精品解析：上海市光明中学2024-2025学年高三下学期二模数学试题

光明中学2024-2025学年第二学期高三年级数学二模 2025.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若集合，则实数______. 【答案】2 【解析】 【详解】集合，. 故答案为：. 2. 若，则的值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】直接运用诱导公式即可． 【详解】 【点睛】本题考查了诱导公式运用．本题的关键是根据“奇变偶不变，符号看象限”来熟练的使用诱导公式． 3. 当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 4. 已知数列为等比数列，，，则______. 【答案】255 【解析】 【分析】根据题意结合通项公式求，进而结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 所以. 故答案为：255. 5. 随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】0.35## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意可知，则， 故图中阴影部分的面积为． 故答案为：0.35. 6. 在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】由已知可得，因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 7. 已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出即可得解. 【详解】令椭圆长半轴长为，半焦距为，依题意，， 即，解得，则椭圆短半轴长， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 8. 由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】两边求导可判断①；设可判断②；举反例可判断③；设可判断④. 【详解】对①，若为奇函数，则， 两边求导得，即，所以为偶函数，①正确； 对②，不妨设，因为，所以为非奇非偶函数， 但为偶函数，②正确； 对③，不妨设，易知为减函数，但不是增函数，③错误； 对④，设，则单调递增，但在定义域上不单调，④正确. 故答案为：①②④ 9. 已知首项为的数列的前项和为，定义在上恒不为零的函数，对任意的，都有．若点在函数的图象上，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，求出等比数列的前项和，结合恒成立问题可得的取值范围. 【详解】∵对任意，都有， ∴令，得，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴. ∵不等式对恒成立， ∴，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 10. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 11. 如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当___________时，栈道EG最短. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 详解】由题意，， 设，则. 在中，得， 则. 由于，解得. 令，，则. 令，则， 当时，严格递增； 当时，严格递减； 所以，有最大值，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是要弄清楚图形的关系，运用平面几何知识表示出四边形的面积，再利用换元法特别注意换元后的范围，转化为用导数法求函数的最值问题，进而可以求解. 12. 如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米.（精确到0.1立方米） 【答案】37 【解析】 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）. 故答案为：3.7. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）. 13. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】 由平均变化率和瞬时变化率概念即可判断. 【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 14. 已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解. 【详解】正方体中，平面， 则平面与平面的唯一交线与平行. 取BC中点，连接， 则四边形即为经过三点的正方体的截面， 梯形中，， 则梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故选：A. 15. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 16. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（ ） A. 4052 B. 4051 C. 4050 D. 4049 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由递推关系结合等差数列通项公式与累加法可得数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，然后结合的定义，即可得到结果． 【详解】由，得， 所以数列为公差为2的等差数列，首项为， ， 则 ， ， 又，当时，，故， 所以数列的前2025项之和为. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）． 17. 如图所示圆锥中，为底面的直径．分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为． （1）求圆锥的侧面积； （2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】 【小问1详解】 设圆锥底面半径为，母线长为, 因为为直径，是的中位线， 所以， ， 所以侧面积. 【小问2详解】 因为在平面且不共线，在平面外 所以与是异面直线， 连接，由分别为的中点，得， 所以：为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，， 取中点为，连接, ，，， 在中，， 所以异面直线与所成角的大小为. 18. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【小问1详解】 由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 【答案】（1）有关 （2）①，不独立，理由见解析；②977 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）①求出，，，再由条件概率公式求出，由相互独立事件的定义即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数. 【小问1详解】 提出假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． 【小问2详解】 ①因为事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”， 所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”， 所以，，， 所以， 因为，所以事件、不独立． ②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数． 因为，所以． 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 20. 设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； （3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程求解即可； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）设直线，，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 将代入椭圆方程得可得：， 所以椭圆方程：； 【小问2详解】 因为，，所以只需找到的最大值即可， 设，而，则， 由可得，代入消去可得： ， 因为，所以当时，， 从而； 【小问3详解】 设直线，， 与椭圆联立方程：， ∴， ∴； 直线与抛物线联立方程：， ∴， ∵是焦点弦， ∴， ∴ 若为常数，则，∴，常数为. 所以存在实数，使为常数. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于处理弦长问题时，常利用韦达定理代入弦长公式求解；在处理抛物线中的焦点弦问题时，常利用焦点弦公式求解. 21. 已知，函数． （1）若，求的单调区间； （2）是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 【答案】（1）单调增区间：；单调减区间： （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数求出函数的单调性即可； （2）对函数进行求导，由有最大值，知且在上单调递增，在上单调递减，从而可得．再利用导数求出的最大值，从而可求出a的值； （3）利用导数可证得，当时，，当时，，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标，从而得证. 【小问1详解】 ，则函数， ，令，则 ； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 所以函数的单调增区间：；单调减区间：； 【小问2详解】 函数，则， 由（1）可知，的单调性为：在上单调递减，在上单调递增. 要使有最大值，则， 所以． ，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以．所以，则． 令，， 此函数在上单调递减，且，所以． 【小问3详解】 证明：由的单调性，可知． 又当时，知，从而． ． 设，，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即当时，， 所以当时，， 当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由（*）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 如果，那么由（**）知， 从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的单调性，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明中学2024-2025学年第二学期高三年级数学二模 2025.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 若集合，则实数______. 2. 若，则的值是_________ 3. 当时，的最小值为________． 4. 已知数列为等比数列，，，则______. 5. 随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为__________． 6. 在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________. 7. 已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为______． 8. 由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 9. 已知首项为的数列的前项和为，定义在上恒不为零的函数，对任意的，都有．若点在函数的图象上，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______． 10. 如图，一个质点在外力作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 11. 如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当___________时，栈道EG最短. 12. 如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米.（精确到0.1立方米） 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）. 13. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 14. 已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 15. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 16. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（ ） A. 4052 B. 4051 C. 4050 D. 4049 三、解答题（本大题共5题，满分78分）． 17. 如图所示圆锥中，为底面的直径．分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为． （1）求圆锥的侧面积； （2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小 18. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? （2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 20. 设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； （3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知，函数． （1）若，求的单调区间； （2）是否存在实数a，使得与有相同最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $