精品解析：2024年江苏省无锡市新吴区中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列各对数是互为倒数是（ ） A. 4和－4 B. －3和 C. －2和 D. 0和0 【答案】C 【解析】 【详解】A、4×（－4）≠1，选项错误，不符合题意； B、－3×≠1，选项错误，不符合题意； C、－2×（－）=1，选项正确，符合题意； D、0×0≠1，选项错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用． 2. 用3D打印技术打印出的高精密游标卡尺，其误差只有±0.000 063米，将0.000 063用科学记数法表示为( ) A. 6.3×105 B. 6.3×10－6 C. 6.3×10－5 D. 0.63×105 【答案】C 【解析】 【详解】0.000 063=6.3×10-5. 故选C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用算术平方根，合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中，故不符合要求； C中，故符合要求； D中，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根，合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式．熟练掌握算术平方根，合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式是解题的关键． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，轴对称图形根据对称轴将两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．偶数边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 、平行四边形不一定是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意． 、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的中位数是 B. “明天下雨”是不可能事件 C. 为了解某型号车用电池的使用寿命，采用全面调查的方式 D. 某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，随机事件，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义，根据中位数的定义，随机事件的分类，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义依次判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、把数据按照从小到大的顺序排列为， ∴中位数为，故该选项说法正确，符合题意； 、“明天下雨”是不确定事件，故该选项说法错误，不合题意； 、为了解某型号车用电池的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项说法错误，不合题意； 、某种彩票的中奖机会是，买张这种彩票不一定会中奖，故该选项说法错误，不合题意； 故选：． 6. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8. 如图，是的直径，是的弦，，，若弦，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题要考虑两种不同的情况，综合运用圆周角定理的推论和解直角三角形相关计算的知识是解题的关键． 此题分为两种情况：当和在圆的同侧或当和在圆的两侧．设点、，连接、、、、、、，根据直径所对的圆周角是直角，得，运用直角三角形中所对的直角边为斜边的一半，得，故，故． 【详解】解：点的位置有两种情况，如图所示，设点、，连接、、、、、、, ∵是的直径， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 即当和在圆的同侧或当和在圆的两侧时，均有， 故选． 9. 如图，点，在反比例函数的图象上，连结，，以，为边作，若点恰好落在反比例函数的图象上，此时的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴，设点A（a，），点C（m，）（a＜0，m＞0），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得点B[（a+m），（+）]，把点B坐标代入解析式可求a=-2m，由面积和差关系可求解． 【详解】解：如图，连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴， 设点A（a，），点C（m，）（a＜0，m＞0）， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴AC与BO互相平分， ∴点E（）， ∵点O坐标（0，0）， ∴点B[（a+m），（+）]. ∵点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上， ∴， ∴a=-2m，a=m（不合题意舍去）， ∴点A（-2m，）， ∴四边形ACFG是矩形， ∴S△AOC=（+）（m+2m）--1=， ∴▱OABC的面积=2×S△AOC=3. 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解决问题的关键是数形结合思想的运用． 10. 在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，三角形三边性质，相似三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，利用平行四边形的性质可得，，再结合折叠的性质可证，得到，进而得，由此可得，得到，推导出四边形为平行四边形，得到，，即可得，又由得，根据三角形三边性质得，，又证明，得，即得，当点在的延长线时，，得，即可得到，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， 由折叠得，，，，，， ∴，，，，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 当点在的延长线时，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 12. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 一个圆锥的主视图是底边为的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了三视图． 根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长、弧长公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的直径为，半径为， ∵圆锥的主视图是两个腰相等，顶角为直角，两个底角为的等腰直角三角形， ∴圆锥的母线长=，底面圆的周长为， ∵圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， ∴这个圆锥的侧面积为， 故答案为． 14. 写一个二次根式，使它与是同类二次根式，这个二次根式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，据此解答． 【详解】， ∴与是同类二次根式，这个二次根式可以是， 故答案为：． 15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十：粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．原来有米______斗． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系列出方程组． 设原来有米x斗，再向桶加谷子y斗，由题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：原来有米x斗，向桶中加谷子y斗， 谷子出米率为， 则可列方程组为， 解得， ∴原来有米2.5斗， 故答案为2.5 16. 如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的直角，勾股定理，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，利用解直角三角形求出点的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，则四边形为矩形， ∴，，， ∵二次函数， ∴， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式得，， 解得或， ∴点坐标为， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，点到轴的距离是3，，是锐角且，则的面积为______． 【答案】或4 【解析】 【分析】由题意知，分在轴左侧，在轴右侧两种情况求解；①当在轴左侧时，如图1，过作轴，且，过作于，过作于，过作于，设，则，由勾股定理得，，则，证明，则，，由，可得，可求，由勾股定理得，，则，可求，则，由勾股定理得，，由，可求，根据，计算求解即可；②当在轴右侧时，如图2，求解过程同①． 【详解】解：由题意知，分在轴左侧，在轴右侧两种情况求解； ①当在轴左侧时，如图1，过作轴，且，过作于，过作于，过作于， 图1 设， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴； ②当在轴右侧时，如图2， 图2 同理①，设，则，，， ， ∴，， ∵，即， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的面积为或4， 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了正弦，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正弦，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键． 18. 如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，交AC于点O．可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，根据等积法可求出的长，即得出B和的坐标．根据勾股定理可求出A和C的坐标，从而可求出经过A、B的直线解析式和经过、C的直线解析式．故可设P(，)，Q(，)，根据两点的距离公式求出，，根据BP=，即得出m，n的关系．还可求出，结合二次函数的性质求出的最小值即得出PQ的最小值． 详解】连接，交AC于点O． 由翻折可知，． 故可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图． ∵在中，AB=12，BC=5， ∴． ∵， ∴． ∴B(0，)，(0，)． ∵在中，AB=12，， ∴， ∴， ∴A (，0)，C(，0)． 设经过A、B的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过A、B的直线解析式为． 设经过、C的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过、C的直线解析式为． 故可设P(，)，Q(，)， 则，， ∵， ∴， 整理，得：． 根据所作坐标系可知，． ∴． ∵， 将代入，并整理得：， 其对称轴为，且开口向上， 又∵， ∴当时，最小，最小值为， ∴此时最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，坐标与图形，两点的距离公式以及二次函数的性质．把几何问题改为二次函数求最值的问题是解题关键．本题数据处理较大，较难． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）按照负指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊角的三角函数值分别计算，即可得到答案． （2）先对分式进行平方差公式因式分解，然后进行通分，最后提公因式即可化简减法运算，再计算分式除法即可． 【详解】（1）原式： ． （2）原式 ． 20. （）解方程：； （）解不等式组： 【答案】（），；（）不等式组无解． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）按照解一元一次不等式组的步骤解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； （）， 由得，， 由得，， ∴不等式组无解． 21. 中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点． （1）求证：； （2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握中位线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由分别为的中点，为的中点，可得，，则，进而可证； （2）由（1）知，，，则，进而可得． 【小问1详解】 证明：∵分别为的中点，为的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下； 由（1）知，，， ∴，即． 22. 为弘扬中华传统文化，某中学准备开展学习“传统手工技艺”社团活动．共有4个社团供学生选择：“—剪纸”、“—木版画雕刻”、“—陶艺创作”、“—皮影制作”， （1）若将这4个社团随机分成4批，则选项被分在第一批的概率为：______； （2）若将这4个社团随机分成两批进行展示，每批2个社团的学生参加．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） ①求选项被分在第一批的概率； ②求两个选项被分在第一批的概率． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率以及用画树状图或列表法求概率． （1）根据概率的意义直接计算概率即可． （2）画出树状图，①根据树状图分析出共有多少种等可能情况，其中A选项被分在第一批的情况有几种并列举出来，最后根据概率公式计算概率即可． ②根据树状图分析出共有多少种等可能情况，A，B两个选项被分在第一批的概率有几种情况并列举出来，最后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：将这4个社团随机分成4批， 则选项被分在第一批的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： ①一共有12种等可能情况，其中A选项被分在第一批的情况有6种即，，，，，， ∴A选项被分在第一批的概率为； ②一共有12种等可能情况，其中A，B两个选项被分在第一批的情况有2种即，， ∴A，B两个选项被分在第一批的概率为． 