第十章 第4讲 随机事件的概率、古典概型-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

[变式训练] (2x-1)1.D 解析 的展开式的通项为 T+=C?(2x)-(-1)=(-1)-2?CGa, (2x-1)令5-2r=1得r=2,所以( 的展开式中x的系数 为(-1)22?=2C2=80. 2.B 解析(2x-3)2(1-1) =(4x2-12x+9)(1-1)°, (1-1)展开式的通项为Tm=c(-1) =(-1)"Cx",k=0,1,2,3,4,5,6, 令—k=-4,则k=4;令-k=-3,则k=3;令—k=-2,则k =2, 所以x2项的系数为4×(-1)?C+(-12)×(-1)3C8+9× (-1)2C2=435. 3.B 解析 将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个 数分类，得展开式中常数项为C+C;C(-2)+CC?(-2)2 =-59. 考点2 [例4]ABD 解析 对于A,二项式系数和为C2021+C2021+⋯ +C202=2021,故A正确； 对于B,令x=-1,得32021=ao-a?+a2-a3+⋯-a2021,① 令x=1,得-1=a?+a?+a?+a?+⋯+a2021,② ①+②,可得32021-1=2(a?+a?+⋯+a2020), ∴ao+a?+⋯+a2=32-1,,故B正确； 对于C,①-②,得3221+1=-2(a?+a?+⋯+a2021), a,+a?+⋯+az=-32+1,故C错误； x=,得0=a+2+2+⋯对于D,令x=0,得a。=1,令 +2 ∴2+2+⋯+2=-1,故D正确。 [变式训练] 1.B 解析 令x=1,则a?+a?+a?+a?+a?=1, 令x=-1,则a?-a?+a?-a?+ao=(-3)?=81, 故a,+a?+a=1281=41,故选B. 2.8 -2 解析 含x2的项为x·C3·x·(-1)3+2·C2· x2·(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故a?=8; 令x=0,即2=a?, 令x=1,即0=a?+a?+a?+a3+a+a?, ∴a?+a?+a?+a?+a?=-2. 考点3 (1)(江+2落)[例5]解( 的展开式的通项为T+1= CC)(2)'=c:(一)z 1 因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以2C,= c·(2)°+c·4,即n=1+"n81),,整理得n2-9n+ 8=0,解得n=8或n=1.又因为n≥2,所以n=8,所以第5 项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为T?= c:(2)z=385 c:(2)',(2)由(1)得展开式中项的系数为 cG)令 得 {9k228-k,整理得 解得2≤k≤3.因为k∈N,所以当k =2或k=3时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的 项为T,=c:(2)2z+=7z+和T=c:(2)z+=7z+. [变式训练] T+=C:(2)(-x)2=BC 解析 展开式的通项公式为 2?(-1)℃x2?6, 由2r-6=0,得r=3,所以常数项为23(-1)3C3=-160,A错 误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；由 通项公式可得r为偶数时，系数才有可能取到最大值，由T?= 64x??,T?=240x-2,T?=60x2,T,=x?,可知第3项的系数最 大，C正确；令x=1,得a?+a?+a?+⋯+a?=(2-1)?=1,所 有项的系数和为1,D错误.故选BC. 第4讲 随机事件的概率、古典概型 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1S 2A+B 3A∩B 4 5A∩B=6AUB=Ω 1.(1)√(2)√(3)×(4)× 2.D 解析 两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中 3.C 解析 由题意知，此人第一、二、三次不能打开门，第四次 相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的 因此他第四次才能打开门的概率P=会-4 4.0.96 解析 记A=“产品为一等品”,B=“产品为二等品”, 0.16,所以P(C)=0.8+0.16=0.96. 其中护士甲恰被选中共有C2·C=6种不同的取法，故护士 70≤P(A)≤1 8P(A)+P(B)91-P(B) 靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都不中靶”. 打开门， 概率. C=“产品为优质品”,则C=AUB,P(A)=0.8,P(B)= 2 P=6=2 诊断自测 5. 甲恰被选中的概率1 解析 任选1名医生、2名护士共有C2·C2=12种不 提升能力 考点剖析] 同的取法， 考点1 1.AB 解析 对于A选项，事件AUB指至少有一件次品，即 事件C,故A正确；对于B选项，事件BUD指至少有两件次 品或至多有一件次品，次品件数包含0到5,即代表了所有情 况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即 事件A∩B=,故C错误；对于D选项，事件A∩D指恰有 一件次品，即事件A,而事件A和C不同，故D错误.故 选AB. 2.A 解析 对于AB,事件B和C不可能同时发生，但一次射 击中有可能击中环数为1,所以B与C互斥，不对立，所以A 正确，B错误；对于CD,事件A与D有可能同时发生，所以 A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误，故选A. ·459· 高考一轮总复习·数学·RJA 3.C 解析 互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；只有A 与B是互斥事件时，才有P(AUB)=P(A)+P(B),②错 误；若事件 A,B,C两两互斥，则P(AUBUC)=P(A)+ P(B)+P(C),但AUBUC不一定是必然事件，例如，设样 本点空间是由两两互斥的事件A,B,C,D组成且事件D与 AUBUC为对立事件，当P(D)≠0时，P(A)+P(B)+ P(C)<1,③错误. 考点2 [例1]解(1)当且仅当最高气温低于25℃时，这种饮料一天 的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于 25℃的频率为2+96+3?=0.6, 所以这种饮料一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值 为0.6. (2)当这种饮料一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于20℃,则Y=200×6+(450-200)×2- 450×4=-100; 若最高气温位于区间(20,25),则Y=300×6+(450-300) ×2-450×4=300; 若最高气温不低于25℃,则Y=450×(6-4)=900. 故利润Y的所有可能值为-100,300,900. 当且仅当最高气温不低于20℃时，Y大于零，由表格数据 36+2907+?=0.8.因知，最高气温不低于20℃的频率为 此Y大于零的概率的估计值为0.8. [变式训练] P=1720=8=D 解析 A.该教职工具有本科学历的概率1 62.5?0故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率P =1250=3=37.5?0故错误；C.该教职工的年龄在50 P=120=1≈8.3?0故错误；D.该教职岁以上的概率 P=1250=工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率 =12.5?0故正确。 考点3 [例2](1)D 解析 依题意，从这4名学生中随机选2名组织 校文艺汇演，总的基本事件有C2=6(件), 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C?C= 4(件), 4=3所以这2名学生来自不同年级的概率为 (2)C 解析 由AUB=U,A∩B=可得A,B中没有重复 数字.由x∈A,则22-x∈B可得A,B不为空集，且可将U 中10个数字分为5组， 分别为2或20,4或18,6或16,8或14,10或12, 且每组数中的一个数如果在集合A中，另一个必在集合B 中，所以集合A中元素的个数小于等于集合B中元素的个 数，所以集合A中元素的个数可能为1,2,3,4,5,所以集合 A的可能的个数为 C?+C(C)2+C(C2)3+C(C?)?+C(C)?=242, P=1-Co+24C32=926所以 [变式训练] 1.C 解析 这8个素数中，任取2个不同的数，有(2,3),(2, 5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(3,5),(3,7), (3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(5,7),(5,11),(5,13),(5, 17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11, 17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共28个样本点， 这两个数之和仍为素数的样本点有(2,3),(2,5),(2,11), (2,17),共4个， 28=号所以这两个数之和仍为素数的概率是 2.C 解析 4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社 团、街舞社团共有A=24种选法， 其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有C?A2=4种 选法，按学校规定每人只能加入一个社团，由古典概型的概 率计算公式可得，甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团 P=4=6的概率1 第5讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 必备知识 夯实四基] 知识梳理 1P(A)P(B)2B 3P(A)P(B|A) 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)√(4)√ 2.A 解析 设“甲独立地破解出谜题"为事件A,“乙独立地 则P(A)=2,P(B)=3,故P(A)=2,P(B)=3 3.D 解析 当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格 4.B 解析 记事件A为“至少有1人去厦门旅游”,其对立事 P(A)=(1-3)×(1-4)×(1-亏)=号 5.0.3 解析 设A,=“第i天去A餐厅就餐”,B,=“第i天去 0.5,P(B?|A?)=0.4,P(B?|B?)=0.2, 所以P(B?)=P(A?)P(B?|A?)+P(B?)P(B?|B?)=0.5× 0.4+0.5×0.2=0.3. 提升能力 考点剖析] 破解出谜题”为事件B, ,所以 . 件为A“三人都不去厦门旅游”,由独立事件的概率公式可得 ,由对立事件 B餐厅就餐”(i=1,2);则A?,B?对立且P(A?)=P(B?)= P(AB)=2×3=6, 品，所以第二次抽到次品的概率为- 的概率公式可得P(A)=1-P(A)=1-3=3. 即谜题没被破解出的概率为 考点1 [例1](1)A 解析 报名两个俱乐部的人数为50+60-70 =40, 记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报乒乓球俱乐 部”为事件B, 则P(A)=50=5,P(AB)=0=4, ran---所以 (2)D 解析 由题意知，n(B)=C·C2+C2·C?+C3=100, n(AB)=C·C·C=32, 所以P(A|B)=nAB)=32=25 [变式训练] 1.号2 解析 解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE, CDE,共10种情况， 其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE, ADE, P=0=3;则甲选到A的概率为： 高考一轮总复习·数学·RJA · 460· 国高考一轮总复习·数学，RJA 考点3 二项展开式中的最值问题（师生共研） 例5]已知(+ 的展开式中，前三项的 数分别为A1·A,…,A。1,且第k项系数最 大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中 系数成等差数列， 项的系数的最大值只需解不等式组 (1)求展开式中二项式系数最大的项： (2)求展开式中系数最大的项. A≥A-1'即得结果. A≥A+1· ◆变式训练 (多选)在（层- 的展开式中，下列说法正确的 感悟方法 是 () 求解二项展开式中系数的最值策略 A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大 (1)求二项式系数的最大值，则依据(a十b)"中 C.第3项的系数最大 n的奇偶及二项式系数的性质求解. D.所有项的系数和为64 (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式 中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系 请完成《课时检测训练62》 第4讲 随机事件的概率、古典概型 课标多求 1,了解概率的意义以及频率与概率的区别，理解事件间的关系与运算 2.理解古典概型及其概率计算公式。 对应答案P5和 必备知识 夯实四基。 知识梳理 续表 1.随机事件 事件的关判 含义 符号表示 图形表示 系或运算 (1)事件的分类 必然中件在茶件了 一定发业 并事件 A与B至 AUB或 确定 件 不可能事件在条件$下龙不发年 和事件少一个发生 四 件 机在条件S下 半件 可能发生也可能不发生 交事件 A与B同 ☒ (2)两个事件的关系和运算 积事件 时发生 或AB 事件的关 含义 符号表示 图形表示 互斥（互A与B不能 系或运算 AnB=可 不相容) 同时发生 A发生导 A与B有 包含 A四B 固 致B发生 互为对 且仅有一 且团 个发生 210 第十章计数原理概率，随机变量及其分布回 2.频率与概率 诊断自测 (1)频率与概率的区别及联系 思考辨析 区别 联系 1.判断（在括号内打“√”或“×”） 本身是随机的，在试验 对于给定的随机事 (1)必然事件一定发生。 ( 之前是无法确定的，在 件A,由于事件A (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. 相同的条件下做同样 发生的频率f(A) () 颗率 次数的重复试验，得到 随着试验次数的增 (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生， 的事件的频率值也可 加稳定于概率 () 能会不同 P(A),因此可以用 (4)抛掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一 本身是一个在[0,1]内 频率∫(A)来估计 反”“两个反面”这三个结果是等可能的。() 概率 的确定值，不随试验结 概率P(A) 果的改变面改变 教材衍化 (2)概率的几个基本性质 2.(人A必修第二册P235练习T1改编)一个人打 ①概率的取值范围：☑ 粑时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互 ②必然事件的概率P()=1: 斥事件是 () ③不可能事件的概率P(心)=0. A.至多有一次中靶 (3)概率的加法公式 B.两次都中靶 ①如果事件A与事件B互斥，则P(AUB) C.只有一次中靶 ☒ D.两次都不中粑 ②若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)= 3.(人A必修第二册P247习题10.1T11改编)某 回 人家里有3个卧室1个大门，共有4把钥匙，其 3.古典概型 中仅有一把能打开大门，但他忘记了是哪把钥 (1)古典概型的特点 匙.若他每次都随机选取一把钥匙开门，则他第 有限性 样本间的样本点只有有限个 四次才能打开门的概率为 () 等可能性 个样本点发生的可能件等 A B司 c (2)古典概型的概率公式 易错自纠 P(A)= A包含的样本点的个数 有限样本空间中样本点的总数 4.(不理解瓦斥事件的瓶率公式效错)检验一批产 第用结论 品，一、二，三等品出现的频率分别为0.8,0.16， 1.当随机事件A,B互斥时，不一定对立：当随机事 0.04,若一、二等品是“优质品”，则这批产品中 件A,B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立 “优质品”的检验概率为 的必要不充分条件， 5.(计算样本点的个数效错)从2名医生、4名护士 2.若事件A1,A2…,An两两互斥，则P(AUAU 中选取1名医生、2名护士支援一线抗疫，护士 …UA)=P(A)+P(A)+…+P(A). 甲恰被选中的概率为 211图 国高考一轮总复习·数学·RJA 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P459】 考点 事件的关系与运算（题组通关） 1.(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，：3.下列说法错误的个数为 95件是合格品.从这批产品中任意轴取5件，给 ①对立事件一定是互斥事件：②若A,B为两个 出以下四个事件： 事件，则P(AUB)=P(A)十P(B):③若事件A 事件A:恰有一件次品： B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1. 事件B:至少有两件次品： A.0 B.1 C.2 D.3 事件C:至少有一件次品： 感悟方法☑ 事件D:至多有一件次品. 事件的关系运算策略 下列选项正确的是 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互 A.AUB=C B.BUD是必然事件 斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同 C.A∩B=C D.A∩D=C 时不发生②对立事件是特殊的互斥事件，特殊 2.设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶 在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅 计为0环，某人射击一次，设事件A=“中靶”，事 有一个发生 件B=“击中环数大于5”，事件C=“击中环数大 (2)进行事件的运算时，一是要繁扣运算的定 于1且小于6”，事件D=“击中环数大于0且小 义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出 于6”，则下列关系正确的是 ( 现的全部结采，必要时可列出全部的试验结果 A.B与C互斥 B.B与C互为对立 进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn C.A与D互为对立 D.A与D互斥 图分析事件。 考点2 频率与概率（师生共研） [例1]某超市计划按月订购一种饮料，每天进货 最高气温（单位：℃）[10,15) [15,20) [20,25) 量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未 天数 2 16 36 售出的饮料降价处理，以每瓶2元的价格当天 最高气温（单位：℃）[25.30) [30,35) T35,40] 全部处理完.根据往年销售经验，每天的需求量 天数 25 与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位 不低于25℃，需求量为500瓶：如果最高气温 于该区间的概率。 位于区间[20,25)，需求量为300瓶：如果最高 (1)估计六月份这种饮料一天的需求量不超过 气温低于20℃，需求量为200瓶.为了确定六 300瓶的概率： 月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的 (2)设六月份一天销售这种饮料的利润为Y(单 最高气温数据，得到下面的频数分布表： 位：元)，当六月份这种饮料一天的进货量为 ®212 第十章计数原理，意率，随机变量及其分布回 450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于 令变式训练号 零的概率 某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构 和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35岁以下 40 30 70 35-50岁 27 13 汤 感悟方法 50岁以上 8 10 (1)概率与频率的关系 现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的 频率反胶了一个随机件出：现的频於 度，颜是随礼的，而没率是一个病定 关系一的位，通常用概率来反联随视事件发生 是 ( 的可能汹的大小，有时包用蛹率来作为 随机奉件微率的估计值 A.该教职工具有本科学历的概率低于60% B.该教职工具有研究生学历的概率超过50% (2)随机事件概率的求法 C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10% 利用减率的皖补定义袁事件的规率，即 D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生 求法 通过大量的重复试验，事件发生的领率 会逸渐透近于来一个常数，这个常数就 学历的概率超过10% 是容件的概 考点3 古典概型（师生共研） [例2](1)(2023·全回甲卷文科)某校文艺部 ◆变式训练多 有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从 1.(2025·沈阳模拟)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这 这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则 8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之 这2名学生来自不同年级的概率为 ( B c 号 和仍为素数的概率是 () A司 (2)(2023·山东细台·统考二模)已知集合 B秀 c D音 U={2,4,6,8,10.12,14,16.18.20,若从U的 2.(2025·呼和洁特模拟)某学校为了摘好课后服 所有子集中，等可能地抽取满足条件“AUB= 务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能自 U,A∩B=心”和“若x∈A,则22-x∈B”的两 主选择自己喜欢的社团.目前话刷社团，书法社 个非空集合A,B,则集合A中至少有三个元素 的概率为 团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名 ( A吉 c n器 学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请 加人，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲 感悟方法 进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为 利用公式法求解古典概型问題的步骤 第-一 定型，根据事件的质，确定事件类型 为古为概型 A. B号 c D.g 第二步 定量，确定诚验包拿的样本点总数及所 求事件包含的样尽，点数 请完成《课时检测训练63》 第三步 求值，代入吉典概型的摄率计算公式求解 213图