精品解析：天津市南开实验学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷

2024—2025学年度第二学期第二次阶段性练习 八年级数学学科试卷A卷 一、选择题（共12小题） 1. 计算的结果是（　　） A. 8 B. 16 C. 4 D. ±4 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为三角形三边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3， 4. 下命题中，是真命题的是（ ） A. 有两边相等平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 5. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线和直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A B. C. D. 9. 如图，菱形的顶点，在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形的面积（ ） A. 16 B. C. 12 D. 10. 如图，在中，，，作的垂直平分线，且直线交于点，交于点，连接，则．的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 12. 如图，正方形的边长是，点E是对角线上一动点（不与点、重合），于点，于点，连接，则下列结论： 四边形是矩形； 四边形的周长是； ； 的最小值是． 其中，正确结论个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共6小题） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 14. 将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为______． 15. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 16. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是______． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为________； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为________． 三、解答题（共6小题） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 22. 一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小红步行从甲地到乙地，每分钟走100米，小龙骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地．设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段，折线分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象． （1）小龙骑车的速度为__________米/分钟； （2）B点的坐标为__________； （3）小龙从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为__________；（写出t的取值范围） （4）小红和小龙二人__________先到达乙地，先到__________分钟． 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 24. 如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第二次阶段性练习 八年级数学学科试卷A卷 一、选择题（共12小题） 1. 计算的结果是（　　） A. 8 B. 16 C. 4 D. ±4 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根概念即可求出结果． 【详解】解：∵=4， 故选C． 【点睛】本题主要考查了算术平方根概念的运用，比较简单． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 3. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3， 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B．∵，∴可以构成直角三角形，故该选项符合题意； C．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，∴不能构成直角三角形，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下命题中，是真命题的是（ ） A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形等的判定方法分别判断后即可确定正确选项． 【详解】解：A、有两邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意； C、四个角相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意； D、两条对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形等的判定方法． 5. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点间距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选：B． 6. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，直线和直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出直线y＝kx（k≠0）在直线y＝mx＋n（m≠0）上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，不等式kx≥mx＋n的解集为x≥2； 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9. 如图，菱形的顶点，在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形的面积（ ） A. 16 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点坐标，求得，由菱形性质得，根据勾股定理求得，根据面积公式求菱形面积． 【详解】如图，， 中， ∵菱形面积= 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，运用勾股定理求线段长是解题的关键． 10. 如图，在中，，，作的垂直平分线，且直线交于点，交于点，连接，则．的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，进而即可得解． 【详解】解：由题意可知：为的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． 11. 如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，， 是的垂直平分线， , ，， ， D，E分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 12. 如图，正方形的边长是，点E是对角线上一动点（不与点、重合），于点，于点，连接，则下列结论： 四边形是矩形； 四边形的周长是； ； 的最小值是． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形、等腰直角三角形的性质，矩形的判定、三角形面积，关解决本题的关键是利用正方形的性质判定四边形的形状和周长，再根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质和矩形的对角线相等的性质求出的最小值． 【详解】解：四边形是正方形， ， 于点，于点， ， 四边形是矩形， 故正确； 由知 ，四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， 四边形的周长是， 故正确； 设，则，， ， ， ， ， 故错误； 如下图所示，连接， 由可知四边形是矩形， ， 当时，最短， 最短是， 最小值是， 故正确， 正确结论的个数是个． 故选：C． 二、填空题（共6小题） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 且， 故答案为：且． 14. 将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为； 故答案为：． 15. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 16. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是______． 【答案】AB=CD 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形，然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是：AB=CD， 理由：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴EF∥AB，HG∥AB， ∴EF∥HG； 同理，HE∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AB=CD， ∴GH=GF， 所以平行四边形EFGH是菱形． 故答案为AB=CD． 【点睛】考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键. 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为________； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造全等三角形解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接，，，交于点．则，点即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，点即为所求． 方法：取格点，连接，，，交于点． 则，点即为所求 ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 当点与点重合时，的值最小． 故答案为： 三、解答题（共6小题） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形，得到，由即可求解． 【详解】解：，， ，， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ∴． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）如图，连接，根据（1）结论可知，根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）如图，连接， 四边形AECF是矩形， ， ∵四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，掌握图形的基本性质是解题的关键． 22. 一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小红步行从甲地到乙地，每分钟走100米，小龙骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地．设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段，折线分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象． （1）小龙骑车的速度为__________米/分钟； （2）B点的坐标为__________； （3）小龙从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为__________；（写出t的取值范围） （4）小红和小龙二人__________先到达乙地，先到__________分钟． 【答案】(1)200米/分钟；(2)(14,2400)；(3) s=200t(0＜t≤12)；(4)小红，2分钟 【解析】 【分析】(1)由于小龙中间休息了2分钟，对应的是图中AB段，故折线OABD对应的是小龙的函数关系图像，EF是小红对应的函数图像，由OA段即可求出小龙骑车速度； (2)由A点横坐标加2即得B点横坐标，进而求出B点坐标； (3)即求图中OA段正比例函数所对应的解析式即可； (4)谁用的时间短就表示谁先达到乙地，由图即可求解. 【详解】解：(1)由图可知：折线OAED表示小龙的运动图形，EF表示小红的运动图形， 故小龙骑车的速度为：2400÷12=200米/分钟； 故答案为：200米/分钟； (2)由图可知：A点坐标为(12,2400), ∵小龙到达甲地后休息了2分钟， ∴B点坐标为(14,2400)； 故答案为：(14,2400); (3)小龙从乙地到甲地，对应的是图中线段OA， 故设OA所在直线的解析式为：s=kt 代入A(12,2400),即：2400=12k 解得k=200， 故s与t之间的函数表达式为：s=200t(0＜t≤12) 故答案为：s=200t(0＜t≤12). (4)小红在图中F点到达乙地，小龙在图中D点到达乙地， 故小红用时间更短， ∴小红先到达乙地 小红的速度为每分钟100米，路程为2400米 ∴小红到达乙地所用的时间为：2400÷100=24分钟； 小龙去时和回时的速度相同，均为200米/分钟，且路程相同， ∴回来所有的时间和去时所用时间相同，为12分钟， 加上中途休息的2分钟，故小龙一共用时：12+2+12=26分钟； 26-24=2， ∴小红比小龙先到2分钟. 故答案为：小红先到乙地，先到2分钟. 【点睛】本题考查一次函数的应用，学会使用待定系数法求直线或折线的表达式，明确题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键. 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 24. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可； （3）分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 点D为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：矩形中点B的坐标为， ，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，点D为对角线的中点， ， 中边上的高为3， ， ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知， ． 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设， 分三种情况： 当为对角线时，， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得，（舍）， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， ，， ，， ，， ； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $