精品解析：山东省东营市东营经济技术开发区北京师范大学东营实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期第一次形成性评价 九年级数学学科 （考试时间：120分钟，考试分数：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2. 如图，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 3. 在中，为直角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 4. 如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 5. 如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（ ） A. B. 12 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 6. 如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（ ）（其中，计算结果精确到） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 7. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）． A. 图象分布在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 8. 如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 9. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形，  ，，，，  ， 由折叠的性质可得，  ，即，  ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即，  ． 二、填空题（共8小题，11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分） 11. 反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【解析】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【解析】 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 13. 反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 14. 如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，是直角三角形，， ，， 根据正切函数的定义： ． 15. 在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 16. 如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴建筑物A、B之间的距离为米． 17. 如图，若反比例函数与一次函数交于A，B两点，当时，则x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质．根据反比例函数与一次函数的图象性质分析判断即可； 【详解】解：观察图象可知，当时，则的取值范围是或； 故答案为：或． 18. 如图，在中，，若，则的面积是________________． 【答案】## 【解析】 【分析】添加辅助线，构造等腰直角三角形，先求解的长度，再求解的长度，结合三角形的面积公式求解即可 【详解】解：过点作于点，过点作于点，交于，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 三、解答题（共7小题，19-23题每小题8分，24题10分，25题12分，共30分） 19. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（１）利用特殊角三角函数值、绝对值性质、乘方运算法则计算，再计算加法． （２）利用算术平方根性质、零指数幂法则、负整数指数幂法则、绝对值性质、特殊角三角函数值计算，再计算加减． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时， 求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数关系，待定系数法求函数解析式．函数值，掌握反比例函数关系列式的方法，待定系数法求函数解析式方法．会求函数值是解题关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【小问1详解】 解：设，依题意得 ，解得． 【小问2详解】 解：当时， 21. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 22. 如图，在中，，为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 23. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于，利用锐角三角函数的定义分别求出，再相加即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，设米， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：该主塔的高度为米． 25. 在中，点在线段上，，，， （1）若，求的长． （2）若，延长到，连接，此时，求的长． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，得出，证明，得出，即可解答； （2）过点作于点，由，推出，由，推出，在中，因为，可得，再证明，在中利用勾股定理即可解决问题； 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于点． ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点作于点． ， ， ， ， ， ， 在中，∵， ， ， ， ， ， ， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第一次形成性评价 九年级数学学科 （考试时间：120分钟，考试分数：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为直角，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5. 如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（ ） A. B. 12 C. D. 4 6. 如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（ ）（其中，计算结果精确到） A. B. C. D. 7. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）． A. 图象分布在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 8. 如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分） 11. 反比例函数中，比例系数_______． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 13. 反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 14. 如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度，则______． 15. 在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 16. 如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 17. 如图，若反比例函数与一次函数交于A，B两点，当时，则x的取值范围是________． 18. 如图，在中，，若，则的面积是________________． 三、解答题（共7小题，19-23题每小题8分，24题10分，25题12分，共30分） 19. 计算： （1）． （2） 20. 已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时， 求y的值． 21. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 22. 如图，在中，，为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 23. 如图，在中，，，，求的长． 24. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 25. 在中，点在线段上，，，， （1）若，求的长． （2）若，延长到，连接，此时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $