精品解析：2024年山东省乐陵市宁津县联考九年级第二次练兵考试数学试题

二0二四年初中学业水平模拟考试 数学试题 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列选项中，比小的数是（ ） A B. 0 C. D. 2. 2023年6月， 国防大学研制的中国超级计算机“天河二号”以每秒338600000亿次的浮点运算速度，成为全球最快的超级计算机．数字338600000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形是棱锥侧面展开图的是（　　） A. B. C. D. 6. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班A、B两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如图表，有关数据分析正确的是（ ） A 组 6 7 8 8 8 9 10 B组 4 7 8 8 8 9 12 A. B. C. D. 7. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C D. 9. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 10. 已知关于x的方程的两根为、，且则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 以上都不是 11. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小題填对得4分． 13. 的整数部分是_____． 14. 春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为_________． 15. 如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为________ cm． 16. 如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，得到，则图中阴影部分的面积为_____． 17. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为__________． 18. 如图， 点C是线段上的动点，分别以、为边在 的同侧作正方形与正方形，连接交线段于点H，连接，．下列结论①，②，③；④；其中正确的有______．（只填序号） 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：， （2）计算： 20. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从九年级随机抽取部分学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常； B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的九年级学生的实力在C组的数据如下表： C组视力 4.6 4.7 48 人数 5 16 3 （1）被抽取的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）被抽取学生视力的中位数为 ，众数为 ；扇形统计图中，C组对应的圆心角为 度； （3）该校九年级共有学生540人，请估计九年级学生视力正常的人数； （4）根据以上数据分析，请对该校九年级学生的视力情况作出评价，并写一条保护眼睛的倡议书． 21. 如图2是摩天轮图1的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走到达 C，再经过一段坡度（或坡比）为，坡长为的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向右行走到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内），在 E 处测得摩天轮顶端A的仰角为，求摩天轮AB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：） 22. 某水果店配装一种果篮需要，两种水果，种水果的单价比种水果单价少3元，若用600元购进种水果和用900元购进种水果数量一样多，配装一个果篮需要种水果4斤和种水果2斤，每个还需包装费8元．市场调查发现：设每个果篮的售价是元是整数），该果篮每月的销量（个与售价（元的关系式为． （1）求一个果篮的成本（成本进价包装费）； （2）若销售这种果篮每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式，并求出当售价为多少时，销售利润最大？ （3）若要使销售这种果篮每月的利润不低于5000元，求该种果篮的销售量的取值范围． 23. 如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且． （1）求证：直线是是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 24. 中，，点O是斜边上一点，将线段绕点O旋转至 ，点D在直线外． （1）如图1，当点O为的中点时， 连接．求的度数； （2）如图2，在(1) 的条件下， 过点D作交边于点 E，当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，连接，，若，，，求 的最小值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与x轴交于点 A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，其顶点为D，且与y轴交于点 E． （1）当时，求点D的坐标； （2）如图2，连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； （3）如图3，以为邻边作矩形，若抛物线与矩形的边恰有两个交点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二0二四年初中学业水平模拟考试 数学试题 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列选项中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关键． 根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：， 比小的数是， 故选：D． 2. 2023年6月， 国防大学研制的中国超级计算机“天河二号”以每秒338600000亿次的浮点运算速度，成为全球最快的超级计算机．数字338600000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，n为整数，正确确定a的值是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法表示即可. 【详解】解：338600000用科学记数法表示为． 故答案：C． 3. 2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某个点旋转180度能够与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项、完全平方公式、单项式除以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、单项式除以单项式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 5. 下列图形是棱锥侧面展开图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键． 由棱锥的侧面展开图的特征可知答案． 【详解】解：棱锥的侧面展开图是三角形． 故选：D． 6. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班A、B两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如图表，有关数据分析正确的是（ ） A 组 6 7 8 8 8 9 10 B组 4 7 8 8 8 9 12 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差与平均数，熟练掌握平均数与方差公式是解题的关键；因此此题可根据题中所给数据及方差、平均数公式可进行求解． 【详解】解：A组：， ； B组：， ； ∴； 故选A． 7. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与性质．熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 由，在同一个函数图象上，可知，关于轴对称，由，，在同一个函数图象上，且，，可知当时，随着的增大而增大，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，在同一个函数图象上， ∴，关于轴对称， ∴A、C不符合要求； ∵，，在同一个函数图象上，且，， ∴当时，随着的增大而增大， ∴B不符合要求；D符合要求； 故选：D． 9. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点对应点恰好落在上．若，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意求出，然后根据折叠的性质得到，，，进而求出，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕， ∴，， ∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质． 10. 已知关于x的方程的两根为、，且则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先根据判别式得到，再把代入得，然后把代入得，即可求解. 【详解】解：方程的两根为、，且， ，即， 把代入得：， ， ， 把代入得：， 解得， 故选A． 11. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本作图得到垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质对选项进行判断；证明为的中位线，利用中位线的性质判定B选项；由， ，可计算出，则，可对C选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分，， ，，，所以A选项正确，不符合题意； ，， ∴是的中位线， ，，所以B选项正确，不符合题意； ， ， ∵， ， ， ， ，所以C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ，， ， ， ， 设，，得， 解之得（负舍）， ∴， ∴， ， ∴． 所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴负半轴上，纵坐标为0，根据，，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，每4个为一组， ∵， ∴在x轴负半轴上，纵坐标为0， ∵，，…… ∴当时，的横坐标为2， 当时，的横坐标为1， 当时，的横坐标为0， …… 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则 ∴的坐标是． 故选：C 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小題填对得4分． 13. 的整数部分是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据实数的估算，由平方数估算出的近似值可得到整数部分． 【详解】∵3＜＜4， ∴的整数部分是3． 故答案为3． 【点睛】此题考查实数的估算，熟记常见的平方数． 14. 春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是树状图法求概率，解题关键是熟练掌握树状图法． 通过树状图列出所有可能性后，再根据概率所求情况数与总情况数之比即可求解． 【详解】解：把三部影片分别记为、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有种， 琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为． 故答案为：． 15. 如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为________ cm． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数F关于L的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数F关于L的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，F随L的增大而减小， 当时，可有， ∵L越大，弹簧秤的示数F越小， ∴当时，， 即弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为35cm． 故答案为：35． 16. 如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，得到，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质以及正多边形与圆，根据对称性将阴影部分的面积转化为，根据勾股定理求出圆的半径，再由扇形面积、弓形面积的计算方法进行计算即可．掌握正方形的性质，勾股定理以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形是的内接正方形，， ∴，， ∴是的直径，， ∴的半径为， 又∵圆和正方形都是轴对称图形， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 17. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个方程的解，再解不等式组，根据题意可得且，即可解答． 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得：， 由，得：， 由，得：， 均是不等式组的解， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解题意，熟练解一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 18. 如图， 点C是线段上的动点，分别以、为边在 的同侧作正方形与正方形，连接交线段于点H，连接，．下列结论①，②，③；④；其中正确的有______．（只填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，圆周角定理，正方形的性质等知识，连接，利用证明即可判断①、③；证明C、E、D、H四点共圆即可判断②，证明即可判断④。 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 故①错误、③正确； ∵， ∴C、E、D、H四点共圆， ∴，， 故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 故答案为：②③④. 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：， （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、负整数指数幂、锐角三角函数及二次根式，再进行实数的混合运算即可； （2）根据分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、分式的混合运算、特殊角的锐角三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从九年级随机抽取部分学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常； B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的九年级学生的实力在C组的数据如下表： C组视力 4.6 4.7 48 人数 5 16 3 （1）被抽取的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）被抽取的学生视力的中位数为 ，众数为 ；扇形统计图中，C组对应的圆心角为 度； （3）该校九年级共有学生540人，请估计九年级学生视力正常的人数； （4）根据以上数据分析，请对该校九年级学生的视力情况作出评价，并写一条保护眼睛的倡议书． 【答案】（1）60，补全图形见解析 （2），，144 （3）估计九年级学生视力正常的人数为135人 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的意义以及统计图，样本估计总体： （1）根据表格条形统计图可得B组人数，再根据扇形统计图可得B组占比，再根据D组占比得出D组人数，补全条形统计图即可； （2）从条形统计图可得中位数和众数，先求出C组占比，再求出C组对应的圆心角即可； （3）用样本估计即可； （4）先求出该校九年级学生视力正常只有，视力中度不良和重度不良的有，众数、中位数偏低，由此判断该校学生视力不佳即可． 【小问1详解】 解：根据表格条形统计图可得B组人数为12人，再根据扇形统计图可得B组占比为， 被抽取的学生共有（人）， D组人数为（人）， 补全条形统计图如图： 【小问2详解】 解：由条形统计图可得被抽取的学生视力的中位数为，众数为； C组占比为， C组对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计九年级学生视力正常的人数为135人； 【小问4详解】 解：该校九年级学生视力正常只有，视力中度不良和重度不良的有，众数、中位数偏低，由此判断该校学生视力不佳. 倡议书：认真做眼睛保健操，积极参加户外活动； 科学用眼，少玩手机、电脑等电子产品； 讲究眼睛卫生，写字时坐姿端正.（等等，合理即可） 21. 如图2是摩天轮图1的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走到达 C，再经过一段坡度（或坡比）为，坡长为的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向右行走到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内），在 E 处测得摩天轮顶端A的仰角为，求摩天轮AB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．延长交的延长线于，作于．先在中，解直角三角形求出，，再根据，构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，作于．    由题意得：四边形为矩形，则， ∵在中，， ∴设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 22. 某水果店配装一种果篮需要，两种水果，种水果的单价比种水果单价少3元，若用600元购进种水果和用900元购进种水果数量一样多，配装一个果篮需要种水果4斤和种水果2斤，每个还需包装费8元．市场调查发现：设每个果篮的售价是元是整数），该果篮每月的销量（个与售价（元的关系式为． （1）求一个果篮的成本（成本进价包装费）； （2）若销售这种果篮每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式，并求出当售价为多少时，销售利润最大？ （3）若要使销售这种果篮每月的利润不低于5000元，求该种果篮的销售量的取值范围． 【答案】（1）一盒果篮的成本为50元； （2），当时，的最大值为9000元； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键． （1）设种水果的单价为元，则种水果的单价为元，根据用600元购进种水果和用900元购进种水果数量一样多列分式方程解答； （2）根据利润每盒果篮的利润销量得到函数解析式，再根据二次函数的性质可得出结论； （3）根据（2）中二次函数的性质可直接得出结果． 【小问1详解】 解：设种水果的单价为元，则种水果的单价为元． 依题意，得， 解得：，， 经检验，是原分式方程的解， 一盒果篮的成本为：（元， 一盒果篮的成本为50元； 【小问2详解】 解：依题意，得 ， ， 当时，的最大值为9000元； 【小问3详解】 解：令， 解得或， ， ， 的取值范围为：． 23. 如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且． （1）求证：直线是是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证； （2）作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是是的切线； 【小问2详解】 解：作，垂足为E，如图所示， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24. 中，，点O是斜边上一点，将线段绕点O旋转至 ，点D在直线外． （1）如图1，当点O为的中点时， 连接．求的度数； （2）如图2，在(1) 的条件下， 过点D作交边于点 E，当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，连接，，若，，，求 的最小值． 【答案】（1）的度数为 （2）见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的判定，中垂线的判定，平行四边形的判定，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系求最值，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）由O是的中点以及旋转的性质得，，于是，再根据三角形内角和，即可求出． （2）连接，由，O是的中点，得，又得到垂直平分，结合，得，又，证得四边形是平行四边形，结合，即证得四边形是菱形． （3）在上截取，连接，证明，得到，由此转化为求最小值，点D在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，当点A、D、F共线时有最小值，即最小值为的长，过点A作于点M，证明，求得，利用勾股定理求得，即得解． 【小问1详解】 解：∵O是的中点 ∴ 由旋转的性质得： ∴ ∵ ∴ 即的度数为． 【小问2详解】 如图，连接 ∵，O是的中点 ∴ ∵ ∴垂直平分 ∵ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 如图3，在上截取，连接 ∴， 由旋转性质，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点D在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，当点A、D、F共线时有最小值，即最小值为的长，过点A作于点M ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴ 的最小值为． ∴的最小值为． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与x轴交于点 A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，其顶点为D，且与y轴交于点 E． （1）当时，求点D的坐标； （2）如图2，连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； （3）如图3，以为邻边作矩形，若抛物线与矩形的边恰有两个交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）所对应的函数表达式为或或或 （3）或 【解析】 【分析】此题是二次函数和几何综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质并结合分类讨论是解题的关键． （1）把函数图象化为顶点式并结合轴对称即可得到答案； （2）求出，，，分三种情况进行求解即可； （3）分别求出当抛物线的顶点在上时、当抛物线的顶点在上时、当抛物线经过点F时、当抛物线的经过点C时的m的值，再根据抛物线与矩形形恰有两个交点即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为． ∵，点和点D关于直线对称． ∴． 【小问2详解】 由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称 ∴ ∴抛物线： ∴当时， ∴ 中，当时，，解得 ∴ ∴ ①当时， 即 解得 ∴ ②当时， 解得 ∴ ③当时， 解得 ∴或 综上，所对应的函数表达式为或或或 【小问3详解】 中，当时，则 ∵四边形为矩形， ∴矩形为正方形， ∴点F的坐标为 当抛物线的顶点在上时 D的坐标为 当抛物线的顶点在上时, D的坐标为 当抛物线经过点F时 把代入，得 当抛物线的经过点C时 把代入，得 ∵抛物线与矩形形恰有两个交点 ∴或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$