第五章 平面向量、复数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版2019）

见此图标照微信抖音扫码精准备考层层突破 第五章 平面向量、复数 易错点1忽略零向量的特殊性 风固练习 【例1】给出下列命题： 在下列结论中，其中正确的是 ①向量AB的长度与向量B人的长度相等： A.若向量a,b共线，则向量a,b所在的直线平行 ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反： B.若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b一 ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必 定不共面 相同： C.若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,bc共面 ④零向量与任意数的乘积都为零， D.已知空间的两个不共线向量a,b,对于空间的一个 其中不正确命题的序号是 向量p,存在实数x,y,使得p=xa十3b,则向量p [错解]① 与向量a,b共面 [错因分析]解决向量的概念问题要注意两点：一 是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量 [解析]选项A,向量a.b共线，则向量a,b所在的 的方向：二是考虑零向量是否也满足条件，要特别 直线平行或重合，故A错误： 注意零向量的特殊性。 选项B,根据空间向量的意义知，空间任意两个向量 [正解]①向量AB与向量BA是相反向量、模相 a,b都共面，故B错误. 等，正确：②由零向量的方向是任意的且与任意向 选项C,由于三个向量a,b,c两两共面，但是a,b,c不 量平行，不正确：③相等向量大小相等、方向相同， 一定共面，故C错误： 又起点相同，则终点相同，正确：①零向量与任意数 选项D,已知{a,b)是空间的一个基底，若p=xa+ 的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号 b,则向量a,b,p共面，D选项正确。 是②①. [答案]D [答案]②① 易错点2忽视平行四边形的多样性致错 易错点击 【例2】已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 解决向量的概念问题应关注六点 (一1,0)，(3,0)，(1，一5)，求第四个顶点的坐标. (1)正确理解零向量等向量的相关概念及其含义是解题的 [错解]设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y), 关键。 (2)相等向量具有传递性.判断向量的平行注意零向量不 :四边形ABCD为平行四边形， 具有传递性 :.AB-DC. (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关，相等向量不 又AB=(4,0),DC=(1-x,-5-y). 仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行 1一x=4， x=一3， 解得 向量，面平行向量则未必是相等向量。 -5-y=0, ym-5. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解 .第四个顶点的坐标为(-3，一5). 题时，不要把它与函数图象平移混为一谈， [错因分析]此题的错解原因为思维定式，错误地 (5)非零向量a与8的关系：日是a方向上的单位向量， 认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现 (6)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但 了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边 向量的模是非负实数，故可以比较大小， 形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有 20 [见此图标%微信抖音扫码精准备考层层突破 三种不同的情形， A. B司 c D号 [正解]如图所示，设A(一1,0)，B(3,0), [解析]：向量OAO.O心，Oi满足等式OA+O元 C(1,-5),D(x,y). =0i+0D. ①若四边形ABCD,为平行四边形，则AD=BC .OA-Oi=Oi-O元，即BA=CD. 而AD,=(x+1y),BC=(-2,-5), +1=-2=-3. 则四边形ABCD为平行四边形. =-5, .D1(-3,-5) :E为AC的中点， y=-5, ∴E为对角线AC与BD的交点， ②若四边形ACD,B为平行四边形，则A店-CD, 则SAEB=SAD=SME=S△E· 而AB=(4,0).CD=(.x-1,y+5), x-1=4,x=5, 则二一分故毒B .D2(5,-5): ③若四边形ACBD,为平行四边形，则AD,=CB】 而AD,=(x十1y),C第=(2,5)， [答案]B x+1=2,(x=1, “=, .D1(1,5). y=5, 易错点3忽视夹角的范围致错 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 【例3】已知向量a=(1,2),b=(x,1). (-3,-5)或(5，-5)或(1,5). (1)若<a,b>为锐角，求x的取值范围： (2)当(a十2b)⊥(2a-b)时，求x的值. [错解](1)若<a,b>为锐角，则a·b>0且不同 向.a·b=x+2>0,∴.x>-2. (2)由题意，可得a+2h=(1十2x,4), 易错点击 2a-b=(2-x,3). 1,要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点 又(a+2b)⊥(2a-b),.(1+2x)(2-x)+3×4=0, 坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点 即一2.x2+3.x+14=0, 时，其终点坐标就是向量坐标。 2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点，终点的相对 解得=号或=一2 位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它 [错因分析](1)利用向量夹角公式即可得出，注意 们的坐标都是相同的 去掉同方向情况， 3.若a=(x1,3y,),b=(x,),则a∥b的充要条件不能表 (2)利用向量垂直与数量积的关系即可得出. 示成=立，因为工·”有可能等于0，所以应表示为 ye [正解](1)若<a,b>为锐角，则a·b>0且a,b 二当=0 不同向.a·b=x+2>0.∴.x>-2. 风固练习 当x=2时a:b同向，>-2且x≠号 已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向 即若<a,b>为锐角， 量Oi.O.心.O心满足等式Oi+心=O茒+O心，若 点E为AC的中点则器 的取值范围是>-2且≠号 (2)由题意，可得a+2b=(1十2x,4), 21 广见此图标照微信抖音扫码精准备考层层突破 2a-b=(2-x,3). [正解]由原等式，得O-OA=A(A店+AC,即 又(a+2b)⊥(2a-b),∴.(1+2.x)(2-x)+3×4=0, AP=(AB+AC).根据平行四边形法则，知AB十 7 即-2x+3z+14=0,解得x=2或x=-2. AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向 量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心，故 易错点击 选C 1,两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量 的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过平移，使其 起点相同，再规察夹角 2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地，当两向量共线且同 [答案]C 向时，其夹角为0：共线且反向时，其夹角为元 易错点击 3,在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两 三角形的“四心”与平面向量 向量夹角的范围 1.重心.若点G是△AB的重心，则贰+G+G试-0或 风固练习 P花-(+P吨+心（其中P为平面内任意一点）.反 已知向量a=(3t+1,2),b=(1,t),若a与b所成 之，若GA+GB+GC=0,则点G是△ABC的重心 的角为钝角，则实数1的取值范围： 2.垂心，若点H是△ABC的垂心，则H.H亦-H亦.H心 [解析]a与b所成的角为饨角即a·b<0且a与b =HA.Ht或H+BC-H亦+AC=H心+，反 不平行， 之，若i.H-H店.心-Hi·H心，划点H是 △ABC的垂心. 3+1+210, 即 一5 3.内心.若点1是△ABC的内心，则b可.A=AC可.店 (31十1)·1≠2 3r+1-2≠0. -AB.心-0.反之，若BC.-AC·B- 所以(-0，-1DU(-1,-号)： ,亡=0，则点1是△ABC的内心. 4.外心.若点O是△ABC的外心，则(A+O)·AB= [答案](-0，-1DU(-1-号) (Oi+心).BC=(OA+0·AC=0.反之，若Oi O1=O心，则点O是△ABC的外心. 易错点4混淆三角形的“四心”致错 风固练习 【例4】已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上 G是△ABC的重心，a,b,c分别是角A,B,C的对 不共线的三个动点，若动点P满足OP=OA+a(A店 +AC),A∈(0，十∞)，则点P的轨迹一定通过 边，若aG+bG成+G元=0，则角A △ABC的 A.90 B.60 C.45 D.30 A内心 B.外心 [解析] 因为G是△ABC的重心，所以有GA+G+ C.重心 D.垂心 Gd-0又u+hG成+停=0.所以ab:号c [错解]A 1:1L,设c=3,则有a=b=1.由余弦定理，可得cosA [错因分析]对三角形“四心”的意义不明，向量关 系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相 之=受所以A=30,放运D 23 互位置关系判断错误等. [答案]D 22 [见此图标%微信抖音扫码精准备考层层突破 易错点5对复数的概念不理解致错 巩固练习 【例5】设复数a+i(a,b∈R)的模为5，则 若复数：满足十{：=8十4(i为虚数单位)，则下 (a+所)(a-i)= 列结论正确的是 () [错解]复数a十i的模为√a:十6=√3，则a+b A.2=-3+4i B.1x|=25 =√3.又(a十)(a-i)=a2-6=a2+6=√/3，故 C,z的共轭复数z=3十4i (a+i)(a-bi)=5. D.x是方程x2一6x十25=0的一个根 [错因分析]上述的解题过程对复数模的运算处出 [解析]设之=a+所(a,b∈R),则x+|x|= 现了一个简单的失误，对于复数=十i的模|= a+√a+b=8, √云+6=v3,故应为a+6=3. a+a+6+i=8十4i,可得 解得 b=4, [正解]复数a十i(a,b∈R)的模为√a+b=√3， 4=3. 则a2+6=3,则(a+所)(a-i)=a2-(bi)2 所以之=3+4i,A错：c=5.B错：=3-4i,C b=4, a2-bi=a2+b=3. 错：解方程x2一6x十25=0，即(x一3)=一16= [答案]3 (士4i)°，解得x=3十4i或x=3-4i,D对. 易错点击 [答案]D 1.利用复数相等a十i=e十i列方程时，注意a,b,c,d∈R 的前提条件。 2,对于复数系（复数不全为实数）的一元二次方程的求解， 判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根 代入方程，用复数相等的条件进行求解， 23