第三章 一元函数的导数及其应用-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版2019）

见此图标器微信料音扫码精准备考层层突破 第三章 一元函数的导数及其应用 易错点1识别函数的图象与平均变化率的关 山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比 系致误 较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看， 【例1】A,B两机关单位开展节能活动，活动开始后 为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭 两机关的用电量W,(),W,(t)与时间t(天)的关系 程度吗？ 如图所示，则一定有 y/m W,(】 W() 0 50 70 100zm A两机关单位节能效果一样好 [解]山路从A到B高度的平均变化率为h想= B.A机关单位比B机关单位节能效果好 )8二8-号山路从B到C商度的平均变化率为A C.A机关单位的用电量在[0，。]上的平均变化率 15-10-1 比B机关单位的用电量在[0，t]上的平均变化 一70-50有hx>hw山路从B到C比从A 率大 到B要陡峭的多。 D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总 易错点2混淆“在某点处的切线”与“过某点 是一样大 的切线” [错解]选C.因为在(0，t)上，W(t)的图象比 【例2】若经过点P(2,8)作曲线y一x的切线，则切 W2(t)的图象陡峭，所以在(0，。)上用电量的平均 线方程为 变化率，A机关单位比B机关单位大 A.12x-y-16=0 [错因分析]识图时，一定要结合题意弄清图形所 B.3x-y+2=0 反映的量之间的关系，特别是单调性，增长（诚少） C.12x-y+16=0或3x-y-2=0 的快慢等要弄清： D.12x-y-16=0或3x-y+2=0 [正解]由题可知，A机关单位所对应的图象比较 [错解]设f(x)=x3,由定义得∫(2)=12， 陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电 .所求切线方程为y-8=12(x-2),即12x一y 量在[0，]上的平均变化率都小于0，故一定有A 16=0. 机关单位比B机关单位节能效果好，故选B [错因分析]曲线过点P的切线与在点P处的切 [答案]B 线不同.求曲线过点P的切线时，应注意检验点P 易错点击 是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和 平均变化率的概念是：函数y=f(x)从x1到x:的平均变 P不是切点讨论， 化率为)二f,若△x=-,△y=f() [正解]①易知P点在曲线y=x上，当P点为 八红)，则平均变化率可表示为是，可见其几何意义可以 切点时，由上面解法知切线方程为12x一y一16 =0. 看作是过曲线上两点割线的斜率，所以平均变化率大，则 ②当P点不是切点时，设切点为A(x。,y),由定义 割线的斜率就大 可求得切线的斜率为k=3x 风固练习 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之 A在简线上%一小二 美誉，登泰山在当地有“繁十八，慢十八，不紧不慢又 3x+4=0,∴.(x。+1)(x。-2)2=0,解得x。=-1 十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登 或x,=2(舍去)，·yo=一1，k=3,此时切线方程为 见此图标？微信抖音扫码精准备考层层突破 y+1=3(x+1),即3x-y+2=0. +1,y,=2w·2x=2(x2+1)·2x=4x(x2+1).遇 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x一 到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复 y-16=0或3x-y+2=0. 合函数求导公式求导 [答案]D [正解]解法一：(1)y=(x2+1)2=x+2x2+1, 易错点击… y=4x+4x. 在求曲线y=f(x)的切线方程时，要注意区分是求某点处 (2)y=o号-=1+s,∴y=-7im 2 的切线方程，还是求过某点的切线方程，若已知曲线过点 P(红)，求曲线过点P的切线，则需分点P(工。y)是切 解法二：(1)y=2(x+1)·(x2+1)'=4x(x2+1). 点和不是切点两种情况求解： (2)y=2cos受·(os2)/=2cos乏·(-sin）: (1)当点P(x,y)是切点时，切线方程为y一为=广(x) (x-x。): (侵)/-inx (2)当点P(五，y。)不是切点时，可分以下几步完成： 易错点击 第一步：设出切点坐标P(x1,f八x): 1.求复合函数的导数的关键环节： 第二步：写出过P(x1,f(x)的切线方程为y一f(1)= ①中间变量的选择应是基本函数结构； f(x)(x-工)： ②正确分析出复合过程： 第三步：将点P的坐标（工。）代人切线方程求出x1: ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导： 第四步：将工的值代人方程y一f(x)=f(无)(x一)， ④善于把一部分表达式作为一个整体： 可得过点P(x为)的切线方程， ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数， 2.求复合函数的导数的方法步骤： 见固练习 ①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量： 已知过点A(a,O)作曲线y=xe'的切线有且仅 ②求每一层基本初等函数的导数 有两条，则实数a的取值可能为 ③每尽函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数。 A.-2 B.-3C.-4 D.-5 见固练习 [解析]设切点为(x,xeo),由y=xe,求导得y 下列求导运算错误的是 =(x+1)e, A.(tan x)'=-tan x 则切线方程为：y=(x,十1)e(x一x。)十xe中，而切 线过点(a,0), B.(logaz)'zIn 2 于是0=(x,+1)ea-xe,又e>0,则x号-axg C.(2e+a)'=(4x+2)e'+ -a=0, 依题意，方程x号一ax。一a=0有且仅有两个不等实 (=2 E 根，则△-a2+4a>0, [解折]A项，(an=(/- 解得a>0或a<一4，所以a=一5符合题意。 cosz·cosx十sinx·sinx=1 [答案]D cos'x e0sz故A错误； 易错点3区分复合函数的构成致误 B项，(logx)' xn2,故B正确： 【例3】求下列函数的导数： C项，(2e+)/=2e+(2x+1)=(4x十2)e2+,故C （y=(+1,2)y=cos云 正确； [错解]（1)y=2(x+1).(2)y=-2sin受 D项（ [错因分析]这是复合函数的导数，若y=f(u),u 正确。 =h(x),则y.=y.·u,如(1)中，y=w2,u=x2 [答案]A 见此图标%微信料音扫码精准备考层层突破 易错点4忽略函数的定义域致错 f)-g+是--5+2》 【例4】设函数f(x)=ax-g-2lnx 令了(x)>0,得x>2或x<, (1)若f(2)=0,求函数f(x)的单调区间： (2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值 令f)<0,得号<x<2, 范围 ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，(2，十∞)， [错解](1)rf(x)=a+g-2 T' 单调递减区间为（位2）片 “f(2)=a+号-1=0，a=青 4 (2)若∫(x)在定义域上是增函数，则f(x)≥0对 f)=+是是22-5+2. x>0恒成立. x 令f()>0,得>2或x<7, fa)=a+是-是-t2+o, ∴需x>0时ax2-2x十a>0恒成立，即a≥2z x2+1 令f(x)<0,得<x<2, 对x>0恒成立. ∴函数f(x)的单调递增区间为(-©，2)U(2。 2x x2+1 =2≤1，当且仅当x=1时，等号 x 十∞)，单调递减区间为（合，2） 成立， (2),f(x)在定义域上为增函数， .a≥1，即实数a的取值范围是[1，十c∞). .f(x)≥0恒成立. 易错点击 用导数求函数f(x)的单调区间的步骤： f=a+是-是=te。 x ①确定函数y=f(x)的定义域： ∴ax2-2x十a≥0恒成立. ②求导数y=广(x): a>0, ③解不等式了(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递 增区间： 4=4-4a'≤0， ④解不等式了(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递 ∴.a≥1，即实数a的取值范围是[1，十oo). 减区间. [错因分析]错解有多处错误：一是忽视了定义域 现固练习 的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域： 二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意 1.函数y=山工的单调递增区间是 () 取并集：三是对不等式恒成立处理不当，对于自变 A(-∞，) B.(e,十o∞) 量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分。 c.(o.) D.(0,e) [正解](1)由已知得x>0,故函数f(x)的定义 [解析]由题意，函数y-山严的定义域为(0，十∞)， 域为(0，十∞). x f)=a+吕是 则y'=1-lnz t, 当x∈(0，c)时y>0;当x∈(e,+o∞)时y<0, f(2)=a+号-1=0， 显然y=血严的单调递增区间为(0，©. 4 .a=5 [答案]D 10 见此图标？微信抖音扫码精准备考层层突破 2.若函数了)--9nx在区间[a-1a 侧的符号相同，所以a=一3，b=3不合题意，舍去. 综上可知，a=4,b=-11,所以a十b=-7. 上单调递减，则实数a的取值范围是 [答案]-7 A.1<a≤3 B.a≥4 易错点击 C.-2≤a≤3 D.1<a≤4 (1)函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为 [解析] 函数）=安-9nx(>0. 0的点的左、右两侧的导数符号 (2)对于给出函数极大（小）值的条件，一定既要考虑 则f(x)=x 9-x2-9 x f(x)=0,又要考虑在x=x。两侧的导数值符号不 因为f(x)在区间[a一l,a]上单调递减， 同，否则容易产生增根 则f(x)≤0在区间[a-1,a]上恒成立， 见固练习 即x2-9≤0，解得0<x≤3，所以[a一1，a]是(0,3]的 若x=0是函数)=号r-(a+2)2+(@ 子区间， 十a)x-1的极小值点，则f(x)的极大值为() a-1>0, 所以 解得1<a≤3，故选A a3, A号 B号 C-号D.-君 [答案]A [解桥]由fx)=3r-(a+2）r+(a2+a)x-1 易错点5忽视极值的概念致错 【例5】已知f(x)=x3+ax2十bx十a2在x=1处有 可得f)=2-2(a+)x+(a+a, 极值10，则a+b= 又x=0是函数f(x)的极小值点，所以f(0)=a+a [错解]-7或0 =0,解得a=0或a=一1， 由题得，f(x)=3x2十2ax+b,由已知得 当a=0时，f(x)=x2-x=x(x-1), ff(1)=10,〔a+a+b+1=10, 「a=4, 当x∈(-∞，0)时，∫(x)>0,此时f(x)单调递增， 解得 或 f(1)=0,2a+b+3=0, b=-11 当x∈(0,1)时，f(x)<0,此时f(x)单调递减， a=-3, 即x=0是f(x)的极大值点，不符合题意，故舍去： 所以a十b=-7或0. b=3. 当a=-1时，f(x)=x2+x=x(x+1), [错因分析]极值点的导数值为0，但导数值为0 当x∈(-c∞，一1)时，f(x)>0,此时f(x)单调 的点不一定为极值点，错解忽视了“f(1)=0中x= 递增， 1是f(x)的极值点”的情况， 当x∈（一1,0）时，∫(x)<0,此时f(x)单调递减， [正解]由题得，f(x)=3x2+2ax十b,由已知得 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,此时f(x)单调递增， f1)=10,1ad2+a+b+1=10, a=4, 即x=一1是f(x)的极大值点，x=0是f(x)的极小 解得 或 f(1)=0, 2a+b+3=0, b=-11 值点，符合题意， a=-3, 所以a十b=-7或0. 此时)=}2+2-1， b=3, 当a=4,b=-11时，f(x)=3x2+8x-11= 所以f(x)的极大值为f(-1)=-号+合-1= (3x十11)(x一1)在x=1两侧的符号相反，符合 -5 6 题意. 当a=-3,b=3时，f(x)=3(x-1)2在x=1两 [答案]D -11