2025年高中数学解题技巧之轴对称与中心对称讲义

大招2  轴对称与中心对称 函数的对称性是函数一个重要的性质，主要应用于函数对称性的判断、函数求值、函数零点和的问题，处理步骤如下： （1） 利用定义分析函数的对称性； （2） 利用函数的对称性解题（涉及零点问题，有时还需作出图形）. 其中，与函数对称性相关的结论如下： 1． 轴对称相关结论：①函数的图象关于直线对称． 2 函数的图象关于直线对称． 3 函数的图象关于直线对称． 2． 中心对称相关结论：①函数的图象关于点中心对称． 2 函数的图象关于点中心对称． 3 函数的图象关于点中心对称． 3． 奇偶性的相关结论：①函数为偶函数的图象关于直线对称. ②函数为奇函数的图象关于点对称. 4． 三次函数的对称性：对于一个三次函数来说，是函数图象的对称中心，其中满足方程（为函数的二阶导数）． 【典例1】（2023秋·辽宁丹东·高三期末）设函数，则（    ） A． 是奇函数    B．是偶函数 B． 的图象关于点中心对称    D．的图象关于直线轴对称 【大招指引】直接利用函数对称性的定义验证. 【答案】C 【解析】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误； 对于选项B：，则不是偶函数，故B错误； 对于选项C：，故的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误； 故选：C. 【题后反思】判断函数的对称性，一般直接通过函数的定义来进行，不要忽略对定义域的考查，函数定义域的对称性是函数具备对称的前题. 【举一反三】 1． 已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． 函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 B． 函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据求导公式和求导法则可得，结合抽象函数的对称性即可求解. 【详解】由，可知函数的图象关于直线对称； 对求导，得， 则函数的图象关于点对称，所以ABC错误，D正确. 故选：D． 【典例2】已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（    ） A．②③    B．①④    C．②③④    D．①②④ 【大招指引】当涉及到函数的奇偶性时，直接利用结论或者利用函数图象平移得到与函数相关的性质，从而作出判断，也可以寻找形似函数来进行判断. 【答案】D 【解析】解：（法一）因为为奇函数，所以关于对称， 又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有； 又为偶函数，所以，所以关于对称；所以有， 又，所以，所以周期为4， 所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确. （法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确. 故选：D. 【温馨提醒】1.当函数既有对称轴、又有对称中心，可以取为正弦型或余弦型函数来进行判断，化抽象函数为具体函数，直接明了； 2． 若时，刑如函数的对称性问题，再利用定义得到等式后，一般借助换元法将函数的对称性转化为函数的对称性，进而进行分析判断. 【举一反三】 3． 已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）． A． 函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2 B． 函数关于点中心对称 D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，， 所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误； 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以函数关于点中心对称，故C错误， 由与得，即， 故，所以函数的周期为4，故B错误； ，故D正确． 故选：D． （2023秋·辽宁锦州·高三期末） 【典例3】已知函数对任意实数，都满足，且，则（    ） A． 是偶函数    B．是奇函数 B．     D． 【大招指引】本题中的函数不是具体函数，可以利用对称性的定义或具体函数来进行判断. 【答案】AC 【解析】在中， 令，可得，即，解得，故B错误； 令可得,即， 故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确； 令，则，故， 令，可得, 故，故C正确； 因为是偶函数，所以，故, 即， 所以,所以，故函数的周期为2， 因为，，所以，. 所以，故D错误. 故选：AC. 【题后反思】对于抽象函数的对称性问题，一般可以利用函数对称性的定义或者具体的形似函数来分析，一些常见的形似函数如下： 1 ，可取，其中； 2 ，可取（且）； 3 ，可取（且）； 4 ，可取； 5 ，可取. 【举一反三】 4． 已知的定义域为，且对任意、，有，且当时，，则以下结论正确的个数是（    ） 1 ；②的图象关于点中心对称； 2 在上单调；④当时，. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取、可求出的值，可判断命题①的正误；当时，令，，由结合不等式的基本性质可判断命题④的正误；利用函数单调性的定义可判断命题③的正误；取，，结合基本不等式可判断命题②的正误. 【详解】对于①，对任意的，取可得，所以，，①对； 对于④，当时，令，， 此时，所以，，④对； 对于③，由题意可知，对任意的，， 任取、且，令，，可得， 所以，，则，， 故函数在上为增函数，③对； 对于②，令，，则， 由基本不等式可得， 因此，函数的图象不关于点对称，②错. 所以，正确命题的序号为①③④. 故选：C. 【典例4】已知函数，若，，则___________. 【大招指引】三次函数的对称中心，可以通过求出的对称轴可得的对称中心为，再证明，即可得到答案. 【答案】2 【解析】解：因为，对称轴为， 所以的对称中心为，即， 因为，所以在R上单调递增， 所以方程，的解均有且只有一个， 因为，所以，关于对称中心对称， 所以， 故答案为：2 【题后反思】三次函数的对称中心，可通过求函数的对称轴，来得出函数对称中心的横坐标，再代入函数的解析式而得到. 【举一反三】 5． 已知函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数的对称中心为，再根据函数为奇函数，求出参数即可得解. 【详解】解：设函数的对称中心为， 则函数为奇函数， 由， 得， 整理得， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心是. 故选：D. 【典例5】已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（    ） A．1    B．2    C．4    D． 【大招指引】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求. 【答案】B 【解析】， 故函数关于对称，又在上严格递减； ， 所以，即， 所以 当且仅当，时取得. 故选：B. 【温馨提醒】在利用函数对称性求参数值时，不仅要分析函数的对称性，还应注意分析函数在定义域内的单调性，确保自变量取值的唯一性，否则导致有多个解. 【举一反三】 6． 已知函数，（a，b为常数，且），，则的值是（    ） A．8 B．4 C． D．与a，b有关的数 【答案】B 【分析】先通过计算得，再通过计算得到，进而可得，则的值可求. 【详解】 又， 故选：B. 【典例6】对于函数，时，，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（    ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】本题考查的值，要注意首位函数值自变量之间的关系，再结合函数对称性的定义来进行验证，再结合对称性求解. 【答案】D 【解析】因， 令， 则， 两式相加得：，解得， 所以的值为2021. 故选：D 【题后反思】在求解多个函数值相加时，形如的值（其中为定值），要注意分析为定值，再结合倒序相加法求解. 【举一反三】 7． 已知函数，则（    ） A．40404 B．4044 C．2022 D．2024 【答案】B 【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】， ， 所以， 以替换得， 令， 则， 两式相加得. 故选：B （2023·天津·二模） 【典例7】设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A．40405 B．4049    C．2025    D．2023 【大招指引】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案. 【答案】B 【解析】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴， ，其图象关于直线对称， 故可作出函数函数，得图象如图： 由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期， 在每个周期内和的图象都有2个交点， 则共有2024个交点， 根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点， 且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的， 故这4048个交点的横坐标之和为， 而也是这两函数图象的一个交点的横坐标， 故与的图象所有交点的横坐标之和为， 故选：B 【题后反思】解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象. 【举一反三】 （2023·江西宜春·一模） 8． 已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为 . 【答案】4044 【分析】根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由时函数的解析式可作出函数的图象，原问题可转化为与交点横坐标问题，由对称性求和即可. 【详解】由是定义在R上的奇函数，所以，又， 所以，则的周期是2， 且得是其中一条对称轴， 又时，于是图象如图所示， 又函数零点，即为与的交点的横坐标， 由图知：交点关于对称，每个周期都有2个交点， 所以、各有个周期，故各有个交点，它们两两关于对称， 所以零点之和为. 故答案为： （2023·山西晋中·二模） 9． 已知函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及奇偶性即可求解. 【详解】对于A，由，所以的图象不关于直线对称，故A错误； 对于B，由，所以的图象关于点对称．故B正确； 对于C，由，所以不是偶函数，故的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，由，所以不是奇函数，故的图象不关于原点对称，故D错误； 故选：B. 10． 