23. 某校为增强学生身体素质，开展了为期一个月的跳绳系列活动．为了解本次系列活动的效果，校体育组在活动之前随机抽取部分九年级学生进行了一分钟跳绳测试，根据一定的标准将测得的跳绳次数分成A、B、C、D、E 五个等级，五个等级的赋分依次为10分、9分、8分、7分、6分，将测试结果整理后，绘制了统计图1． 跳绳系列活动结束后，体育组再次对这部分学生进行跳绳测试，以相同标准进行分级和赋分，整理后绘制了统计图2． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求被抽取的九年级学生人数，并补全统计图2． （2）若全校 600 名九年级学生全部参加了跳绳活动及一分钟跳绳测试，测试分级和赋分标准不变．请通过计算，估计这 600名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过9分（含9分）有多少人? （3）选择一个适当的统计量，通过计算分析，对该校跳绳系列活动的效果进行合理评价． 【答案】（1）被抽取的九年级学生人数是60人，补全统计图见解析 （2）赋分超过9分（含9分）约有人； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，用样本估计总体，平均数，选择合适的统计量决策． （1）先根据活动前九年级学生跳绳测试情况统计图得出总人数，再用总人数减去活动结束后其他等级的人数，可得出D等级人数，从而补全图形； （2）用样本估计总体求解即可； （3）可从平均数的角度分析求解（答案不唯一，合理即可）． 【小问1详解】 解：被抽取的九年级学生人数是（人）． 【小问2详解】 解：（人）． 答：赋分超过9分（含9分）约有人； 【小问3详解】 解：用平均数分析， 活动前的赋分平均数为（分）， 活动后的赋分平均数为（分）， 活动后的赋分平均数比活动前高， 该校跳绳系列活动的效果良好． 24. 中，，， （1）请在图（）中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（）的条件下，若，取的中点，连接交于点，则______． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）作的角平分线，交于点，因为，，所以，可得，进而可得，得到，又由直角三角形的性质可得，即可得到，故点即为所求； （）先证明为等边三角形，得到，再根据等边三角形的性质可得，，利用勾股定理得到，即得，再根据即可求解； 本题考查了角平分线的画法和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 小问2详解】 解：如图， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 25. 如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）． （1）求从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）从点到点的过程中上升的高度为米 （2）大树的高度为米 【解析】 【分析】（1）过点作，如图所示，由坡度比，设，，根据勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）过点作，如图所示，在和中，由三角函数定义列方程求得相关线段关系，再由数形结合，根据代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： 斜坡的坡比为（点在同一水平线上）， ， 设，， 从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点， ， 在中，，解得， 从点到点的过程中上升的高度为米； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： 四边形是矩形，则， 在中，，，则，解得； 在中，，，则，解得； 由（1）知，，，则，， ， ，即，解得， 大树的高度为米． 【点睛】本题考查测高问题，涉及坡比定义、勾股定理、矩形判定与性质、正切函数值定义、俯角仰角定义、解直角三角形及二次根式运算等知识，熟记相关定义，数形结合，掌握解直角三角形的实际运用是解决问题的关键． 26. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，， ，则，由勾股定理求得，再证明 ，得，则，且，于是得，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 27. 正方形中，点在边上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等线段是______； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）先由正方形的性质得出，，再结合已知条件，根据“”证明，从而得出． （2）分“点在边上”和“点在边上”两种情况讨论：①当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，先证明，从而得出，以此可得，则为等腰直角三角形，从而得到；②当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，同理可得，，则，，． （3）①当点在边上时，分和两种情况，而当时，此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾，则，，则，由得到相关线段之间的比例关系即可求解；②同①方法即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当点在边上时，如图1，过点作，垂足为，延长交于点， 则， 四边形是矩形， ， ，， ，为等腰直角三 角形，， ， 在和， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ． ②当点在边上时，如图2，过点作，垂足为，延长交延长线于点， 则四边形是矩形， 同理可得， ， 为等腰直角三角形，， ． 综上，的度数为或． 【小问3详解】 解：①当点在边上时，如图1， Ⅰ．当时， 由（2）①知，为等腰直角三角形，， 设，则， ， 易知，， ， ， ，， ； Ⅱ．当时， 则， 此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾． ②当点在边上时，如图2， Ⅰ．当时， 则， 此时， 又， 此时点与点重合，与题意矛盾； Ⅱ．当时， 设，则， ， ， ， ． 综上，． 【点睛】本题考查相似型的综合应用，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理，熟记三角形全等的判定定理是解题关键． 28. 定义把函数：（）的图象绕点旋转180°，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为.