精品解析：2025年湖南省衡阳市衡山县中考三模数学试题

2025年衡山县初中学业水平考试适应性测试数学 （本试卷共6页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 某河流水位在警戒水位以上0.6米记作米，则水位在警戒水位以下2米应记作（　　） A. 米 B. 米 C. 1.4米 D. 米 2. 《哪吒之魔童闹海》彰显了中国动画电影的国际影响力，截至2025年3月1日，累计票房突破14160000000元人民币，数据14160000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，该三明治包装盒的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m＜ B. m＞﹣ C. m＞ D. m＜﹣ 5. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. 6. 如图，点 是的边 延长线上一点，．连接 ，交 于点 ．设 ，的面积分别为，，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图， 为 的直径，与 相切于点 ，连接 与 相交于点 ，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的 可以是（　　） A. 2 B. 0 C. D. -5 9. 在平面直角坐标系中，若，则称 为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形 的四条边分别与坐标轴平行，点 的坐标为，点是正方形 边上的动点．下列说法错误的是（　　） A. 点 的“斜值”为 B. 点在边 上时，点的“斜值”随着 的增大而增大 C. 点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大 D. 点的“斜值”的最大值为 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 10. 若分式的值不存在，则_______． 11. 在体育中考模拟测试中，某班7名女同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，，，，，，，则这组数据的众数是_______． 12. 若，则_______． 13. 如图，将边长为6的 向右平移 个单位得到 ，若，则_______． 14. 如图，过正五边形的顶点 作，交 于点 ，则_______． 15. 如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率 与电阻 存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率 为，则电阻 为_______． 16. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____． 17. 如图， ．请根据作图痕迹解决下列问题：_______；若，则长为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在“开学第一课讲安全”活动中，某校开展了安全知识竞赛（百分制）活动，为了解学生的答题情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用 表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：．下面给出了不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图： 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为 度； （2）补全频数直方图； （3）该校共有2000名学生参加了此次竞赛活动，请你估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数； （4）甲、乙、丙3名同学的竞赛成绩在95分以上，学校准备从这3名同学中任选2名作国旗下的安全主题分享活动，请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 21. 如图，已知． （1）证明：． （2）连接，线段 交 于点 ．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 （1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ （2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 23. 某校数学实践小组开展测量古塔高度的实践活动，兴趣小组制定了三种不同的测量方案，具体如下： 项目 测量古塔 的高度 工具 测角仪、皮尺、测量杆等 方案 方案1 方案2 方案3 示意图 测量方案 ①在 处测得塔的顶部 的仰角； ②从 处向左行走至 处，测得塔的顶部 的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧 处测得塔的顶部 的仰角； ②从 处向左行走至 处，测得塔的腰部点 的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧距离塔底的 处垂直放置一根长的测量杆 ； ②从 处向左行走至点 处，此时 与测量杆的顶端 、塔顶 在一条直线上； ③在一条水平直线上． 问题解决： （1）直接指出所有可行方案； （2）任选一种可行方案，按照所测数据，计算古塔的高度．（精确到，参考数据：，） 24. 如图，二次函数图象与 轴交于点两点（点 在点 的右边），与 轴交于点 ． （1）求三点的坐标． （2）若点 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使是以 为底的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点 是线段 上的任意一点，若以点为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标． 25. 如图，点 ， ， 是 上的点，且点 是劣弧 的中点．作射线 ，与 的切线 交于点 ．作射线，与 的延长线交于点 ． （1）求证： 是 的切线． （2）如图1，若 的半径为6，，求线段 的长． （3）如图2，连接 并延长，交线段 于点 ．若 是 的中点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年衡山县初中学业水平考试适应性测试数学 （本试卷共6页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 某河流水位在警戒水位以上0.6米记作米，则水位在警戒水位以下2米应记作（　　） A. 米 B. 米 C. 1.4米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题正数和负数表示相反意义的量，先规定其中一个为正，则相反量就用负表示，由此即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：某河流水位在警戒水位以上0.6米记作米，则水位在警戒水位以下2米应记作米， 故选：B． 2. 《哪吒之魔童闹海》彰显了中国动画电影的国际影响力，截至2025年3月1日，累计票房突破14160000000元人民币，数据14160000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，把一个大于10的数表示成的形式（ 大于或等于1且小于10， 是正整数）， 的值为小数点向左移动的位数． 【详解】解：数据14160000000科学记数法表示为， 故选：B． 3. 如图，该三明治包装盒的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据从正面看到的图形是主视图解答即可． 【详解】解：三明治包装盒的主视图是： 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m＜ B. m＞﹣ C. m＞ D. m＜﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，即可得△＜0，继而求得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0， 解得：m＞． 故选C． 【点睛】此题考查了根的判别式．注意△＜0⇔方程没有实数根． 5. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法，根据相关运算法则计算各选项的结果后再进行判断即可． 【详解】解：A.，A选项错误； B.，B选项错误； C.C选项正确； D.D选项错误． 故选：C． 6. 如图，点 是 的边 延长线上一点，．连接 ，交 于点 ．设 ，的面积分别为，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得 ，从而可得，推出，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由四边形 是平行四边形，可得 ， ． ， ， ． ， ，， ， ， ． 故选：C． 7. 如图， 为 的直径，与 相切于点 ，连接 与 相交于点 ，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，由切线的性质可得 ，再由三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：为 的直径，与 相切于点 ， ∴ ． ， ∴， ∴， 故选：B． 8. 判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的 可以是（　　） A. 2 B. 0 C. D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，即可进行判断． 【详解】解：∵． 当时，此时“若，则”是真命题； 当时，，若，则，此时命题“若，则”是假命题． 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，若，则称 为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形 的四条边分别与坐标轴平行，点 的坐标为，点是正方形 边上的动点．下列说法错误的是（　　） A. 点 的“斜值”为 B. 点在边 上时，点的“斜值”随着 的增大而增大 C. 点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大 D. 点的“斜值”的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义是解题关键． 根据新定义及一次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：根据题意得：若，则称 为点（a，b）的“斜值”， ∴． ∵点 的坐标为， ∴点 的“斜值”为，故 选项正确，不符合题意； 点在边 上时，则，点的“斜值”随着 的增大而减小，故B选项错误，符合题意； 点在边上时，则点，点的“斜值”随着的增大而增大，故C选项正确，不符合题意； 当点在点D位置时，“斜值”最大，且“斜值”，故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 10. 若分式的值不存在，则_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式无意义，分母为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴分式中分母的值为0， ∴， ∴． 故答案为： ． 11. 在体育中考模拟测试中，某班7名女同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，，，，，，，则这组数据的众数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的众数，解题关键是理解众数的意义． 根据众数的意义求解． 【详解】∵班7名女同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，，，，，，， ∴数据“”出现了3次，其余都只出现1次，数据“”出现次数最多， ∴成绩，，，，，，的众数是． 故答案为：． 12. 若，则_______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先将原式因式分解得，再整体代入即可求出结果． 【详解】解：． 故答案为：35． 13. 如图，将边长为6的 向右平移 个单位得到 ，若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质可得平移距离． 【详解】解：， ， ． 故答案为： 14. 如图，过正五边形的顶点 作，交 于点 ，则_______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题主要考查了正五边形的内角和，垂线定义，先求出正五边形每个内角度数，根据垂线定义得出，然后求出． 【详解】解：正五边形每个内角为， 即， ， ． 15. 如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率 与电阻 存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率 为，则电阻 为_______ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据题意得出，再求出当电功率 为时 的值即可，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：滑动变阻器的电功率 与电阻 存在关系：， 由滑动变阻器的电阻时，其电功率，可得， ∴． 当电功率 为时，则， 故答案为： ． 16. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____． 【答案】（32，4800） 【解析】 【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 【详解】由题意可得，150t＝240（t﹣12）， 解得，t＝32， 则150t＝150×32＝4800， ∴点P的坐标为（32，4800）， 故答案为（32，4800）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程150t＝240（t﹣12）是解决问题的关键． 17. 如图， ．请根据作图痕迹解决下列问题：_______；若，则长为________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、作垂线，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，由作图可得射线 是的角平分线，是线段 的垂直平分线，从而可得，，过点 作交射线于点 ，由角平分线的性质定理可得，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据作图痕迹可知：射线 是的角平分线，是线段 的垂直平分线，，． 如图，过点 作交射线于点 ， 由角平分线的性质，得， ，， ． 故答案为： ，6． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据异分母分式的减法法则计算即可化简，再把x的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 20. 在“开学第一课讲安全”活动中，某校开展了安全知识竞赛（百分制）活动，为了解学生的答题情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用 表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：．