上海市四校（复兴高级中学、松江二中、奉贤中学、金山中学）2024届高三下学期3月联考数学试卷

上海市2024届高三年级第二学期联考数学试卷 （复兴高级中学，松江二中，奉贤中学，金山中学）2024.03.14 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题(本大题共有12题，满分54分)只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1.已知复数满足（为虚数单位），则 ． 2.若，则 ． 3.若函数为偶函数，则 ． 4.中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等.学校图书馆计划将这四本书借给名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有________种(用数字作答). 5.已知数列的前项和，则 . 6.对于独立事件，若，，则 . 7.在的二项展开式中，的系数为 　　． 8.已知向量满足，，，则 ． 9.已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为，则 ． 10.已知的对应值如下表所示： 0 2 4 6 8 1 13 若与线性相关，且回归直线方程为，则 ． 11.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 ． 12.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则________.   二、选择题(本大题共有4题，满分18分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，13-14选对得 4分，15-16选对得 5分，否则一律得零分. 13.已知集合，，则（ ）A． B． C． D． 14.已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 15.以下四个命题：①函数最小值为；②方程没有整数解；③若，则；④不等式的解集为.其中真命题的个数为（  ） A． B． C． D． 16.已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（  ） ①农历每月第（，且为正整数）天和第天的月相外边缘形状相同； ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为； ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值； ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，是圆周上两点，且，． （1）若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； （2）设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足， 求直线与平面所成角的正切值． 18.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布和数学期望； （2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 19.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上（不与重合），并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元． （1）试将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）问当的长为多少时，能使总造价最小． 20.(本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. （1）求点的轨迹的方程； （2）求的外心的纵坐标的取值范围； （3）设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. (本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，