例如：当时，函数关于点的相关函数为. （1）当时，求新函数的顶点（用含的代数式表示） （2）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； （3）当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点把线段绕点逆时针旋转90°，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先将函数写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数的顶点坐标； （2）先由得出函数的解析式，再分段讨论：①当时，②当时，从而可解得m的值，则可求得的解析式； （3）先得出n=1时点A，B，D的坐标，再分①当a＞0时，②当a＜0时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【小问1详解】 ∵ ∴函数的顶点坐标为． ∵当n=0时，点P的坐标为（0，0）， ∴新函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵a=1， ∴函数， ∴函数的顶点坐标为． 把代入函数，得：， 根据抛物线的对称性可知，当时． ①当时，，（不符合题意，舍去）． ②当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去）． ∴， ∴的解析式为； 【小问3详解】 ∵，函数, ∴函数, ∵当时，或；当时，， ∴点A，B，D的坐标分别为． ∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转，得到它的对应线段， ∴点的坐标为（0，3），点的坐标为． ①当时， 当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图象有公共点，如图1： ∴， ∴； 当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图2： ∴， 解得， ∴． ②当时，点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图3： ∴ ， ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列各对数是互为倒数的是（ ） A. 4和－4 B. －3和 C. －2和 D. 0和0 2. 用3D打印技术打印出的高精密游标卡尺，其误差只有±0.000 063米，将0.000 063用科学记数法表示为( ) A. 6.3×105 B. 6.3×10－6 C. 6.3×10－5 D. 0.63×105 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正六边形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的中位数是 B. “明天下雨”是不可能事件 C. 为了解某型号车用电池的使用寿命，采用全面调查的方式 D. 某种彩票的中奖机会是，则买张这种彩票一定会中奖 6. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　） A B. C. 4 D. 2 8. 如图，是的直径，是的弦，，，若弦，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，点，在反比例函数的图象上，连结，，以，为边作，若点恰好落在反比例函数的图象上，此时的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 12. 因式分解：_____________． 13. 一个圆锥的主视图是底边为的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积等于______． 14. 写一个二次根式，使它与同类二次根式，这个二次根式可以是______． 15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十：粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．原来有米______斗． 16. 如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，点到轴的距离是3，，是锐角且，则的面积为______． 18. 如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. （1）计算：； （2）化简： 20. （）解方程：； （）解不等式组： 21. 中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点． （1）求证：； （2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 22. 为弘扬中华传统文化，某中学准备开展学习“传统手工技艺”社团活动．共有4个社团供学生选择：“—剪纸”、“—木版画雕刻”、“—陶艺创作”、“—皮影制作”， （1）若将这4个社团随机分成4批，则选项被分在第一批的概率为：______； （2）若将这4个社团随机分成两批进行展示，每批2个社团的学生参加．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） ①求选项被分在第一批的概率； ②求两个选项被分在第一批的概率． 23. 某校为增强学生身体素质，开展了为期一个月的跳绳系列活动．为了解本次系列活动的效果，校体育组在活动之前随机抽取部分九年级学生进行了一分钟跳绳测试，根据一定的标准将测得的跳绳次数分成A、B、C、D、E 五个等级，五个等级的赋分依次为10分、9分、8分、7分、6分，将测试结果整理后，绘制了统计图1． 跳绳系列活动结束后，体育组再次对这部分学生进行跳绳测试，以相同标准进行分级和赋分，整理后绘制了统计图2． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求被抽取的九年级学生人数，并补全统计图2． （2）若全校 600 名九年级学生全部参加了跳绳活动及一分钟跳绳测试，测试分级和赋分标准不变．请通过计算，估计这 600名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过9分（含9分）有多少人? （3）选择一个适当统计量，通过计算分析，对该校跳绳系列活动的效果进行合理评价． 24. 中，，， （1）请在图（）中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（）的条件下，若，取的中点，连接交于点，则______． 25. 如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）． （1）求从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度（结果保留根号）． 26. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若半径为5， ，求的长． 27. 正方形中，点边上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是______； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 28. 定义把函数：（）的图象绕点旋转180°，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为.例如：当时，函数关于点的相关函数为. （1）当时，求新函数的顶点（用含的代数式表示） （2）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； （3）当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点把线段绕点逆时针旋转90°，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $