2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（一）

2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（一） 考生注意： 1. 考试时间120分钟 2. 全卷共三道大题，总分120分 题号 一 二 三 总分 18 19 20 21 22 23 24 得分 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1．乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2．下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 5．如图是由10个大小相同的正方体积木组合而成的几何体，拿走其中的一个积木后，下列说法错误的是（   ） A．拿走积木甲后，此几何体的主视图不变 B．拿走积木乙后，此几何体的左视图不变 C．拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变 D．拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积 6．已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 7．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 8．小明到某文具店购买若干笔记本和中性笔共花费198元，已知笔记本每本5元，中性笔每支3元，设购买笔记本x本，购买中性笔y支，x，y均为正整数，则满足条件的购买方案有（   ） A．10种 B．11种 C．12种 D．13种 9．如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11．DeepSeeK-V3是一款基于混合专家架构的大语言模型，截止2025年1月，其技术底座多达6710亿个模型参数，数据6710亿用科学记数法表示为 ． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ． 13．某同学发现家里的铁皮漏斗可以近似看作一个圆锥，测得其母线长为10cm，高度为8cm，通过计算，这个漏斗的侧面展开图的面积等于 cm2． 14．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为 ． 15．如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 16．如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，，，都是等边三角形，点都在直线上，点都在轴上，直线与轴交于点A，点与原点重合，则的坐标为 ． 三、解答题（本题共7个大题，共69分） 18．（本题共2个小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，共10分） (1)计算：； (2)因式分解：． 19．（本题满分5分）解方程：． 20．（本题满分8分）综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有竞赛成绩均不低于分）组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理，如下表． 组别 成绩/分 人数 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 其中组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，，． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：______，______．补全条形统计图． (2)组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______． (3)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 21．（本题满分10分）如图，在中，点是边的中点，且，点在边上，经过点且与边相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 22．（本题满分10分）在一条笔直的公路上依次有三地．甲、乙两车同时出发，甲车从地匀速行驶到地，1小时后按原路原速返回到地；乙车从地匀速行驶到地．在行驶的过程中，甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，请结数量合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度为___________千米/时，乙车的速度为___________千米/时； (2)求甲车从地行驶到地的过程中，距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数解析式； (3)请直接写出两车出发多少小时相距30千米． 23．（本题满分12分）【问题提出】 已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）如图（1），若正方形的边落在正方形的边上时，当时，_________； （2）如图（2），当，正方形的边的中点刚好落在点D时，求的长． （3）阅读材料并解决问题： 在中，设其中一个锐角度数为， 则， ， ，根据勾股定理：在中：， 请运用以上材料的结论，完成以下探究： 一般情形，如图（3），当旋转度数为，请你用含有a，b，m的式子直接表示出的长． 【拓展应用】 （4）如图（4），已知长方形和长方形全等，把长方形绕点A顺时针旋转，当所在的直线恰好过的中点O时，当时，请直接写出的长． 24．（本题满分14分）如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． (4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区中考押题冲刺卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C A C C D A B 1．B 【分析】本题考查绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的应用，根据题意，求出各选项数据的绝对值，根据绝对值越小，越接近标准，即可． 【详解】解：∵， ∴, ∵绝对值越小，越接近标准， ∴直径最接近标准的是． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，多项式除以单项式，积的乘方运算，完全平方公式的应用，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C 5．A 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据从前面看得到的图象是主视图，可得答案． 【详解】解：A、拿走积木甲后，此几何体的主视图有变化，故此选项说法错误，符合题意； B、拿走积木乙后，此几何体的左视图不变，故此选项说法正确，不符合题意； C、拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变，故此选项说法正确，不符合题意； D、拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积，正确，不符合题意． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， 解得：， 综上所述，a的值为4或． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率． 【详解】解：由题意得： 从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为； 故选C． 8．D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解答本题的关键． 设购买笔记本本，水性笔支，根据题意得，即，再结合、都是正整数，即可求解． 【详解】解：设购买笔记本x本，购买中性笔y支， 根据题意得：，即， 、都是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 有13种购买方案， 故答案为：D． 9．A 【分析】根据题意得到图形是由和扇形组成的，求出相关线段的长度，根据进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知， ∵点为曲线的最低点， ∴此时点运动到点H，且，，如图，连接， ∴， ∴， ∴ 由图象可知，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴该图形的面积为， 故选：A 【点睛】此题考查了扇形面积公式、勾股定理、从函数图象获取信息、等腰直角三角形的判定和性质、含角的直角三角形等知识，根据函数图象得到相关正确信息是关键． 10．B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵由图可知抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ∴， 故②错误； ③若且，则， ∴， 故③正确； ④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或， 故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握原式知识点是关键． 11． 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将6710亿写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：6710亿， 故答案为：． 12．且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 13． 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先利用勾股定理求出底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵母线长为10cm，高度为8cm， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴圆锥侧面展开图的面积， 故答案为：． 14．2.5 【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】过C作，过作轴平行线等，构造出矩形、全等三角形，以及相似三角形， 利用三角函数，设未知数，结合点在上，求出点的坐标及相关线段长度， 依据线段旋转到的条件，证明三角形全等与相似，得出更多线段长度关系，进而得到点的坐标，最后根据点在上列方程求出参数，再根据点的坐标及在上，求出的值． 【详解】过作于，过作轴的平行线于 ， 轴 轴 设交轴于 ，交轴于 则四边形为矩形 ， 轴， 设， ，点横坐标为． 又∵点在上 ， ， ， ∵线段CB逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又在上 ， ， 又 又在上 ． 【点睛】本题考查反比例函数性质、几何图形的旋转、全等三角形、相似三角形及三角函数等知识；解题关键是通过作辅助线，利用几何图形性质建立线段与点坐标关系，结合点在反比例函数图象上的性质列方程求解． 16．6或12 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，勾股定理，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解． 【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则， 菱形， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； ②若点在延长线上，如图，作于点，则， 同理①中的方法可得，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 点与点重合， ； 综上所述，的长为6或12． 故答案为：6或12． 17． 【分析】可设直线与y轴相交于C点，分别作垂直于x轴，垂足分别为E，F，G，H，．通过求交点A、C的坐标可求．根据，，都是等边三角形，得到，，，…．都是等腰三角形，从而求得，，，，…从而总结得出的纵坐标为，然后把代入，求得，则，然后把代入即可求解． 【详解】解：令，则，解得：， ∴， ∴， 设直线与y轴相交于C点，分别作垂直于x轴，垂足分别为E，F，G，H，如图， 令，则， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，， ∴ 同理，，，… ∴的纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查点坐标规律探究，一次函数的应用，正三角形的性质，三角形外角性质，解直角三角形，综合性强，难度大． 18．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，． 20．(1)；，图见解析． (2)；． (3)估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为． 【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图信息关联，计算出抽取的学生人数以及、的值； （2）根据众数、中位数定义求解即可； （3）根据题意，用样本估计整体进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，共抽取学生人， 组人数为人， 组人数为人， 即，， 补全条形统计图如下： 故答案为：；． （2）解：组数据中出现的次数最多， 组成绩的样本数据的众数是， 共抽取学生人，即样本数据共个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数， 应取样本数据从小到大排列后的第、个数据计算平均数， 又组人，组人，组人， 第、个数据分别是，， 中位数是， 故答案为：；． （3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是， 该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为人． 【点睛】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数、求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量． 21．(1)证明过程见详解 (2)的半径为，的长为 【分析】（1）如图所示，延长至点，使得，连接，根据题意可证四边形是矩形，根据矩形的性质，切线的判定方法即可求证； （2）解直角三角形得到，如图所示，连接，根据切线的性质得到，设，则，由此列式得到，可得圆的半径为，从而得到，由勾股定理即可求． 【详解】（1）证明：如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵经过点， ∴是半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知，， ∴在中，，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵经过点且与边相切于点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， 当时，原分式方程有意义， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的运用，勾股定理的计算，掌握切线的判定和性质，解直角三角形的计算方法是关键． 22．(1)120，60 (2) (3)小时，小时，小时 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙车的速度； （2）设甲车从地到地过程中与的函数解析式为，将点，代入求解，可得出解析式，并写出自变量的取值范围； （3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 甲车的速度为：（千米时）， 甲车从开始到地所需的时间为：（时）， 乙车的速度为：（千米时）， 故答案为：120，60； （2）解：由题意可得，甲车从第4小时从地返回地，且第7小时到达地，， 设甲车从地到地过程中与的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即甲车从地到地过程中与的函数解析式为； （3）解：两车出发后经过小时相距30千米， 当时， 或， 解得或； 当时， 两车的距离大于30千米； 当时， 两车的距离大于30千米； 当时， ， 解得； 由上可得，两车出发后经过小时或小时或小时时相距30千米． 23．（1）13；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）如图，过点作于点，交于点，证明四边形是平行四边形，和相似，求出，最后在中，利用勾股定理求得； （3）过点作于点，交于点，则，在中，根据，，求出及，在中，根据，，求出，及，，最后在中，利用勾股定理求出； （4）过点作于，过点作，交的延长每于点，通过得出，在中，得到，，在中，求得，及，最后 在中，根据勾股定理求得． 【详解】解：（1）在正方形和正方形中，， ， 故答案为：13； （2）如图，过点作于点，交于点， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 四边形是平行四边形， ， 点是的中点，， ， 在中，， ， ， ， ，即， ， ，， 在中，， ； ， （3）过点作于点，交于点，则， 在正方形中，， 在正方形中，，， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， （4）过点作于， 四边形和四边形是全等的矩形，， ， ， ， ， 在中，， ， 过点作，交的延长每于点，则， 在中，，， ， 在中， 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义及应用与拓展，勾股定理等知识，理解这些图形的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 24．(1) (2) (3)存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形 (4) 【分析】（1）根据点，在抛物线上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）设出点的坐标，继而得到点坐标，因为都在垂直于轴的直线上，得到，然后根据，两点之间横坐标的距离为，列出面积的函数关系式后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）存在四个这样的点．①连接点与抛物线和轴的交点，则轴，此时，可得点的坐标；②，，可得点的坐标；③此时，两点的纵坐标关于轴对称，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标为，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可得点的坐标；④同③可求出点的坐标；综合四种情况可得出，存在个符合条件的点； （4）由抛物线的对称轴是直线：，得点关于直线对称点为点，确定，取点关于轴的对称点为，连接交直线于点，交轴于点，当点、、、四点共线时，四边形的周长的最小值为，确定直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式是； （2）∵点在抛物线上，且点的横坐标为， ∴当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵是线段上的一个动点（与， 不重合），且轴， 设，则， ∵点在点的上方， ∴， ∵，， ∴、两点之间横坐标的距离为：， ∴， ∴， 当时，最大为， ∴面积的最大值为； （3）存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形． 设抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵， ∴轴，， ①如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴， ②如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴； ③如图，四边形为平行四边形，点在轴右侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； ④如图，四边形为平行四边形，点在轴左侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，存在4个符合条件的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形； （4）∵抛物线， ∴它的对称轴的解析式：， ∵，， ∴点关于直线对称点为点， ∵直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∵， ∴， 取点关于轴的对称点为， 连接交直线于点，交轴于点， ∴四边形的周长： ， 当点、、、四点共线时，取“”，此时四边形的周长的最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， 解得： ， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质，最短路径等知识点，运用了分类讨论，数形结合的数学思想方法．解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$