精品解析：山东省德州市乐陵市2025年九年级第二次练兵考试数学试题

2025年九年级第二次模拟检测 数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 甲、乙、丙、丁四地的海拔分别是、、、，海拔最低的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较的应用，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴海拔最低的是丁； 故选：D 2. 已知三视图轮廓的孔形样板如图所示，请你选出一个塞子，使得它能够堵住孔形样板上的每一个洞．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图， 一个塞子能够堵住孔形样板上的每一个洞，即用这个塞子俯视图堵住第一个洞，左视图堵住第二个洞，主视图堵住第三个洞，可得答案. 【详解】解：一个塞子能够堵住孔形样板上的每一个洞，只有图D符合题意. 故选：D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算出结果即可. 【详解】A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，计算正确； D. ，故此选项错误. 故选C. 【点睛】此题主要考查了直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则进行计算，正确掌握相关运算法则是解题关键. 4. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 5. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确表示出“互换其中一只，恰好一样重”的等式是解题的关键．根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， 依题意可得， 故选：B． 6. 将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，，再根据折叠可知即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，延长至， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴，即， 故选：D． 7. 对于代数式，以下结论正确的是（ ） A. 该代数式有最小值为2 B. 该代数式的值可以是任意的数 C. 化简的结果是 D. 使该代数式的值为3的的值是4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据，可得，即可判断选项A正确，选项B错误；根据完全平方公式可判断选项C错误；，解方程即可判断选项D． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确，即代数式有最小值2，选项B错误； 由于， 则代数式化简结果不是， 故选项C错误； 当， 解得：和， 故选项D错误； 故选：A． 8. 现代营养学家通常用身体质量指数（简称）作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标．身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米）的关系是．若一个人的身高为米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正比例函数，根据题意确定出身体质量指数与他的体重之间的函数关系是正比例函数，结合图象即可求解． 【详解】解：若一个人身高为米，则， 故身体质量指数与他的体重之间的函数关系是正比例函数， ∵， ∴身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致是： 故选：C． 9. 新考法正多边形纸片的缺失如图，正n边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则n的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆满周角定理，熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键． 连接，，作正n边形的外接圆，，连接，，，， 先证明，从而由三角形内角和求得，由圆周角定理求得，从而可求得正n边形的中心角，即可求解． 【详解】解：连接，，作正n边形的外接圆，连接，，，，如图， ∵正n边形 ∴，， ∴ ∴，即， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正n边形的外接圆为， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 10. 二次函数与动直线交于，两点，线段中点为，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则是联立两个函数解析式所得方程的两个根，求出，，进而可得，可得点H在直线上运动，这是典型的“将军饮马”问题，然后设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长，勾股定理求出即可. 【详解】解：当时，整理可得：， 设， 则是上述方程的两个根， ∴， ， ∵线段中点为， ∴， ∴点H在直线上运动， 如图，设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴此时； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点、一元二次方程根与系数的关系、利用轴对称的性质求两线段和的最小值等知识，熟练掌握上述知识、得出点H的运动轨迹是解题的关键. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若，则括号内应填的代数式是_______． 【答案】3m-2##-2+3m 【解析】 【分析】将等式的右边进行因式分解，即可求解． 【详解】∵， ∴括号内的代数式为3m-2， 故答案为：3m-2． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，掌握提公因式法是解答本题的关键． 12. 如图，∠C=90°，根据作图痕迹可知∠ADC=_______°． 【答案】∠ADC=70° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求得∠CAB=40°，观察作图痕迹知AD平分∠CAB，即可得∠DAB=20°，利用三角形外角的性质即可求得∠ADC的度数． 【详解】∵∠B=50°，∠C=90°， ∴∠CAB=40°， 观察作图痕迹知：AD平分∠CAB， ∴∠DAB=20°， ∴∠ADC=50°+20°=70°， 故答案为70． 【点睛】本题考查了尺规作图的知识，根据作图痕迹得到AD平分∠CAB是解决本题的关键． 13. 已知A种菌群的生长温度是的取值范围是，B种菌群的生长温度的范围是，将两种菌群在一个实验室培育，实验室适合的温度的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，利用了不等式的解集的表示方法，根据不等式解集的表示方法，可得答案． 【详解】解：A种菌群的生长温度是的取值范围是，B种菌群的生长温度的范围是， 将两种菌群在一个实验室培育，实验室适合的温度的取值范围是， 故答案为：． 14. 《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意可得：， 解得， 解得（舍去）， 故答案为：． 15. 如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：设点，则点 将点，点代入反比例函数中， 得， 解得． 点， ． 故答案为：4 16. 如图一块矩形铁板，其中，现需要将此铁板裁剪直角三角形形状，且需要以为斜边，直角顶点在上，则长为______m． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，以为直径作圆，交于， 四边形是矩形， ， 为直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：和． 三、解答题（共86分） 17. 先化简，再取一个合适的整数x，使得分式的值为整数，并求此时分式的值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握分式的运算法则是解题的关键．先通分，再进行分式的减法，再约分化简，得出，然后把代入，即可作答． 【详解】解： ， ，当时，则． 18. 睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间（单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图． 所抽取学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 人数/名 组内睡眠总时间 5 28 10 66 150 15 126 10 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组； （2）求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数； （3）由于初中生的身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数． 【答案】（1）见解析；C （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，求平均数，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）先求出C组的人数，再补全统计图，接着根据中位数的定义求解即可； （2）先求出所有组别的睡眠总时间之和，再除以60即可得到答案； （3）用1500乘以样本中睡眠时间不少于8小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 补全统计图如下： 把这60名学生的睡眠时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第30名和第31名学生的睡眠时间的平均数， ∵， ∴中位数落在C组； 【小问2详解】 解：， ∴所抽取学生每天的睡眠时间的平均数为； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数为人． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，即可证明； （2）由（1）知，得到，继而得到． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ． 20. 某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地铁建设，无法直接测量），活动记录表如下： 活动任务：测量两栋楼房之间的楼间距 活动过程 测量工具 如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域 测量方案 如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点的正上方高空处，测得点处的俯角为，点处的俯角为（参考数据：，，） 实地测量草图 备注 楼的高度为，楼的高度为，点，，在同一条直线上，，，均垂直于， 任务目标 求楼与之间的距离（结果保留1位小数） 请结合表中相关数据完成任务目标． 【答案】60.6m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先作，作，求出，再说明为等腰直角三角形，可得，然后设，表示，最后根据得出方程，求出解即可． 【详解】解：如答案图，过点A作于点，交于点，过点作于点， 楼高为，楼高为， ． ， ∴为等腰直角三角形， ． 设， ． ， ， ， ， 解得， ， 楼与之间的距离约为． 21. 为更好的开展科学教育，某中学计划新购进一批科学实验器材，其中物理实验器材和化学实验器材成套购买，已知1套物理实验器材的价格是1套化学实验器材价格的3倍，用1200元单独购买物理实验器材的数量比单独购买化学实验器材的数量少4套． （1）每套物理实验器材和每套化学实验器材各多少元？ （2）若学校计划购进物理、化学实验器材共300套，且物理实验器材套数不少于化学实验器材套数2倍，当购进物理、化学实验器材各多少套时花费最少？最少花费是多少？ 【答案】（1）每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元； （2）购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式，一次函数最值问题，解题的关键是熟练准确找出等量关系． （1）设每套物理实验器材x元，每套化学实验器材y元，根据两种购买方式列出方程即可； （2）设购买物理实验器材m套，则化学实验器材套，总花费w元，根据题意求得，列出一次函数并进行分析即可． 【小问1详解】 解：设每套化学实验器材x元，则每套物理实验器材元， 依题意，得， 解得， 检验：当时，分母不为0 是分式方程的解 所以，每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元； 【小问2详解】 解：设购买物理实验器材m套，则化学实验器材套，总花费w元， 依题意，得， 解得， 的最小值是200， ， 因为，所以w随m的增大而增大， 当时，w取得最小值140000元， 此时，， 所以，购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元． 22. 如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点、； ③连接，交的垂直平分线于点． （1）请依据题意完成作图；（保留作图痕迹，不写作法） （2）①试判断与的位置关系，并给出证明； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①是的切线，见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据步骤作图即可； （2）①连接，由直径所对圆周角为直角即可得出，即可证明是的切线． ②连接，由勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图， 小问2详解】 ①证明：连接， 是的直径， ，即于点， ∵是半径， 是的切线， ②连接， ，，， ， 为的垂直平分线， ，设，则， 在中， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理的推论，切线的判定．熟练掌握上述知识是解题关键． 23. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）当时，把二次函数化为顶点式即可； （2）先计算，，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可； （3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值, 由该二次函数的最大值与最小值的差为3，列出方程求解． 【小问1详解】 解：若， ，顶点坐标； 【小问2详解】 把代入得： 把代入得：． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； 【小问3详解】 ∵二次函数的对称轴为， 当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴点抛物线对称轴的左侧， 点抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即，的最大值是 ∴． 解得：（舍去）． 若，即，的最大值是， ∴． 综上，的值是． 24. 课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据矩形的判定即可得证； ②设，则，，根据矩形的性质和勾股定理可得，过点作于点，设与交于点，则四边形都是矩形，再根据等腰三角形的性质可得，然后解直角三角形可得，根据等腰三角形的判定可得，设，则，在中，解直角三角形可得，最后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． ②由题意，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级第二次模拟检测 数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 甲、乙、丙、丁四地的海拔分别是、、、，海拔最低的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 已知三视图轮廓的孔形样板如图所示，请你选出一个塞子，使得它能够堵住孔形样板上的每一个洞．（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 对于代数式，以下结论正确的是（ ） A. 该代数式有最小值为2 B. 该代数式的值可以是任意的数 C. 化简的结果是 D. 使该代数式的值为3的的值是4 8. 现代营养学家通常用身体质量指数（简称）作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标．身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米）的关系是．若一个人的身高为米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 新考法正多边形纸片的缺失如图，正n边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则n的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 10. 二次函数与动直线交于，两点，线段中点为，，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若，则括号内应填的代数式是_______． 12. 如图，∠C=90°，根据作图痕迹可知∠ADC=_______°． 13. 已知A种菌群的生长温度是的取值范围是，B种菌群的生长温度的范围是，将两种菌群在一个实验室培育，实验室适合的温度的取值范围是______． 14. 《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为________m． 15. 如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则_________． 16. 如图一块矩形铁板，其中，现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状，且需要以为斜边，直角顶点在上，则长为______m． 三、解答题（共86分） 17. 先化简，再取一个合适的整数x，使得分式的值为整数，并求此时分式的值． 18. 睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间（单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图． 所抽取学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 人数/名 组内睡眠总时间 5 28 10 66 150 15 126 10 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组； （2）求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数； （3）由于初中生身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数． 19. 如图，点、、、同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地铁建设，无法直接测量），活动记录表如下： 活动任务：测量两栋楼房之间楼间距 活动过程 测量工具 如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域 测量方案 如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点的正上方高空处，测得点处的俯角为，点处的俯角为（参考数据：，，） 实地测量草图 备注 楼的高度为，楼的高度为，点，，在同一条直线上，，，均垂直于， 任务目标 求楼与之间的距离（结果保留1位小数） 请结合表中相关数据完成任务目标． 21. 为更好的开展科学教育，某中学计划新购进一批科学实验器材，其中物理实验器材和化学实验器材成套购买，已知1套物理实验器材的价格是1套化学实验器材价格的3倍，用1200元单独购买物理实验器材的数量比单独购买化学实验器材的数量少4套． （1）每套物理实验器材和每套化学实验器材各是多少元？ （2）若学校计划购进物理、化学实验器材共300套，且物理实验器材套数不少于化学实验器材套数的2倍，当购进物理、化学实验器材各多少套时花费最少？最少花费是多少？ 22. 如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点、； ③连接，交的垂直平分线于点． （1）请依据题意完成作图；（保留作图痕迹，不写作法） （2）①试判断与的位置关系，并给出证明； ②若，，求的长． 23. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 24. 课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$