2025年黑龙江省齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考数学押题冲刺卷（二）

2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（二） 考生注意： 1. 考试时间120分钟 2. 全卷共三道大题，总分120分 题号 一 二 三 总分 18 19 20 21 22 23 24 得分 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1．与 互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 2．剪纸是一种古老的民间艺术，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 7．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 9．如图，在中，，，，以3为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合，现将正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点重合时，停止运动．设在这个运动过程中，运动时间为秒，正方形与的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③； ④点D为对称轴上一点，当D为时周长最小； ⑤当图象经过点时，方程的两根为、，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11．智能光计算芯片据报道，清华大学研究团队首创了一种干涉——衍射分布式广度光计算架构，并研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦耳160万亿次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据160万亿用科学记数法可表示为 ． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ； 13．如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 14．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则 ． 15．如图，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为C．若，且的面积为15，则 ． 16．在矩形中，，点在上，，将矩形沿折叠，得到点的对应点为点，连接，若为等腰三角形，则的长为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点 是正六边形 的边上一动点，连接 ， 将绕点顺时针旋转，得到， 连接 ．点 从点出发，按照顺时针的方向 即以每秒个单位长度的速度 运动，则第秒时点的坐标为 ． 三、解答题（本题共7个大题，共69分） 18．（本题共2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，共10分） （1）计算： （2）因式分解：． 19．（本题满分5分）解方程： 20．（本题满分8分）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程/ 430 440 450 460 470 数量 2 3 6 5 4 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（m） A 400 400 410 B 432 m 440 C p 450 n (1)小明共调查了_________辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)由上表填空：_________，_________，并计算C型纯电动汽车的平均里程p； (4)结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 21．（本题满分10分）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 22．（本题满分10分）某实验基地装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点的距离为，记；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时（含停顿时间），关于的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题： (1)轨道的长度为______，的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 ． (2)滑块从点A到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，请直接写出的值． 23．（本题满分12分）如图．在中，，，为线段上一点，直线经过点，且，为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：． (2)如图2，作的平分线，交直线于点，当点落在上时；猜想与的数是关系，并证明． (3)已知，作射线交直线于点． ①如图3，若，当为线段的中点时，求线段的长； ②如图4，点在直线的下方，且，以为边在的右侧作正方形，当点落在射线上时，求线段的长． 24．（本题满分14分）如图，二次函数的图象经过点，和，一次函数过点B，C．点P是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． (1)直接写出二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接，连接交于点M，记面积为，面积为，在点P运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C C A A A B D 1．B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：与 互为相反数， 故选：B． 2．A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式逐项计算即可． 【详解】A. ，故该选项正确，符合题意； B. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故不正确； D. ，故不正确； 故选：A． 4．C 【分析】作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最少时的数字即可． 【详解】由所给的主视图和左视图可知： 搭成这个几何体的小正方体的个数最少个， 故选：． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是对知识点的记忆、理解能力． 5．C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得红球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在， ， 解得：，经检验是方程的解， 即n的值最可能是． 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了解分式方程．解分式方程，得，因为分式方程的解是正数，所以且，进而推断出且．进一步可得出结论． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， ∴符合条件的非正整数为0，， 和为． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． ∴小鸡的只数可能是78， 故选：A． 9．B 【分析】该题考查了动点的函数图象，根据题意解直角三角形算出，再分为①当时，正方形与的重合部分的图形是三角形，②当时，正方形与的重合部分的面积是梯形，分别解答即可． 【详解】解：， ， ①当时，；图象为开口向上的二次函数，且只有对称轴右半部分； ②当时，；图象为一次函数； 综上，可得：， ∴正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是B图象． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据抛物线的开口方向、对称轴以及与轴交点，可判断①结论；根据抛物线与轴有两个交点，可判断②结论；先判断出对称轴，再根据时，，可判断③结论；连接、、、，当、、三点共线时，周长最小，求出直线的解析式，即可判断④结论；根据二次函数与直线的两个交点，可判断⑤结论． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴， ，，， ， ，①结论正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ，②结论正确； 抛物线与轴的两个交点分别为和， 对称轴为直线， ， ， 时，， ，③结论正确； 如图，连接、、、， 点D为对称轴上一点，点、关于对称轴对称， ， 周长， 即当、、三点共线时，周长最小， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， 即当D为时周长最小，④结论正确； 图象经过点， ， 当图象经过点时，方程的两根为、， 二次函数与直线的一个交点为， 对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， ，， ，⑤结论正确； 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：160万亿即16000000000000元 ， 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，且当时，， 故答案为：． 13．120 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质、作角平分线，勾股定理，解决本题的关键是证明．由作图过程可得是的角平分线，结合题意，证明，得出根据矩形的性质进而得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点 四边形是矩形， ，， 由作图过程可知：是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，则， ， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查了根据图形面积求反比例函数的比例系数，熟练掌握根据图形面积求反比例函数的比例系数是解题的关键．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， ，， ，，， 由题意得， 则， ， 解得， ， ． 故答案为：8． 16．10或16或 【分析】分三种情况讨论，当时，连接交于点，过点作于点，过点作于点，在，通过面积法求出，再由勾股定理求出，由求出，则，可得，再解即可；当当时， 由上知，即可求解；当时，过点作于点，则，解求出，再由三线合一即可求解． 【详解】解：当时，连接交于点，过点作于点，过点作于点，在， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当时，如图： 由上知， ∴； 当时，过点作于点， ∵，即， ∴， ∴， 由上知， ∴， ∵，， ∴， 综上所述：为等腰三角形，则的长为10或16或， 故答案为：10或16或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，难度较大，注意分类讨论． 17． 【分析】本题考查了正六边形的性质，坐标与图形，旋转的性质，根据题意得出正六边形的边长为，则运动一圈的时间为秒，进而得出第秒时，点运动到点的位置，根据旋转的性质求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：正六边形的顶点，的坐标分别为，， ∴， ∴正六边形的边长为 点运动一圈的路程为， ∵点 以每秒个单位长度的速度运动， ∴运动一圈的时间为秒， （圈）， 第秒时，点运动到点的位置， ∴ ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴ 故答案为：． 18．（1）；（2） 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式= 19． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程互为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20．(1)20，图见解析 (2)72 (3)430，450，453 (4)见解析 【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用360°乘续航里程为的占比即可； （3）分别根据中位数、众数、加权平均数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】（1）（辆）， 的数量为：（辆）， 补全条形统计图如下： 故答案为：20； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：72； （3）∵B型号电动车续航里程从小到大排列后排在第10和第11位的数分别是430，430， ∴． ∵C型号电动车续航里程出现次数最多的数是450，出现了6次， ∴． ． 故答案为：430，450，453； （4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． （1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接交于点， ∵是的直径， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．(1)91，19.5，6 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解函数图象； （1）结合图2所给数据分析即可得解； （2）设解析式，代入点坐标即可得解； （3）先求出滑块从点到点A的滑动过程中，和的关系式，再结合（2）中关系式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，,， ； 根据图2可知：当时，是滑块右端与重合后，再次从右向左滑动，距离的时候， 可知返回时间为， 一半的时间为， 此时； 滑块从右向左匀速滑动的速度为； 故答案为：91，19.5，6； （2）解：当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 综上，； （3）解：同（2）方法可得滑块从点到点A的滑动过程中， 与的函数关系式为， ①当时，令，解得； ②当时，令，解得； ③当时，令，解得； ④当时，令，解得； 综上，或或或． 23．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)①；②或 【分析】（1）由旋转的性质得到，，再利用全等三角形的判定得到，即可证明； （2）利用角平分线的定义得到，利用等角对等边得到，由（1）中的结论，再利用线段的和差即可得出结论； （3）①过点作交于点，交于点，通过证明得到，利用矩形的判定得到四边形是矩形，得到，同理得到，得到，利用题目的数据求出、的长，再利用勾股定理即可求解；②作交延长线于点，由（1）得，先证明四边形是矩形，得到，，设，表示出、、，通过证明得到，解出的值即可解答． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： 是的平分线，点落在上， ， 又， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ． （3）解：①如图，过点作交于点，交于点， ， ，， ， 为线段的中点， ， 又， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理可得：， ， 又，， ，， ， 由（1）得，，， ， 线段的长为； ②如图，作交延长线于点，则， 由（1）得，， ，， ， 四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 正方形， ， 点落在射线上， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得：，， 线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、正方形的性质、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 24．(1)， (2) (3)存在，最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，得出，求出，过点作于点，则，设，则，求出，，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过点，， 所以， 再将代入，得， 解得：， 所以二次函数解析式为，即． 一次函数过点和， 代入，得，解得， 因此一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以，轴， 所以的纵坐标为2， 所以， 即有， 解得：（舍去）或， 因此． （3）解：解：存在． 在和中，因为， 所以， 于是， 从而，即， 过点作于点， 于是， 可设，则， 于是， 而， 又因为，， 所以， 因此， 又 所以， 因为， 所以存在最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$