06 对数与对数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026数学高考大一轮总复习讲义06：对数与对数函数 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 2 【考纲要求】 2 【知识网络】 2 【考点梳理】 2 考点一、对数概念及其运算 2 考点二、对数函数及其图像、性质 4 【考向分析】 4 考向一、指数式与对数式互化及其应用 4 考向二、对数运算法则的应用 5 考向三、对数函数性质的综合应用 5 【高考解题速通】 6 【链接高考】 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【知识梳理】 【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性质 对数函数的图像与性质 对数的概念 指对互化运算 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果，那么数b叫做以a为底N的对数， 记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数恒等式： 3.对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，. 以e为底的对数叫做自然对数， . (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知 (1)； 推广： (2)； (3). (五)换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:. (2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即， 即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论: . 考点二、对数函数及其图像、性质 1.函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内， 当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴； 当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1) (1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0) (3)当a>1时， 【考向分析】 考向一、指数式与对数式互化及其应用 1．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（2025·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 考向二、对数运算法则的应用 1．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·三模）设集合，，则（    ）. A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 考向三、对数函数性质的综合应用 1．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 2．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 3．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 【高考解题速通】 1．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A．31 B．32 C．33 D．34 3．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 4．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 5．（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 6．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 7．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 9．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 10．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2016·全国I卷·高考真题）若a＞b＞0，0＜c＜1，则 A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 12．（2024·安徽·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，则的值等于 ． 16．（2025·广西河池·二模）已知，求 . 17．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 18．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 19．（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 20．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 21．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 22．（2024·江苏南通·一模）已知，则的最小值为 ． 23．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考大一轮总复习讲义06：对数与对数函数 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 5 【考纲要求】 5 【知识网络】 5 【考点梳理】 6 考点一、对数概念及其运算 6 考点二、对数函数及其图像、性质 7 【考向分析】 8 考向一、指数式与对数式互化及其应用 8 考向二、对数运算法则的应用 9 考向三、对数函数性质的综合应用 11 【高考解题速通】 13 【链接高考】 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 【知识梳理】 【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性质 对数函数的图像与性质 对数的概念 指对互化运算 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果，那么数b叫做以a为底N的对数， 记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数恒等式： 3.对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，. 以e为底的对数叫做自然对数， . (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知 (1)； 推广： (2)； (3). (五)换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:. (2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即， 即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论: . 考点二、对数函数及其图像、性质 1.函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内， 当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴； 当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1) (1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0) (3)当a>1时， 【考向分析】 考向一、指数式与对数式互化及其应用 1．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过平移得到,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得， 因为， 所以， 所以， 即，且. 因为，当且仅当时，取到最小值. 故选：B 2．（2025·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式配方可得式子的最值即可的值，结合对数函数与指数函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 等号成立， . 故选：D. 3．（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用换底公式得，令，即得解出即可. 【详解】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 4．（2025·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算和换底公式，适当放缩即可求解. 【详解】， ， 所以． 故选：D. 考向二、对数运算法则的应用 1．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可. 【详解】由，得， 即． 因为，，所以，即， 所以， 且． 因为函数在上单调递增， 又， 所以， 即， 故， 所以A正确，B，C，D错误． 故选：A． 2．（2025·安徽·三模）设集合，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再求的解. 【详解】因为，故． 故选：B. 3．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解. 【详解】由，可得，， 则， 故选：B 考向三、对数函数性质的综合应用 1．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【知识点】比较指数幂的大小、研究对数函数的单调性 【解析】利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 2．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 【知识点】函数对称性的应用、对数型函数图象过定点问题 【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可． 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点． 故选项B正确 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题． 3．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：，解得且. 所以函数定义域为. 故选：B 4．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即， ，即，综上可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 【高考解题速通】 1．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性可求得是以4为周期的周期函数，可判断A错误，代入计算可得B正确，结合周期性计算可得，即C错误，易知可得D错误. 【详解】依题意可知，； 所以，即， 因此，即， 所以可得，即是以4为周期的周期函数， 对于A，由分析可知，即A错误； 对于B，由，可知； 显然，所以， 所以，即B正确； 对于C，易知，可得C错误； 对于D，显然，即D错误. 故选：B 2．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】D 【分析】可先根据已知条件求出初始学习率和衰减系数，进而得到学习率关于训练迭代轮数的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数的最小值. 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 3．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 所以 ，当且仅当，即、时等号成立. 故选：A 4．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：，. 于是， 所以. 故选：C. 5．（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 6．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 7．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 8．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 9．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 10．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 11．（2016·全国I卷·高考真题）若a＞b＞0，0＜c＜1，则 A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 【答案】B 【详解】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 12．（2024·安徽·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 13．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 所以， 故选：B 15．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，则的值等于 ． 【答案】 【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则. 故答案为： 16．（2025·广西河池·二模）已知，求 . 【答案】9 【分析】先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果. 【详解】， 又. 故答案为： 17．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 【答案】3 【分析】先计算即可求解. 【详解】由题意有， 又，所以， 故答案为：3. 18．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 【答案】8 【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解. 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 19．（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 【答案】 【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 20．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 21．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．（2024·江苏南通·一模）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可. 【详解】令，，则，， ， 令，，则，当且仅当，即时等号成立， ，即. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 23．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$