精品解析：吉林省长春市农安县2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题

农安县高中期中质量检测高—数学试题 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在䇘小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，复数乘法运算，复数相等，复数模公式运算得解. 【详解】由，得，设， 则，即， 所以，得，所以． 故选：C． 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题可知，所以， 即. 故选：A 4. 碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ） A. 37.54 B. 38.23 C. 39.53 D. 40.52 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得，则， 在中，，则， 在中，，则，又， 因此，， 所以碧津塔高约为38.23米. 故选：B 5. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 6. 圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　)． A. 81π B. 100π C. 14π D. 169π 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，． 考点：求圆台侧面积． 7. 中，角、、的对边分别为、、，并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求出的值，由已知可得出，利用投影向量的定义可求得结果. 【详解】由余弦定理可得，因为，，则， 所以，向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 8. 在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得异面直线DE与AC所成角为（或的补角），在中利用余弦定理运算求解. 【详解】取的中点，连接， 因为//，且，则为平行四边形，可得//， 又因为分别为的中点，则//， 所以//， 故异面直线DE与AC所成角为（或的补角）， 设正方体的棱长为2，则， 在中，由余弦定理， 所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是. 故选：D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 若，， ，则△ABC有两解 C. 若，则△ABC为钝角三角形 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论. 【详解】对于A：，由正弦定理得，即， 由于A、B为三角形的内角，∴或， 即或，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B：∵，，，由正弦定理得，，即， ， ， ， 若 ，B是锐角，则 ， C是钝角， 若 ，B是钝角， ，C是锐角， 故B有两角，故B正确； 对于C：若，∵， ， ， ∴，，中必有一个值为负， 即A，B，C中必有一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D：，由正弦定理得：， 即，即， ∵，∴，即，∵，∴，故D正确； 故选：BCD． 10. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积为 B. 直三棱柱外接球的表面积为 C. 若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 取得最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A选项；通过确定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半径，即可判断B选项；通过平移找到异面直线所成角，然后在三角形中利用余弦定理可判断C选项；通过三棱柱的侧面展开图可判断D选项． 【详解】选项A：因为，， 所以三棱柱的上、下底面均为正三角形， 所以，故A正确． 选项B：如图1，记和外接圆的圆心分别为和， 连接，，记的中点为，连接， 则， ， 易知为直三棱柱的外接球半径， 且， 所以直三棱柱外接球的表面积为，故B错误． 选项C：如图2，取的中点，连接， 易知，，且， 故即异面直线与所成角或其补角，连接， 则， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为，故C正确． 选项D：将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图， 如图3所示．连接，分别交，于点， 易知的最小值为． 在侧面展开图中易知点分别为的三等分点， 过点作交于点， 由勾股定理得， 因为，所以，故D正确． . 11. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质可判断B选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项；利用反证法可判断AC选项. 【详解】因为平面，平面，所以，， 因为点是以为直径的圆上且异于、的任一点，，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面，B对D对； 因为平面，平面，则，则为锐角， 即与不垂直，故与平面不垂直，C错； 若，又因为，，、平面， 所以，平面，与C选项矛盾，A错. 故选：BD. 12. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理及性质判断各选项即可. 【详解】由题意，平面，因为平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，且为圆上异于的任意一点，所以， 故A错误； 因为，，又平面， 所以平面，故B正确； 因为平面，又平面，所以，故D正确； 若，由，平面， 则平面，又平面，则，这与矛盾，故C错误. 故选：BD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 13. 若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先设出复数，结合给定条件确定的轨迹，再结合复数的模长公式将问题转化为求原点到圆上点的距离最大值问题，最后利用两点间距离公式结合圆的性质求解即可. 【详解】设，因为，所以， 即，则， 得到在以为圆心，半径为的圆上， 由复数模长公式得，其几何意义是原点到的距离， 由两点间距离公式得到原点的距离为， 则，即的最大值为. 故答案为：3 14. 在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】   如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、 不妨设 则 ∴， ∴的最小值为，当且仅当时取得. 15. 三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意该三棱锥为正三棱锥，作出球心，构建勾股定理可得半径. 【详解】 该三棱锥正三棱锥，为底面的中心， 底面，球心在直线上， 底面是边长为的等边三角形，为底面的中心， ，， ， 设外接球半径为R，在中， ，， 所以体积， 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，是边的中点，与交于点. （1）求和的长度； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【小问1详解】 是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， 【小问2详解】 ， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 17. 已知的内角所对的边分别为，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，设的面积为S，满足，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角大小； （2）由三角形面积公式得，再由正弦定理可求得． 【小问1详解】 由，得， 根据正弦定理，得． 因为， 所以， 所以． 因为，所以，所以，则． 【小问2详解】 由，得． 又由正弦定理得， 所以，解得． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面平面EFD； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）由题意知：点是的中点，且， 所以，所以四边形是平行四边形，则. 平面，平面，所以平面. 又因为分别为的中点，所以. 平面，平面， 所以平面. ，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理，在面EFD内找两条相交直线平行于平面，即可证出；（2）根据等积法，，先求出三角形DEF的面积，再求出，即可求出点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）中，，，， 所以，所以 因为平面平面， 平面平面 所以平面. 连，取的中点，连，易知， 平面且. 设点P到平面EFD的距离为d. 在Rt△中， 在Rt△中， 在Rt△中， 在Rt△中， 在△中，， 即， 解得， 所以 所以. 因为平面平面， 平面平面，平面，，所以，平面所以，的长即是点到平面的距离. 在Rt△中，， 所以，， 所以. 所以， 即， 即，解得. 所以，点到平面的距离为. 【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理的应用以及利用等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力． 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，． （1）求c； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，两角和的正弦公式及诱导公式，将转化为，即可求出答案； （2）利用正弦定理，将转化为，再根据三角形内角和得出，代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出，再由为锐角三角形得出角的范围，即可的取值范围． 【小问1详解】 解：， ，即， ， 又， ， ， ， ， ，即， ，解得． 【小问2详解】 解：由正弦定理得，， ，， ， ， ， 则 ， 为锐角三角形， ， ， ， ， 即． 20. 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点． （１）证明：平面平面； （２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】 （Ⅰ）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以， 又是正三角形的边的中点，所以 又，因此平面 而平面，所以平面平面 （Ⅱ） . 【解析】 【详解】试题分析：（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长． 试题解析：（1）略 （2）设的中点为，连结, 因为是正三角形，所以 又三棱柱是直三棱柱，所以 因此平面，于是为直线与平面所成的角， 由题设，，所以 在中，，所以 故三棱锥的体积 考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积． 21. 如图所示，在矩形中，，，沿对角线将折起，使点移到点，且点在平面上的射影恰在上. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：由题意，平面ABD，所以， 又DA⊥AB，平面，所以, 又因为，而，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可以得到，，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）作AM⊥于M，由已知条件可以证明是与平面所成的角，进而求出正弦值即可. 【详解】（1）略； （2）如图，作AM⊥于M，连接BM，由（1）平面，平面，则AM，而，所以平面，所以是与平面所成的角. 由（1），而DA⊥AB，，所以平面，则. 由勾股定理可知，，在中，由等面积法可知，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 农安县高中期中质量检测高—数学试题 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在䇘小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ） A. 37.54 B. 38.23 C. 39.53 D. 40.52 5. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　)． A. 81π B. 100π C. 14π D. 169π 7. 中，角、、的对边分别为、、，并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 若，， ，则△ABC有两解 C. 若，则△ABC为钝角三角形 D. 若，则 10. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积为 B. 直三棱柱外接球的表面积为 C. 若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 取得最小值时， 11. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面平面 12. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 13. 若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为_______． 14. 在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 15. 三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，是边的中点，与交于点. （1）求和的长度； （2）求. 17. 已知的内角所对的边分别为，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，设的面积为S，满足，求b的值． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面平面EFD； （2）求点到平面的距离. 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，． （1）求c； （2）求的取值范围． 20. 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点． （１）证明：平面平面； （２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 21. 如图所示，在矩形中，，，沿对角线将折起，使点移到点，且点在平面上的射影恰在上. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $