4.3.1等比数列的概念 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教版 高中数学 4.3.1等比数列的概念 （第一课时） 授课人： 1 学习目标 难点 掌握等比数列的通项公式及其应用 重点 理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项概念 2.掌握等比数列通项公式，能运用公式解决相关问题 3.体会等比数列与指数函数的关系 2 课程导入 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的? 人教版 高中数学 等比数列的概念 4 问题探究 请看下面几个问题中的数列 问题探究 请看下面几个问题中的数列 问题探究 请看下面几个问题中的数列 问题探究 请看下面几个问题中的数列 问题探究 问题1 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 对于数列① 9，92，93，…，910，我们发现 ，，…， 如果用表示数列①，则有 ，，…， 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9. 问题探究 数列②~⑥也有这样的取值规律. 100，1002，1003，…，10010. ② … 5，52，53，…，510. ③ ，，，，，… ④ 2，4，8，16，32，64，… ⑤ ,,,, ⑥ 问题探究 问题2 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等差数列的公比，公比通常用字母q表示. 问题探究 问题3 等差数列的公差d的取值范围为R，那么等比数列的公比q的取值范围是什么？ 由等比数列的定义可知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0. 所以公比可正，可负，不可为0.(q是一个与n无关的非零常数.) 问题探究 q=1时，等比数列是常数列.若一个数列的每一项均是相同的非零常数，则这个数列既是等差数列，也是等比数列. q0时，数列各项同号. q0时，所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同.如： 1，-2，4，-8，16，… 问题探究 问题4 若数列满足=()，那么是等比数列吗？ 当时，按所给递推关系，该数列为常数列，且常数为0.此时数列不是等比数列. 不一定 问题探究 问题5 在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？ 如果在和中间插入一个数 成等比数列，那么叫做和的等比中项.此时，. 注意 两个实数同号才有等比中项，异号没有等比中项. 问题探究 问题6 和的等比中项的充要条件是吗？为什么？ 不是 ，反之不成立. =1 ，满足成，但0，0，1不成等比数列. 当时，是充要条件. 人教版 高中数学 等比数列的通项公式 17 问题探究 问题7 类比等差数列，你能用类似的方法推导等比数列的通项公式吗？ 等差数列 等比数列 累加法 累乘法 ， ， …… (n-1）个式子 将这(n-1）个式子等式两边分别相乘得： 所以，等比数列的通项公式为： = 及时自测 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　)(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)(3)常数列一定为等比数列． (　　)(4)任何两个数都有等比中项． (　　) 及时自测 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　)(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)(3)常数列一定为等比数列． (　　)(4)任何两个数都有等比中项． (　　) 及时自测 2．下列数列是等比数列的是(　　) A．3，9，15，21，27　 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464C．，，，， D．4，－8，16，－32，64 3.和的等比中项是(　　) A．1　　 B．－1　　　　C．±1　　　　D．2 及时自测 2．下列数列是等比数列的是(　D　) A．3，9，15，21，27　 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464C．，，，， D．4，－8，16，－32，64 3.和的等比中项是(　C　) A．1　　 B．－1　　　　C．±1　　　　D．2 【例1】　在等比数列{}中， (1)＝2，＝8，求； (2)＋＝18，＋＝9，＝1，求n. 应用检测 【例1】　在等比数列{}中， (1)＝2，＝8，求； (2)＋＝18，＋＝9，＝1，求n. 应用检测 解：设数列的首项为，公比为 (1) 由题意得 两式相除得=4，则= = 【例1】　在等比数列{}中， (1)＝2，＝8，求； (2)＋＝18，＋＝9，＝1，求n. 应用检测 (2) 由题意得 ②÷①得q=，则= = 即==6 应用检测 思维升华 等比数列的通项公式及变形的应用 (1)在已知等比数列的首项和公比的前提下,利用通项公式(≠0)可求出等比数列中的任意一项. (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用 (≠0)也可求出等比数列中的任意一项. 【例2】　已知在等比数列{}中，＋＋＝168，－＝42.求，的等比中项． 应用检测 解：设等比数列的公比为q 由题意得 又因为= 得 【例2】　已知在等比数列{}中，＋＋＝168，－＝42.求，的等比中项． 应用检测 故= 设G是的等比中项 则有== 的等比中项为3 应用检测 思维升华 等比中项及其应用 （1）等比数列中的任一项(除首项、末项外)都是数列中距该项“距离”相等的两项的等比中项. （2）等比中项 ，可结合等比数列的奇(偶)数项符号相同,确定的值. 【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝＋，试判断是否是等比数列． 应用检测 当时，==2+ 当时， 若是等比数列，则即 故当是等比数列 不是等比数列 应用检测 思维升华 等比数列的判断和证明 （1）定义法：满足 （2）通项公式法：通项公式满足 （3）等比中项法：满足 . 课堂小结 学习了本节课，你有什么收获？ 等比数列的概念 01 02 等比数列的概念 03 等比中项 等比数列的通项公式 课后练习 1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　C　) A．an＝n　　　　 B．an＝ C．an＝2－n D．an＝log2n 2．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(　A　) A．－24 B．0 C．12 D．24 3．在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列 {an}为___递增___数列(填“递增”或“递减”)． 课后练习 4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21， 则该数列的通项公式an＝. 5．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an. 由题意得所以,= 课后作业 1.完成学习单《课后练习》 2.思考题： 在等差数列中，公差d不为0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系。那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系呢？ 人教版 高中数学 谢谢大家 36 $$