曲线的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数对称性的定义可得结果. 【详解】设，则， ， 故函数的对称中心为. 故选：B. 11． 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的值，计算得出，即可求得所求代数式的值. 【详解】对任意的，， 因为，则， 因此，. 故选：C. 12． 已知函数是偶函数，对任意均有，则下列正确结论的序号为（    ） ①；②是奇函数；③直线是图像的一条对称轴；④记，则. A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】令，可判断①；令，得，可判断②；由条件可得，故16是的一个周期，进而得，可判断③；由条件结合③求得，结合函数的周期性求解可判断④. 【详解】令，知，故，故①正确； 令，知，故，又为偶函数， 故，则不是奇函数，故②错误； 因为6，则，即， 于是有，则，故16是的一个周期， 则，故的图像关于对称，故③正确； 因为，，所以， 由③可知，故， 因为，故， 又，， 故， ，故④正确. 综上，①③④正确. 故选：B. （2023·陕西商洛·二模） 13． 古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有（    ） 1 函数可以是某个正方形的“优美函数”； 2 函数只能是边长不超过的正方形的“优美函数”； 3 函数可以是无数个正方形的“优美函数”； 4 若函数是“优美函数”，则的图象一定是中心对称图形． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据“优美函数”的定义，可判断①③中的函数为奇函数，其图象为中心对称图形，可判断其正误，结合余弦函数的性质可判断②，作图分析，举出反例，判断④. 【详解】对于①，满足，故为奇函数， 则图象原点对称，且连续， 所以可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确． 对于②，令，得， 所以图象的对称中心为， 故以为中心的正方形都能被函数的图象平分， 即可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误． 对于③，令，, 则，故为奇函数． 又因为的图象是由的图象向下平移一个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，故以为中心的正方形都能被的图象平分，故③正确． 对于④，如图所示，图中两三角形面积相等，函数是“优美函数”， 但其图象不是中心对称图形， 可知④错误， 故选：B 14． 若函数的定义域为，且是偶函数，关于点成中心对称，则函数的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题意可推断出的周期为8，继而求出所有的对称轴，即可求出答案 【详解】因为是偶函数，所以，所以关于对称，即， 因为关于点成中心对称，且向左平移1个单位长度之后得到， 所以关于对称，所以， 因为，， 所以，故，故的周期为8， 因为关于对称，关于对称，所以关于对称， 所以的对称轴为或， 因为 所以函数的一条对称轴为， 故选：C 15． 若定义在上的函数满足：对，都有成立，则下列描述一定成立的是（    ） A． 的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 B． 的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】先赋值令，代入可得，可以判断A错误，再令，整理得，可以判断C正确；再令，检验判断B、D的正误. 【详解】∵ 令，则，可得 ∴的图象不可能关于原点对称，A错误； 令，则，可得 ∴的图象关于点对称，C正确； 令，则 即满足题意，但的图象不关于轴对称，且不关于直线对称，B、D错误； 故选：C. （2022·宁夏石嘴山·一模） 16． 设函数的定义域为D，若对任意的，，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，则（    ） A．0 B．2022 C．4043 D．8086 【答案】A 【分析】由题设可得，将目标式化为即可得结果. 【详解】由， 所以关于对称， . 故选：A 17． 已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ） A．0 B．2022 C．4044 D．1011 【答案】B 【分析】根据函数对称性的定义得到函数关于点对称，函数也关于点对称，从而得到函数与的图象的交点关于点对称，即可求解. 【详解】由可得， 则函数图象上的点关于点的对称点也在的图象上. 又由可知，函数的图象也关于点对称. 因此，函数与的图象的交点关于点对称. 不妨设，与关于点对称， 与关于点对称，…，与关于点对称， 则， 所以, 故选：B. （2023·山东威海·一模）（多选） 18． 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． B． D． 【答案】ABD 【分析】对于ABD，利用已知条件与复合函数的求导法则，结合与的奇偶性，逐一分析判断即可；对于C，举反例排除即可. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，左右两侧分别取导数可得，， 所以，故B正确； 对于D，因为，又为奇函数，则， 所以，即，则，故D正确； 对于C，令，则为偶函数，为奇函数，满足题干， 当时，，， 所以，即存在，使得不成立，故C错误. 故选：ABD. 19． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 . 【答案】 【分析】先求得，然后构造函数，判断出的奇偶性，由此求得，进而求得的表达式，利用图象变换的知识确定的对称中心. 【详解】 ， 即，所以， 令，， 则为上奇函数， 在上的最大值为最小值的和为0， ∴，， 是奇函数，图象的对称中心是， 向左平移个单位得到，对称中心为， 再横坐标缩小为原来的一半得到，对称中心为， 再向下平移个单位得到，对称中心为， 所以的对称中心是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招2  轴对称与中心对称 函数的对称性是函数一个重要的性质，主要应用于函数对称性的判断、函数求值、函数零点和的问题，处理步骤如下： （1） 利用定义分析函数的对称性； （2） 利用函数的对称性解题（涉及零点问题，有时还需作出图形）. 其中，与函数对称性相关的结论如下： 1． 轴对称相关结论：①函数的图象关于直线对称． 2 函数的图象关于直线对称． 3 函数的图象关于直线对称． 2． 中心对称相关结论：①函数的图象关于点中心对称． 2 函数的图象关于点中心对称． 3 函数的图象关于点中心对称． 3． 奇偶性的相关结论：①函数为偶函数的图象关于直线对称. ②函数为奇函数的图象关于点对称. 4． 三次函数的对称性：对于一个三次函数来说，是函数图象的对称中心，其中满足方程（为函数的二阶导数）． 【典例1】（2023秋·辽宁丹东·高三期末）设函数，则（    ） A． 是奇函数    B．是偶函数 B． 的图象关于点中心对称    D．的图象关于直线轴对称 【大招指引】直接利用函数对称性的定义验证. 【答案】C 【解析】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误； 对于选项B：，则不是偶函数，故B错误； 对于选项C：，故的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误； 故选：C. 【题后反思】判断函数的对称性，一般直接通过函数的定义来进行，不要忽略对定义域的考查，函数定义域的对称性是函数具备对称的前题. 【举一反三】 1． 已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． 函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 B． 函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 【典例2】已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（    ） A．②③    B．①④    C．②③④    D．①②④ 【大招指引】当涉及到函数的奇偶性时，直接利用结论或者利用函数图象平移得到与函数相关的性质，从而作出判断，也可以寻找形似函数来进行判断. 【答案】D 【解析】解：（法一）因为为奇函数，所以关于对称， 又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有； 又为偶函数，所以，所以关于对称；所以有， 又，所以，所以周期为4， 所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确. （法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确. 故选：D. 【温馨提醒】1.当函数既有对称轴、又有对称中心，可以取为正弦型或余弦型函数来进行判断，化抽象函数为具体函数，直接明了； 2． 若时，刑如函数的对称性问题，再利用定义得到等式后，一般借助换元法将函数的对称性转化为函数的对称性，进而进行分析判断. 【举一反三】 3． 已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）． A． 函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2 B． 函数关于点中心对称 D． （2023秋·辽宁锦州·高三期末） 【典例3】已知函数对任意实数，都满足，且，则（    ） A． 是偶函数    B．是奇函数 B．     D． 【大招指引】本题中的函数不是具体函数，可以利用对称性的定义或具体函数来进行判断. 【答案】AC 【解析】在中， 令，可得，即，解得，故B错误； 令可得,即， 故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确； 令，则，故， 令，可得, 故，故C正确； 因为是偶函数，所以，故, 即， 所以,所以，故函数的周期为2， 因为，，所以，. 所以，故D错误. 故选：AC. 【题后反思】对于抽象函数的对称性问题，一般可以利用函数对称性的定义或者具体的形似函数来分析，一些常见的形似函数如下： 1 ，可取，其中； 2 ，可取（且）； 3 ，可取（且）； 4 ，可取； 5 ，可取. 【举一反三】 4． 已知的定义域为，且对任意、，有，且当时，，则以下结论正确的个数是（    ） 1 ；②的图象关于点中心对称； 2 在上单调；④当时，. A． B． C． D． 【典例4】已知函数，若，，则___________. 【大招指引】三次函数的对称中心，可以通过求出的对称轴可得的对称中心为，再证明，即可得到答案. 【答案】2 【解析】解：因为，对称轴为， 所以的对称中心为，即， 因为，所以在R上单调递增， 所以方程，的解均有且只有一个， 因为，所以，关于对称中心对称， 所以， 故答案为：2 【题后反思】三次函数的对称中心，可通过求函数的对称轴，来得出函数对称中心的横坐标，再代入函数的解析式而得到. 【举一反三】 5． 已知函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【典例5】已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（    ） A．1    B．2    C．4    D． 【大招指引】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求. 【答案】B 【解析】， 故函数关于对称，又在上严格递减； ， 所以，即， 所以 当且仅当，时取得. 故选：B. 【温馨提醒】在利用函数对称性求参数值时，不仅要分析函数的对称性，还应注意分析函数在定义域内的单调性，确保自变量取值的唯一性，否则导致有多个解. 【举一反三】 6． 已知函数，（a，b为常数，且），，则的值是（    ） A．8 B．4 C． D．与a，b有关的数 【典例6】对于函数，时，，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（    ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】本题考查的值，要注意首位函数值自变量之间的关系，再结合函数对称性的定义来进行验证，再结合对称性求解. 【答案】D 【解析】因， 令， 则， 两式相加得：，解得， 所以的值为2021. 故选：D 【题后反思】在求解多个函数值相加时，形如的值（其中为定值），要注意分析为定值，再结合倒序相加法求解. 【举一反三】 7． 已知函数，则（    ） A．40404 B．4044 C．2022 D．2024 （2023·天津·二模） 【典例7】设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A．40405 B．4049    C．2025    D．2023 【大招指引】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案. 【答案】B 【解析】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴， ，其图象关于直线对称， 故可作出函数函数，得图象如图： 由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期， 在每个周期内和的图象都有2个交点， 则共有2024个交点， 根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点， 且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的， 故这4048个交点的横坐标之和为， 而也是这两函数图象的一个交点的横坐标， 故与的图象所有交点的横坐标之和为， 故选：B 【题后反思】解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象. 【举一反三】 （2023·江西宜春·一模） 8． 已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为 . （2023·山西晋中·二模） 9． 已知函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 10． 曲线的对称中心为（    ） A． B． C． D． 11． 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 12． 已知函数是偶函数，对任意均有，则下列正确结论的序号为（    ） ①；②是奇函数；③直线是图像的一条对称轴；④记，则. A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③ （2023·陕西商洛·二模） 13． 古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有（    ） 1 函数可以是某个正方形的“优美函数”； 2 函数只能是边长不超过的正方形的“优美函数”； 3 函数可以是无数个正方形的“优美函数”； 4 若函数是“优美函数”，则的图象一定是中心对称图形． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 14． 若函数的定义域为，且是偶函数，关于点成中心对称，则函数的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 15． 若定义在上的函数满足：对，都有成立，则下列描述一定成立的是（    ） A． 的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 B． 的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 （2022·宁夏石嘴山·一模） 16． 设函数的定义域为D，若对任意的，，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，则（    ） A．0 B．2022 C．4043 D．8086 17． 已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ） A．0 B．2022 C．4044 D．1011 （2023·山东威海·一模）（多选） 18． 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． B． D． 19． 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$