4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　等比数列的概念 内容索引 知识点2　等比中项 知识点3　等比数列的通项公式 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等比数列的概念 文字 语言 一般地,如果一个数列从第　　项起,每一项与它的前一项的　　都等于　　　　　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　,公比通常用字母q表示(q≠0).  符号 语言 =q(q为常数且q≠0,n∈N*) 2 同一个常数 比 公比 微思考:等比数列中的某一项能等于0吗? 提示:不能. 　判断下列数列是否为等比数列,如果是,写出它的公比. (1)1,,,,,…; [分析]　根据等比数列的定义判断. 例1 (1)不是等比数列; (2),,,,…; [分析]　根据等比数列的定义判断. (2)是等比数列,公比为; (3)1,0,1,0,1,0,…; [分析]　根据等比数列的定义判断. (3)不是等比数列; (4)1,-4,16,-64,256,…; [分析]　根据等比数列的定义判断. (4)是等比数列,公比为-4; (5)a,a,a,a,a…. [分析]　根据等比数列的定义判断. (5)当a=0时,不是等比数列,当a≠0时,是等比数列,公比为1. 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论. 思维提升 1.数列1,1,1,…,1,…必为(　　) A.等差数列,但不是等比数列 B.等比数列,但不是等差数列 C.既是等差数列,又是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 跟踪训练 C 数列1,1,1,…,1,…是公差为0的等差数列,也是公比为1的等比数列. 2.在数列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B 对数列{an},an+1=2an,若a1=0,则可得a2=a3=…=an=0, 此时{an}不是公比为2的等比数列;若{an}是公比为2的等比数列,则=2,即an+1=2an,故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件. 知识点2　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的　　　　　　.此时,G2=　　　.  等比中项　 ab 微提醒: (1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数. 　若5是a与b的等差中项,3是a与b的等比中项,则a2+b2=　　　　　.  [分析]　根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可. 例2 82 由已知a+b=10,ab=9,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=100-18=82. 1.由等比中项的定义可知,所以只有a,b同号时,a,b才有等比中项,且有两个,异号时,没有等比中项. 2.在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 思维提升 3.在等比数列中,a2=4,a4=16,则a2与a4的等比中项为(　　) A.8　　　　　　　　　　　 B.10 C.±8 D.±10 跟踪训练 C a2与a4的等比中项满足:=a2·a4=4×16=64,故a3=±8. 4.已知数列是首项为2公差不为0的等差数列,且其中a1,a2,a7三项成等比数列,则数列的通项公式an=　　　　　.  8n-6 设数列的公差为d(d≠0),则=a1a7,即(2+d)2=2(2+6d),解得d=8或0(舍去),所以an=2+8(n-1)=8n-6. 知识点3　等比数列的通项公式 1.若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则an=　　　　(n∈N*).  2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即　　　　　　　　.  (2)任给函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为　　　,公比为　　　　.  a1qn-1 an=f(n)　 ka　 a 微提醒: (1)当a1>0,q>1时,数列{an}为正项的递增等比数列. (2)当a1>0,0<q<1时,数列{an}为正项的递减等比数列. (3)当a1<0,q>1时,数列{an}为负项的递减等比数列. (4)当a1<0,0<q<1时,数列{an}为负项的递增等比数列. (5)当q=1时,数列{an}为常数列. (6)当q<0时,数列{an}为摆动数列;奇数项符号相同,偶数项符号相同. 　在等比数列{an}中. (1)a1=1,a4=8,求an; [分析]　利用等比数列的通项公式解决,注意方程思想的应用. 例3 [解]　(1)因为a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1. (2)an=625,n=4,q=5,求a1; [分析]　利用等比数列的通项公式解决,注意方程思想的应用. [解]　(2)a1==5,故a1=5. (3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. [分析]　利用等比数列的通项公式解决,注意方程思想的应用. [解]　(3) 因为 由,得q=,从而a1=32.又因为an=1,所以32×=1,即26-n=20,故n=6. 等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解. 思维提升 5.已知数列为等比数列,若数列(λ≠0)仍为等比数列,且a3=3,则a2 024的值为(　　) A.1　　　　　　　　　　 B.3 C.32 022 D.32 024 跟踪训练 B 因为为等比数列,所以=an·an+2, 又因为数列(λ≠0)为等比数列,所以=(an+λ)·(an+2+λ), 即an+an+2=2an+1,即an+anq2=2anq,即q2-2q+1=0,解得q=1, 所以可得数列的公比q=1,又因为a3=3,所以a2 024=3. 6.已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 D 当a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列,即充分性不成立; 当“数列{an}是递增数列”时,可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立, 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若数列为等比数列,a1=2,a2=6,则公比q=(　　) A.-4　　　　　　　　　 B. C.3 D.4 C 由题意得:q==3. 2.在等比数列中,a4=48,a6=12,则a4与a6的等比中项为(　　) A.24 B.-24 C.±24 D.30 C ∵a4与a6的等比中项为a5,∴=a4a6=576,则a5=±24. 3.已知正项等比数列的前2项和为6,a4-a2=12,则a6=(　　) A.128 B.64 C.32 D.16 B 设公比为q(q>0),则a1+a2=6,a4-a2=12, 显然a1>0,所以所以a6=26=64. 4.已知数列为等比数列,且a2=3,a6=243,则的通项公式为 　 　　.  an=3n-1或an=(-1)n·3n-1 设等比数列的公比为q,则 所以an=3n-1或an=-1×(-3)n-1=(-1)n·3n-1. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知1,a,b,8是等比数列,则ab的值等于(　　) A.1　　　　　　　　　　 B.4 C.8 D.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 ∵1,a,b,8是等比数列,∴,∴ab=8. 2.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为(　　) A.4 B.8 C.6 D.32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6. 3.在正项等比数列中,a3=2a1+a2,则数列的公比是(　　) A.4 B.2 C.1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 设数列的公比是q,则a1q2=2a1+a1q. 因为an>0,所以q2=2+q,则(q+1)(q-2)=0,解得q=2或q=-1(舍去). 4.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+3b+c=10,则a的值是(　　) A.1 B.-1 C.-3 D.-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 5.已知是等比数列,若公比为,且2a1+a2=1,则a1=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由等比数列,且2a1+a2=1,可得2a1+a1q=2a1+a1=1,解得a1=. 6.写出一个公比为3,且第三项小于1的等比数列an=　 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ×3n-1(答案不唯一) 13 14 设数列{an}的公比为q,则q=3,由已知可得a3<1,∴9a1<1,∴a1<,故a1可取, 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an=×3n-1.(答案不唯一) 7.(1)已知{an}为等比数列,且a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求an; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意知q>0.由已知得 解得∵q>0,∴q=,∴an=128×. (2)若等比数列{an}的首项a1=,末项an=,公比q=,求项数n; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由an=a1·qn-1,得,即,解得n=4. (3)若等比数列{an}中,an+4=a4,求公比q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (3)∵an+4=a1qn+3,a4=a1q3,又an+4=a4,∴qn=1, ∴当n为偶数时,q=±1;当n为奇数时,q=1. 8.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此求最佳乐观系数x的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项, 即(c-a)2=(b-c)(b-a),把c=a+x(b-a)代入上式, 得x2(b-a)2=(b-a), 即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2. 因为b>a,所以b-a≠0,所以x2=1-x, 即x2+x-1=0,解得x= (舍去). 故最佳乐观系数x的值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知等比数列的首项为a1,公比为q,若a1=q,则数列中与a5a7一定相等的项是(　　) A.a12 B.a9 C.a7 D.a35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 因为等比数列的首项为a1,公比为q,且a1=q,则an=qn,所以a5a7=q12=a12,故A一定成立,其余选项不一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知数列(3n-1),则下列说法正确的是(　 　) A.a1=1 B.数列为单调递增数列 C.数列是等比数列 D.an=2×3n-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 13 14 ∵Sn=(3n-1),∴a1=S1=(3-1)=1,故A正确; 当n≥2时,Sn-1=(3n-1-1), ∴an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3n-1,a1=1也适合, ∴an=3n-1,故D错误; ∵=3,∴数列是公比为3的等比数列,故C正确; ∵a1=1,公比大于1,∴数列为单调递增数列,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知a>0,b>0.若a,2,b依次成等比数列,则a+4b的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 13 14 已知a>0,b>0.若a,2,b依次成等比数列,则ab=4,则a+4b≥2=8,当且仅当 a=4b=4时取等号,故a+4b的最小值为8. 12.若均为等比数列,且an≠bn(n=1,2,3,…),能使数列的通项公式为an=　 　,bn=　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2n　 13 14 3×2n(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 例如an=2n,bn=3×2n,显然均为等比数列, 则an+bn=2n+3×2n=2n+2,显然an+bn>0,因为=2>1,所以数列是递增的等比数列. 13 14 13.在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1=b1,d=q,　　　　　;求数列{an},{bn}的通项公式.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:选条件①:因为a3=5,所以a1+2d=5, 因为a2+a5=6b2,a1=b1,d=q,所以2a1+5d=6a1d,联立 解得(舍去),则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [C组　素养培优练] 14.已知正项数列是等比数列,a1,a2+6,a3成等差数列,a3=a2+6a1. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设数列的公比为q,q>0,因为a3=a2+6a1, 化为q2=q+6,解得q=3或者q=-2(舍), 又因为a1,a2+6,a3成等差数列, 所以2(a2+6)=a1+a3,即2(3a1+6)=a1+9a1, 所以a1=3,故an=3n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若λan≥4n+5恒成立,求实数λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2)不等式λan≥4n+5化为λ≥, 设bn=,则bn+1-bn=<0, 所以单调递减, 故当n=1时,bn最大,且最大值为b1=3, 又不等式λ≥恒成立, 故实数λ的取值范围为λ≥3. 由题意,得解得a=-4,b=2,c=8. 选条件②:因为b2=2,a1=b1,d=q,所以a1d=2, 因为a3+a4=3b3,所以2a1+5d=3a1d2,联立 解得(舍去),则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. 选条件③:因为S3=9,所以3a1+3d=9, 因为a4+a5=8b2,a1=b1,d=q,所以2a1+7d=8a1d,联立 解得(舍去),则a1=b1=1,d=q=2, 故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1. $$