2025年高中数学解题技巧之奇函数的最值模型讲义

大招1      奇函数的最值模型 处理形如“的最大值和最小值之和的问题”，其中为奇函数或有对称中心，当对函数求导较为复杂时，我们一般作如下处理： 第一步：利用函数奇偶性或对称性的定义验证函数的对称性， 设函数的定义域为，对任意的，若，则称函数的图象关于点对称. 第二步：分析出函数图象的最高点和最低点也会关于其对称中心对称， 第三步：利用对称性求出，从而解决实际问题. 【典例1】设函数的最大值为a，最小值为b，则（ ） A．    B．0    C．1    D．2 【大招指引】函数求导后比较复杂，将函数的解析式先变形为，注意到函数的分子部分为奇函数，分母部分为偶函数，可以尝试分析函数的对称性，结合对称性来解题. 【解析】∵， 函数为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称，∴， 从而， 故选：D． 【题后反思】不少同学在最开始做此类问题时，会这么来写： 因为， 则， 发现导数过于复杂，无法找出函数的极值点，从而导致问题求解无法继续，解题出现僵局. 【温馨提醒】1.一般在求函数的最值时，可以先分析函数的单调性，可以借助导数、图象等工具来进行分析，一般只适用于导数较为简单或者极值点能找到的前题下，我们可以通过分析函数的单调性来达到求解函数最值的目的； 2.当导数较为庞大或者分析单调性遇到困难时，我们可以先分析函数的奇偶性、对称性来寻求问题的突破口，结合对称性得出函数最大值和最小值之间的关系，从而使问题得到解决. 【典例2】函数在上的最大值与最小值的和为（ ） A．     B． B．     D． 【大招指引】本题中函数不是奇函数，可以将函数的解析式进行变形，然后通过图象变换，变为奇函数，结合奇函数的对称性来得出的最大值和最小值之间的关系. 【解析】将函数左移一个单位，得，， 则，所以函数关于对称，从而函数图象的最高点和最低点也关于点对称， ， 故选：D 【题后反思】当某些函数不是奇函数时，我们可以将函数的解析式变形，通过图象平移转化为奇函数，结合奇函数的性质来求解，或者直接利用分析函数的对称性，找出其对称性质，结合对称性来解题. 【举一反三】 1． 已知函数，则在上的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，令，，根据奇偶性定义可证得为奇函数，得到，由此推导得到结果. 【详解】； 令，当时，，； 令，， ， 为定义在上的奇函数，， ，即， 在上的最大值和最小值之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造奇函数求解最值之和的问题，解题关键是能够根据已知函数解析式构造出奇函数的形式，从而利用奇函数的对称性得到最值之和. 【典例3】若对．有，则函数在,上的最大值和最小值的和为（ ） A．4    B．8    C．6    D．12 【大招指引】根据原抽象函数的关系，通过合理赋值得到，设具有奇函数性质的新函数，再证明为奇函数，根据奇函数＋奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇函数性质得，再利用函数图象的平移得到最终最值和. 【答案】B 【解析】，．有， 取，则，故，取，则，故， 令，则，故为奇函数，，设， 则，，故为奇函数， 故为奇函数，故函数在上的最大值和最小值的和是0， 而是将函数的图象向上平移4个单位，即在上最大值和最小值均增加4， 故函数在上的最大值和最小值的和是8， 故选：B． 【题后反思】对于抽象函数最值和的问题，首先应关注其定义域，根据定义的对称性猜测出其对称性，然后利用函数对称性的定义去进行验证，再结合对称性来求最值之和. 【举一反三】 2． 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果. 【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴． 故选:B 3． 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求得时，函数的值域为，结合函数为奇函数，求得函数的值域，进而求得其最小值. 【详解】当时，函数， 当时，；当时，， 所以函数在上的值域为 因为是上的奇函数，所以的值域为， 所以的最小值是. 故选：A. 4． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和. 【详解】已知， ， 则，函数在定义域内为非奇非偶函数， 令，则 则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为， 则的最大值为，最小值为 所以， 故选：C. 5． 若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上为奇函数，数形结合得到最小值与最大值的和为0，推导出. 【详解】，由题意得：，故， 关于原点对称，且， 故为奇函数， 则，A正确，D错误； 故一定异号，所以，BC错误. 故选：A （2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考） 6． 函数在上的最大值与最小值的和为8，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】构造函数，，得到为奇函数，从而得到，从而得到当时，，列出方程，求出答案. 【详解】因为， 所以， 令， 因为的定义域为， 令，得：， 故的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 即， 故时， 所以当时，， 所以，解得：. 故选：B 7． 定义：函数满足（，C为常数），则称为中心对称函数，已知中心对称函数在上的最大值和最小值分别为M，m，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】变形给定的函数式，再借助奇函数最大值与最小值的关系计算作答. 【详解】函数，令，则， 函数是R上的奇函数，而，依题意，， 又，所以. 故选：D 8． 已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【分析】先将函数变形为，再根据奇函数的性质求出即可得解. 【详解】定义域为的函数有最大值和最小值，所以．则，令，则是奇函数，故，故，又，故． 所以. 故选：D 9． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先用导数求出和，从而求出的表达式，可得的对称中心，然后转化为点到圆心的距离. 【详解】因为，所以，因为，所以， 即在上单调递增，所以，， 所以，所以， 因为是奇函数，关于原点对称，所以关于中心对称， 易知点在圆的内部，因为点到坐标原点的距离为， 所以所求最短弦长为. 故选：D. （2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模） 10． 若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为（    ） A．2016 B．2017 C．4032 D．4034 【答案】C 【分析】先计算得到，再构造函数，判断的奇偶性得出结论． 【详解】解：令得，， 令得， ， 令，则，， ， 是奇函数， ，即， ． 故选：C． 11． 定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】2 【分析】由题意可得的最大最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案． 【详解】函数为奇函数，， 又的最大值为，最小值为， 又，即为奇函数， 且的最大最小值分别为，， 由奇函数的性质可得， 解得． 故答案为：2． 12． 函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为 ． 【答案】-26 【分析】构造，易知为奇函数，根据已知条件确定的最大值，再由奇函数的性质判断在的最小值，即可求在的最小值. 【详解】由题设，令，易知：且， ∴为奇函数，又在上的最大值为10， ∴在上的最大值为18， 由奇函数对称区间上单调性相同：在上的最小值为-18， ∴在上的最小值为-26. 故答案为：-26. 13． 对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，所以， 又当时，， 所以， 当且仅当时等号成立， 即当时，， 因为为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 14． 已知函数为奇函数，g(x)的图象关于直线对称，若，则g(x)的最大值是 . 【答案】 【分析】由为奇函数，得到，由g(x)的图象关于直线对称，得到，然后根据求解. 【详解】解：因为为奇函数， 所以， 即， 因为g(x)的图象关于直线对称， 所以， 因为， 所以， 两式相加得：， 所以g(x)的最大值是. 故答案为： （2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测） 15． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 . 【答案】## 【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和，求出的值，即可得到，所以化简，即可得到答案 【详解】已知，， 则，故函数在定义域内为非奇非偶函数， 令， 则， 则在定义域内为奇函数， 设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，最小值为， 则，∴， 所以， ∴当时，， ∴关于中心对称， 故答案为： 【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下： 若，则函数关于对称； 若，则函数关于中心对称； 若，则是的一个周期 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招1      奇函数的最值模型 处理形如“的最大值和最小值之和的问题”，其中为奇函数或有对称中心，当对函数求导较为复杂时，我们一般作如下处理： 第一步：利用函数奇偶性或对称性的定义验证函数的对称性， 设函数的定义域为，对任意的，若，则称函数的图象关于点对称. 第二步：分析出函数图象的最高点和最低点也会关于其对称中心对称， 第三步：利用对称性求出，从而解决实际问题. 【典例1】设函数的最大值为a，最小值为b，则（ ） A．    B．0    C．1    D．2 【大招指引】函数求导后比较复杂，将函数的解析式先变形为，注意到函数的分子部分为奇函数，分母部分为偶函数，可以尝试分析函数的对称性，结合对称性来解题. 【解析】∵， 函数为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称，∴， 从而， 故选：D． 【题后反思】不少同学在最开始做此类问题时，会这么来写： 因为， 则， 发现导数过于复杂，无法找出函数的极值点，从而导致问题求解无法继续，解题出现僵局. 【温馨提醒】1.一般在求函数的最值时，可以先分析函数的单调性，可以借助导数、图象等工具来进行分析，一般只适用于导数较为简单或者极值点能找到的前题下，我们可以通过分析函数的单调性来达到求解函数最值的目的； 2.当导数较为庞大或者分析单调性遇到困难时，我们可以先分析函数的奇偶性、对称性来寻求问题的突破口，结合对称性得出函数最大值和最小值之间的关系，从而使问题得到解决. 【典例2】函数在上的最大值与最小值的和为（ ） A．     B． B．     D． 【大招指引】本题中函数不是奇函数，可以将函数的解析式进行变形，然后通过图象变换，变为奇函数，结合奇函数的对称性来得出的最大值和最小值之间的关系. 【解析】将函数左移一个单位，得，， 则，所以函数关于对称，从而函数图象的最高点和最低点也关于点对称， ， 故选：D 【题后反思】当某些函数不是奇函数时，我们可以将函数的解析式变形，通过图象平移转化为奇函数，结合奇函数的性质来求解，或者直接利用分析函数的对称性，找出其对称性质，结合对称性来解题. 【举一反三】 1． 已知函数，则在上的最大值与最小值之和为 ． 【典例3】若对．有，则函数在,上的最大值和最小值的和为（ ） A．4    B．8    C．6    D．12 【大招指引】根据原抽象函数的关系，通过合理赋值得到，设具有奇函数性质的新函数，再证明为奇函数，根据奇函数＋奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇函数性质得，再利用函数图象的平移得到最终最值和. 【答案】B 【解析】，．有， 取，则，故，取，则，故， 令，则，故为奇函数，，设， 则，，故为奇函数， 故为奇函数，故函数在上的最大值和最小值的和是0， 而是将函数的图象向上平移4个单位，即在上最大值和最小值均增加4， 故函数在上的最大值和最小值的和是8， 故选：B． 【题后反思】对于抽象函数最值和的问题，首先应关注其定义域，根据定义的对称性猜测出其对称性，然后利用函数对称性的定义去进行验证，再结合对称性来求最值之和. 【举一反三】 2． 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（    ） A． B．6 C． D．5 3． 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 4． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 5． 若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． （2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考） 6． 函数在上的最大值与最小值的和为8，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D．6 7． 定义：函数满足（，C为常数），则称为中心对称函数，已知中心对称函数在上的最大值和最小值分别为M，m，则（    ） A． B． C． D．2 8． 已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．6 9． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（    ） A．10 B．5 C． D． （2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模） 10． 若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为（    ） A．2016 B．2017 C．4032 D．4034 11． 定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 12． 函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为 ． 13． 对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为 . 14． 已知函数为奇函数，g(x)的图象关于直线对称，若，则g(x)的最大值是 . （2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测） 15． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$