2025年高中数学解题技巧之奇偶性拓展结论讲义

大招3    奇偶性拓展结论 “已知定义域关于原点对称的函数，且，求的值．”如果函数是奇函数或偶函数，那么能轻松求出．但现实往往是函数非奇非偶，怎么办？我们通常采用以下步骤处理： 第一步：观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数． 第二步：根据函数，的奇偶性得到与的关系式，进而求出的值． 1 如果偶函数是无参或相对简单的，那么我们以奇函数为桥梁构建等式，根据解决问题． 2 如果奇函数是无参或相对简单的，那么我们以偶函数为桥梁构建等式，根据解决问题． 函数的奇偶性分解结论:对于一个定义域关于原点对称的函数来说，我们构建函数，，这样就使得．而对于函数来说，，得到函数是偶函数；对于函数来说，，得到函数是奇函数．这就说明任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和． 【典例1】（2023秋·贵州黔东南·高三期末） 1． 已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】设，则可得是奇函数，利用可得可得答案. 【详解】，设，则，即是奇函数， 故，即，即， 因为，所以. 故选：B. 【题后反思】利用函数奇偶性求函数值 ，要注意分离出奇函数和偶函数的部分，利用奇函数的对称性来建立函数值之间的关系，进而求解. 【举一反三】 2． 已知，若，则等于（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先结合解析式得出，再代入计算可得答案. 【详解】， ， ，， 故选：A. 【典例2】 3． 若函数是偶函数，则、的值是（    ） A． B．不能确定， B． ，不能确定 D． 【答案】D 【分析】根据定义域关于原点对称，求得，再根据，求得的值，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 可得，解得，即， 又由， 因为函数为偶函数，则，即， 解得. 故选：D. 【题后反思】利用奇偶性求参数，设，且、分别为奇函数、偶函数， 1 若为奇函数，则； 2 若为偶函数，则. 【举一反三】 4． 已知是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，然后进行验证，进而即得. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 解得，所以， 此时是奇函数， 所以. 故选：B. 【典例3】（2023·安徽马鞍山·三模） 5． 函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题意可得，解得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【题后反思】利用函数的奇偶性求函数的解析式，关键在于利用函数奇偶性建立方程组，求出函数的解析式，再利用函数的基本性质进行求解. 【举一反三】 6． 已知和分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性，列出方程组算得，令，用基本不等式求最小值. 【详解】由和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 则，， 故，① ，② ①+②得，故， 令，则，则， 当且仅当，即时取等， 故的最小值为1， 故选：B. 【典例4】（2023·四川自贡·三模） 7． 设函数有唯一的零点，则实数m为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】令，通过换元法将函数转化为, 易得函数是偶函数，再根据题意可得，即可求解. 【详解】令，则， 因为， 所以函数是偶函数. 因为函数有唯一的零点，所以函数有唯一的零点. 则，即，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛： 这道题的关键能通过换元法将函数转化为，从而利用偶函数有唯一零点得到，从而求解. 【温馨提示】在求函数的零点个数时，当函数的单调性比较难于分析时，利用分析其奇偶性或对称性，再结合函数的对称性得出零点的值或关系，进而建立相应的关系式求解.s 【举一反三】 8． 使有唯一的解的有（    ） A．不存在 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】令,则构造函数,且,得出为偶函数,根据偶函数的对称性,假设有,必有,与题设矛盾,则只有,代入即可得出答案． 【详解】解:令,则, 设,且, 则, 为偶函数,则函数图象关于y轴对称, 由偶函数的对称性,若的零点不为, 则有,必有,不满足的唯一性, 所以只能是,即, 解得,故只有唯一一个. 故选:B 9． 已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用可直接构造方程求解. 【详解】，， ，解得：. 故选：A. 10． 已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】令，可得为奇函数，由，可得，，再由求解即可. 【详解】解：因为， 令， 所以， 又因为=， 所以为奇函数， 因为， 即， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 11． 已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以有 即. 故选：A 12． 若为奇函数，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义，取特殊情况 ，可以快速求解出的值. 【详解】由题得： ，故. 故选:A. 13． 已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得，联立可得，即得答案. 【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，， 故，即， 将该式和相减可得， 则， 故选：C 14． 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性列方程，由此求得的值. 【详解】因为是奇函数，所以有， 代入有， 所以. 故选：A 15． 已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 16． 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】由题，将代入，进而根据奇偶函数的性质得出方程组，进而求解可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得，当且仅当即时取等号. 故选：D 17． 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．在上单调递减 B． 关于直线对称 D．的最小值为1 【答案】B 【分析】通过题目信息求出的解析式，然后利用函数性质进行判断 【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得. 对于A：，故A正确； 对于B：，所以不可能单调递减，故B错误； 对于C:根据偶函数定义可得，所以为偶函数，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确； 对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确； 故选：B （2022秋·山东菏泽·高三期末） 18． 设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义利用函数的定义域和奇偶性，以及当时，是否满足条件，进行判断即可. 【详解】解：是偶函数 定义域关于原点对称 对于选项A：是偶函数，当时，，则不满足条件，A错误； 对于选项B：当时，无意义，则定义域不满足条件，B错误； 对于选项C：是偶函数，当时，，满足条件，C正确； 对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误； 故选：C 19． 已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值. 【详解】由题设，，可得：， 由，易知：关于对称. 当时，，则， 所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大， 所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得. 故选：C 【点睛】关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根据零点的个数及对称性、单调性求参数值. 20． 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出关于对称，由有唯一零点，可知，即可求. 【详解】已知，① 且，分别是上的偶函数和奇函数， 则， 得：，② ①+②得： ∴令∵有唯一零点，且是偶函数， 所以，∴ ∴或 若时，则 当时，则令解得，∴（不合题意舍去） 若时，则 ∵在上单调递减∴ ∵是偶函数∴只有唯一零点0 ∴只有唯一零点2023 综上：. 故选：D. （2022秋·湖南邵阳·高三期中） 21． 已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答. 【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则， 即有，， 设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为， 而点不在曲线上，则，整理得， 即，解得或，即符合条件的切点有3个， 所以过点向曲线可作的切线条数是3. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招3    奇偶性拓展结论 “已知定义域关于原点对称的函数，且，求的值．”如果函数是奇函数或偶函数，那么能轻松求出．但现实往往是函数非奇非偶，怎么办？我们通常采用以下步骤处理： 第一步：观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数． 第二步：根据函数，的奇偶性得到与的关系式，进而求出的值． 1 如果偶函数是无参或相对简单的，那么我们以奇函数为桥梁构建等式，根据解决问题． 2 如果奇函数是无参或相对简单的，那么我们以偶函数为桥梁构建等式，根据解决问题． 函数的奇偶性分解结论:对于一个定义域关于原点对称的函数来说，我们构建函数，，这样就使得．而对于函数来说，，得到函数是偶函数；对于函数来说，，得到函数是奇函数．这就说明任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和． 【典例1】（2023秋·贵州黔东南·高三期末） 1． 已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【题后反思】利用函数奇偶性求函数值 ，要注意分离出奇函数和偶函数的部分，利用奇函数的对称性来建立函数值之间的关系，进而求解. 【举一反三】 2． 已知，若，则等于（    ） A． B． C．0 D．1 【典例2】 3． 若函数是偶函数，则、的值是（    ） A． B．不能确定， B． ，不能确定 D． 【题后反思】利用奇偶性求参数，设，且、分别为奇函数、偶函数， 1 若为奇函数，则； 2 若为偶函数，则. 【举一反三】 4． 已知是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【典例3】（2023·安徽马鞍山·三模） 5． 函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题后反思】利用函数的奇偶性求函数的解析式，关键在于利用函数奇偶性建立方程组，求出函数的解析式，再利用函数的基本性质进行求解. 【举一反三】 6． 已知和分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【典例4】（2023·四川自贡·三模） 7． 设函数有唯一的零点，则实数m为（    ） A．2 B． C．3 D． 【温馨提示】在求函数的零点个数时，当函数的单调性比较难于分析时，利用分析其奇偶性或对称性，再结合函数的对称性得出零点的值或关系，进而建立相应的关系式求解.s 【举一反三】 8． 使有唯一的解的有（    ） A．不存在 B．1个 C．2个 D．无穷多个 9． 已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 10． 已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．2 11． 已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 12． 若为奇函数，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 13． 已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（    ） A． B． C．0 D． 14． 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 15． 已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 16． 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．1 17． 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．在上单调递减 B． 关于直线对称 D．的最小值为1 （2022秋·山东菏泽·高三期末） 18． 设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 19． 已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 20． 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D． （2022秋·湖南邵阳·高三期中） 21． 已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$