专题2 乘法公式的应用（6大基本题型） 期末专项训练 -2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题2】乘法公式的应用（6大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 平方差公式 （1）公式： （2）应用场景：因式分解、化简代数式、解方程、几何面积计算 （3）关键点：识别“两数和与两数差”的结构，注意符号变化，如 2. 完全平方公式 （1）公式： （2）应用场景：代数式展开、配方求值、几何问题（如正方形对角线计算） （2）关键点：交叉项的符号由原式决定，变形时注意整体代换，如 3. 【★重难点】知二求二：完全平方公式的变形 若已知中任意两个式子的值，则可求余下两个式子的值，主要运用以下完全平方公式的变形公式： （1） （2） （3） （4） 【技巧总结】 1. 整体代换法：将复杂表达式看作整体，如，则 2. 配方法：通过添加常数项构造完全平方式，如 3. 逆向思维：逆用公式简化计算，如已知，求 【易错点】 1. 符号混淆： （1）平方差公式中注意“相同项”和“相反项”，如 （2）完全平方交叉项符号由原式决定，如中交叉项为负 2. 公式变形错误：避免将误写成，漏掉交叉项 3. 几何应用误区：几何图形中边长变化后的面积计算需结合公式展开，而非直接加减 【例1】直接公式应用 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算正确，符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】若，，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行计算、有理数的大小比较，先利用完全平方公式和平方差公式求出、的值，比较即可得解． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 【变式2】若是一个完全平方，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式、根据平方项确定出这两个数是解题的关键．本题先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的结构特征即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式3】将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例2】运用公式简便计算 【典例】先化简，再求值：，其中． 【答案】，16 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式化简计算，再进行加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式         当时，     ． 【变式1】利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键； （1）将变形为，再根据完全平方公式计算即可； （2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】先化简，再求值：， 其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式和积的乘方计算，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式  ……………………第一步；   ……………………第二步；   ……………………第三步． (1)小刚的解答过程是从第______步开始出错的； (2)请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 【答案】(1)二 (2)见解析， 【分析】本题考查了整式的化简求值，乘法公式，单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，即可作答； （2）先根据完全平方公式，单项式乘多项式，平方差公式展开，再去括号、合并同类项，最后代入计算求值即可． 【详解】（1）解：由解题过程可知，小刚的解答过程是从第二步开始出错的， 故答案为：二 （2）解： ， 当时，原式 【例3】逆用公式化简求值 【典例】已知， (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用完全平平方公式变形计算即可； （2）利用完全平平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：， 把代入上式得： ； （2） 把代入上式得： ， ． 【变式1】若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式的逆运用，利用作差法，将计算的结果进行逆运用乘法公式，即可解答，熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式2】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，将式子进行适当的变形是解题的关键．由得，而，代入即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为______； (2)如果，则；如果，则；如果，则． 已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、代数式求值、整式的加减、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键； （1）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，从而可以判断得解； （2）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，进而可以判断得解； （3）依据题意，由，从而，则，可得，，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，． 又∵对于任意实数满足， ． 的最小值为． 故答案为：； （2）解：由题意得， ． ∵对于任意实数满足， ． ． （3）解：∵， ∴， ∴． ∴，， ∴，， ； 【例4】乘法公式的几何应用 【典例】小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 【变式1】有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 【变式2】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①3；②；③2 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【变式3】如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)20 (3)7 (4)17 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）由可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； 故答案为：20； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即． ∴图中阴影部分的面积为17． 【例5】新定义问题 【典例】已知为实数，若有整数，，满足，则称是，的弦数．若且为整数，请写出一组，使得是，的弦数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平方差公式和新定义，正确理解题中的新定义是解本题的关键． 根据题中提供的弦数的定义求解即可． 【详解】解：， 是的弦数， 故答案为：（答案不唯一，如或者亦可）． 【变式1】新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算及乘法公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：． ， ∴， ∴， ． 【变式2】材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)①②20 (3)1 【分析】本题考查新定义，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，将13写成两个数的平方的和的形式即可； （2）①将等式转化为两个完全平方式的和为0的形式，利用非负性，进行求解即可； ②根据新定义，将转化为两个完全平方式的和的形式，进行求解即可； （3）将转化为完全平方式和数的和的形式，根据非负性求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 【变式3】如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 【答案】(1)36（答案不唯一） (2)奇数倍，理由见解析 (3)①10②11③见解析 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据幸福数的定义，进行作答即可； （2）根据幸福数的定义，结合平方差公式进行判断即可； （3）①将转化为，根据幸福数的定义，即可求出；②根据， a、b为正整数，且，得到当时，的值最小，进行求解即可；③根据是“幸福数”，得到为4的奇数倍，将转化为，得到为4的奇数倍，即可得证． 【详解】（1）解：； 故再写出一个“幸福数”可以是； （2）“幸福数”是4的奇数倍，理由如下： ∵， ∵为奇数， ∴“幸福数”是4的奇数倍； （3）① ； ∵是“幸福数”， ∴； ②∵，a、b为正整数，且， ∴当时，的值最小为，此时最小，； ③∵， ∴， ∴， ∵为幸福数， ∴为4的奇数倍， ∴ ； ∵为4的奇数倍，为4的偶数倍， ∴也为4的奇数倍， 故为幸福数． 【例6】规律探究问题 【典例】观察下列等式： 第1个算式： 第2个算式： 第3个算式： 第个算式： 请结合上述三个算式的规律，回答下列问题： (1)写出第5个算式：________； (2)根据你发现的规律，写出第（为正整数）个算式：________________； (3)我们可以用所学知识证明这个结论．请对（2）中的算式进行代数推理． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了整式的混合运算和整式规律探究，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中算式找出规律，再求解； （2）根据题中算式找出规律，再写出一般表达式； （3）先计算出左边，再与等式右边比较即可证明． 【详解】（1）解： 第5个算式为：， 故答案为：； （2）解： 第（为正整数）个算式：， 故答案为：； （3）证明：， ， 结论正确． 【变式1】观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式：________________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字规律探究、列代数式，整式的运算； （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 第5个等式是； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式：， 证明：∵左边 右边． 【变式2】【观察猜想】（1）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，直接写出第个等式为_________；猜想：第个等式为________ 【论证猜想】（2）请你证明猜想的第个等式的正确性． 【拓展运用】（3）若连续两个自然数的平方和等于另外两个连续自然数的平方差，这四个自然数中，最大的是，则最小的自然数为多少？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【分析】本题考查了数字类规律变化，根据已知等式得出变化规律是解答本题的关键． （1）根据前个等式的规律写出第个等式和第个等式即可； （2）根据前个等式可得规律：两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大的数的平方，即可得出第个等式，然后证明等式的左边右边即可； （3）由得， ，化简解出的值即可得解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，； （2）左边， ， 右边， 左边右边， 原等式成立； （3）由得， ， ，解得，（舍去）， 最小的自然数为． 【变式3】（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得． 若，则该大正方形的边长为___________； （2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积； （3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． 若已知，则___________． （4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 下列说法：正确的有 ①展开式各项系数之和为64； ②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项； ③； ④若，则； ⑤能被28整除． 【答案】（1）8；（2）45；（3）95；（4）①②③⑤ 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形的应用，多项式乘多项式的规律应用，注意数形结合． （1）由，把整体代入即可求解； （2）根据阴影部分面积等于两个正方形面积和分别减去的面积即可，再由已知求出，整体代入即可． （3）由，再整体代入即可求解； （4）根据（为正整数）的展开式的系数规律，逐个判断即可． 【详解】解：（1）， 由于，则； 故答案为：8． （2）∵，点为的中点， ∴； 阴暗部分面积 ； ∵， ∴， 即； 阴暗部分面积； 答：图中阴暗部分面积为45； （3）∵ 又， 即， ∴； 故答案为：95； （4）的各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 其和为； 故①正确； 展开式各项中，各系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，系数最大的项是第四项和第五项； 故②正确； ； 故③正确； ， 上式中取，得；取，得 则； 故④错误； ∵， 而， ∴ 即 ∴能被28整除； 故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题2】乘法公式的应用（6大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 平方差公式 （1）公式： （2）应用场景：因式分解、化简代数式、解方程、几何面积计算 （3）关键点：识别“两数和与两数差”的结构，注意符号变化，如 2. 完全平方公式 （1）公式： （2）应用场景：代数式展开、配方求值、几何问题（如正方形对角线计算） （2）关键点：交叉项的符号由原式决定，变形时注意整体代换，如 3. 【★重难点】知二求二：完全平方公式的变形 若已知中任意两个式子的值，则可求余下两个式子的值，主要运用以下完全平方公式的变形公式： （1） （2） （3） （4） 【技巧总结】 1. 整体代换法：将复杂表达式看作整体，如，则 2. 配方法：通过添加常数项构造完全平方式，如 3. 逆向思维：逆用公式简化计算，如已知，求 【易错点】 1. 符号混淆： （1）平方差公式中注意“相同项”和“相反项”，如 （2）完全平方交叉项符号由原式决定，如中交叉项为负 2. 公式变形错误：避免将误写成，漏掉交叉项 3. 几何应用误区：几何图形中边长变化后的面积计算需结合公式展开，而非直接加减 【例1】直接公式应用 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则 (填“”“”或“”)． 【变式2】若是一个完全平方，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【例2】运用公式简便计算 【典例】先化简，再求值：，其中． 【变式1】利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 【变式2】先化简，再求值：， 其中． 【变式3】小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式  ……………………第一步；   ……………………第二步；   ……………………第三步． (1)小刚的解答过程是从第______步开始出错的； (2)请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 【例3】逆用公式化简求值 【典例】已知， (1)求的值 (2)求的值 【变式1】若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，则的值为 ． 【变式3】把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为______； (2)如果，则；如果，则；如果，则． 已知，，请比较A与B的大小，并说明理由； (3)已知，求的值． 【例4】乘法公式的几何应用 【典例】小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【变式1】有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 【变式2】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【变式3】如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【例5】新定义问题 【典例】已知为实数，若有整数，，满足，则称是，的弦数．若且为整数，请写出一组，使得是，的弦数： ． 【变式1】新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【变式2】材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 【变式3】如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 【例6】规律探究问题 【典例】观察下列等式： 第1个算式： 第2个算式： 第3个算式： 第个算式： 请结合上述三个算式的规律，回答下列问题： (1)写出第5个算式：________； (2)根据你发现的规律，写出第（为正整数）个算式：________________； (3)我们可以用所学知识证明这个结论．请对（2）中的算式进行代数推理． 【变式1】观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式：________________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【变式2】【观察猜想】（1）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，直接写出第个等式为_________；猜想：第个等式为________ 【论证猜想】（2）请你证明猜想的第个等式的正确性． 【拓展运用】（3）若连续两个自然数的平方和等于另外两个连续自然数的平方差，这四个自然数中，最大的是，则最小的自然数为多少？ 【变式3】（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得． 若，则该大正方形的边长为___________； （2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积； （3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． 若已知，则___________． （4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 下列说法：正确的有 ①展开式各项系数之和为64； ②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项； ③； ④若，则； ⑤能被28整除． 学科网（北京）股份有限公司 $$