下面给出了不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图： 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为 度； （2）补全频数直方图； （3）该校共有2000名学生参加了此次竞赛活动，请你估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数； （4）甲、乙、丙3名同学的竞赛成绩在95分以上，学校准备从这3名同学中任选2名作国旗下的安全主题分享活动，请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）80，36 （2） 补全频数直方图，如图所示： （3）1100人 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合应用，利用样本估计总体，利用列表法或树状图法求概率，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）C组人数除以所占的比例求出抽取的人数即可；360度乘以E组所占的比例，进行求解即可； （2）总人数减去其他已知人数，然后补全图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）利用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， 扇形统计图中 组对应扇形的圆心角， 故答案为：80，36． 【小问2详解】 解：D组的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为人； 【小问4详解】 解： 列表如下：从甲，乙，丙3名同学任选2名作国旗下的安全主题分享活动，共有6种可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学共有2种可能结果，故所求概率． / 甲 乙 丙 甲 / 甲乙 甲丙 乙 甲乙 / 乙丙 丙 甲丙 乙丙 / 21. 如图，已知． （1）证明：． （2）连接，线段 交 于点 ．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ． （2） 选择条件①，则四边形是菱形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点 是对角线 ， 的中点． ， ，即， 四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点 是对角线 ， 的中点． ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再结合已知条件可得，即可得到结论； （2）选择条件①，则四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是关键． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 （1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ （2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 【答案】（1）“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件 （2）公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是 元/件和 元/件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是 元/件和 元/件． 根据题意，得， 解得：， 答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件． 【小问2详解】 解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件． 根据题意，得：， 解得， 则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件． 23. 某校数学实践小组开展测量古塔高度的实践活动，兴趣小组制定了三种不同的测量方案，具体如下： 项目 测量古塔 的高度 工具 测角仪、皮尺、测量杆等 方案 方案1 方案2 方案3 示意图 测量方案 ①在 处测得塔的顶部 的仰角； ②从 处向左行走至 处，测得塔的顶部 的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧 处测得塔的顶部 的仰角； ②从 处向左行走至 处，测得塔的腰部点 的仰角； ③在一条水平直线上． ①在塔的左侧距离塔底的 处垂直放置一根长的测量杆 ； ②从 处向左行走至点 处，此时 与测量杆的顶端 、塔顶 在一条直线上； ③在一条水平直线上． 问题解决： （1）直接指出所有可行方案； （2）任选一种可行方案，按照所测数据，计算古塔的高度．（精确到，参考数据：，） 【答案】（1）方案1和方案3可行 （2）选择方案1，古塔的高度约为 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，相似三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意判断即可； （2）方案一、根据解三角形确定得出，即可求解；方案三：利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：方案1和方案3可行． 【小问2详解】 方案1解决过程如下：如图，在Rt中，， ， ， 在中，， ， ． ， ， 即， 解得． 答：古塔的高度约为． 方案3解决过程如下： ， ， ． ， ， 解得． 答：古塔的高度约为． 24. 如图，二次函数图象与 轴交于点两点（点 在点 的右边），与 轴交于点 ． （1）求三点的坐标． （2）若点 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使是以 为底的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点 是线段 上的任意一点，若以点为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）点 坐标为(-1，2)或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可； （2）先得到抛物线的对称轴，设点，根据列方程求出m的值即可； （3）先求出线段 ， 的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：令，得， ． 令，得， 解得或， ． 【小问2详解】 解：存在，理由如下， 抛物线的对称轴为， 设点， 三点为顶点的三角形是以 为底的等腰三角形， ， ， ， 解得 ， ； 【小问3详解】 解：令， 或 ， ， 又， ， ． 设 长为． 若，如图1． ， ， ， ， ， 点 坐标为． 若，如图2． ， ． 同理可得， ， ∴点 坐标为． 综上所述，点 坐标为或时符合题意． 25. 如图，点 ， ， 是 上的点，且点 是劣弧 的中点．作射线 ，与 的切线 交于点 ．作射线，与 的延长线交于点 ． （1）求证： 是 的切线． （2）如图1，若 的半径为6，，求线段 的长． （3）如图2，连接 并延长，交线段 于点 ．若 是 的中点，证明：． 【答案】（1）证明：如图，连接OD． ， 点 是劣弧 的中点， ． ，， ． 是 的切线， ， ， 又 是 的半径， 是 的切线． （2）12 （3） 证明：如图，连接． 由（1）知， ，， ， ． ， ． ． 点 是 的中点， ， ． ， ， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）连接．由圆周角定理可得，证明结合切线的性质可得，即可得证； （2）设，，结合勾股定理计算得出 ，，求出即可得解； （3）连接．证明得出，再证明出， ，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 设，． ，且， ， 解得， ，， ． ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $