，所以．因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．因为，所以，则． 故答案为：. 11． 已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】解：因为定义域为，且，即为奇函数， 又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增， 则不等式等价为， 即，解得，即不等式的解集为. 故答案为： 12． 已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断的奇偶性，并判断其单调性，根据单调性和奇偶性将不等式去掉“外套”，最后将存在性问题转化为最值问题可得. 【详解】，且定义域为，为奇函数 易知单调递增 令，显然为增函数， ，， 存在，使得成立 ，即. 故答案为： 13． 已知函数，求不等式的解集. 【答案】 【分析】求出导函数，利用导数结合基本不等式和余弦函数的有界性判断导函数复合，即可判断函数单调性，从而利用单调性解不等式即可. 【详解】因为的定义域为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以函数在上单调递增. 因为，所以， 所以，所以或. 综上所述，不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招5  F型函数不等式 1、 单调性定义的等价形式： （1） 函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2） 函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、 利用单调性、奇偶性解不等式原理 （1）解型不等式 1 利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； 2 若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解. （1）为奇函数，形如的不等式的解法： 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解. 3、 单调性和奇偶性综合求不等式范围问题 1 奇函数单调性不改变，当为定义在R上的奇函数时，若时，单调递增，则时，也单调递增，即；同理，若时，单调递减，则时，也单调递减，即； 2 偶函数单调性改变，当为定义在R上的偶函数时，若时，单调递增，则时，单调递减，即；；同理，若时，单调递减，则时，单调递增，即；． 【典例1】已知，若，求a的取值范围． 【大招指引】先利用函数的奇偶性定义和导数判定函数为奇函数，且在定义域上单调递增，进而转化为进行求解. 【解析】因为，所以该函数为奇函数， 又，故该函数单调递增， 又，所以， 即，解得 【题后反思】因为的解析式比较复杂，所以代入求解显然不可行，进而考虑转化为利用函数单调性和奇偶性进行求解. 【温馨提醒】对于型不等式的求解，应先利用函数的奇偶性转化为，再利用单调性进行求解. 【举一反三】 1． 已知，若，求a的取值范围． 【典例2】设函数，则使得成立的x的取值范围是 . 【大招指引】先利用函数的奇偶性、单调性的定义判定函数为偶函数且在是增函数，再利用单调性进行求解. 【解析】由知是偶函数且在是增函数， 所以． 【题后反思】因为的解析式比较复杂，所以代入求解显然不可行，考虑进而转化为利用函数单调性和奇偶性进行求解. 【温馨提醒】若为偶函数，且在单调递增，则： 若为偶函数，且在单调递减，则. 【举一反三】 2． 已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 【典例3】已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A．        B．      C．        D． 【大招指引】先利用将转化为，再利用单调性进行求解. 【解析】根据题意，满足， 则， 则， 又由是定义在上的减函数， 则有，解可得， 即不等式的解集为.故选：B. 【题后反思】解决本题的关键是利用利用将转化为. 【温馨提醒】在研究函数问题时，一定要注意“定义域优先”原则，如本题中若忽视定义域，则会出现这样错误答案. 【举一反三】 3． 已知定义在上的函数为增函数，且满足，. （1） 求和的值； （2） 解关于的不等式. 4． 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5． 已知是定义在上的减函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6． 已知函数，则关于不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 7． 已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8． 设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是 ． 9． 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减．若实数满足，则实数的取值范围是 ． 10． 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是 ． 11． 已知函数，则不等式的解集为 . 12． 已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为 ． 13． 已知函数，求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$