05 指数与指数函数 讲义——2026届高三数学一轮总复习

2026数学高考大一轮总复习讲义05：指数与指数函数 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 3 【考纲要求】 3 【知识网络】 3 【考点梳理】 3 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 3 考点二、根式的概念和运算法则 4 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 4 考点四、有理数指数幂的运算性质 5 考点五、指数函数 5 【考向分析】 6 考向一、指数运算、化简、求值 6 考向二、函数的定义域、值域 6 考向三、指数函数的单调性 7 考向四、判断函数的奇偶性 7 考向五、指数函数的图象问题 8 【高考解题速通】 9 【链接高考】 1．（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 4.掌握指数函数图象： 5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 指数与指数函数 图象与性质 指数运算性质 指数函数的图像与性质 指数的概念 【考点梳理】 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念 (2)运算法则 ①； ②； ③； ④. 考点二、根式的概念和运算法则 (1)n次方根的定义： 若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. 要点诠释： n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为； n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为. (2)根式的意义与运算法则 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 考点四、有理数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如； (3)幂指数不能随便约分.如. 考点五、指数函数 (1)定义： 函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质： y=ax 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 性质 1_x0001_ 义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1 ⑤x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 【考向分析】 考向一、指数运算、化简、求值 1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 2．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 3．（2023·广西桂林·模拟预测）集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 考向二、函数的定义域、值域 1．（2025·贵州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·二模）设a，bR，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．若a<b<0，则 C．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b 3．（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川广安·一模）已知函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 考向三、指数函数的单调性 1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考向四、判断函数的奇偶性 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考向五、指数函数的图象问题 1．（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·山西朔州·模拟预测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【高考解题速通】 1．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 2．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 3．（2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 4．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11.（2025·四川·三模）已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河北·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 15．（多选）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 16．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 17．（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 18．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 19．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 20．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考大一轮总复习讲义05：指数与指数函数 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 5 【考纲要求】 5 【知识网络】 5 【考点梳理】 6 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 6 考点二、根式的概念和运算法则 6 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 7 考点四、有理数指数幂的运算性质 7 考点五、指数函数 7 【考向分析】 8 考向一、指数运算、化简、求值 8 考向二、函数的定义域、值域 9 考向三、指数函数的单调性 11 考向四、判断函数的奇偶性 13 考向五、指数函数的图象问题 13 【高考解题速通】 15 【链接高考】 1．（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. 2．（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量时，函数值的变化趋势判断C.根据函数性质，判断B. 【详解】函数的定义域为，排除选项D； ， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A； 当时，； 当时，，排除选项C； 综上所得，选项B符合题意． 故选：B． 3．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数的取值规律，由条件列不等式求的范围，可得结论. 【详解】（1）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， （2）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 4．（2023·河南·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解； 方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解； 【详解】方法一：函数， 因为，所以， 所以.所以. 所以，即. 当时，； 当时，. 故的值域为. 故选：B. 方法二：由，得. 因为，所以，解得. 当时，； 当时，. 所以的值域为. 故选：B. 5．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上递增. 注意到， 所以B选项符合. 故选：B 【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 4.掌握指数函数图象： 5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 指数与指数函数 图象与性质 指数运算性质 指数函数的图像与性质 指数的概念 【考点梳理】 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念 (2)运算法则 ①； ②； ③； ④. 考点二、根式的概念和运算法则 (1)n次方根的定义： 若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. 要点诠释： n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为； n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为. (2)根式的意义与运算法则 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 考点四、有理数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如； (3)幂指数不能随便约分.如. 考点五、指数函数 (1)定义： 函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质： y=ax 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 性质 1_x0001_ 义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1 ⑤x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 【考向分析】 考向一、指数运算、化简、求值 1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 2．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 【答案】D 【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可. 【详解】解：因为， 所以. 故选：D． 3．（2023·广西桂林·模拟预测）集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，由此求出，进而可求出，再根据并集的定义即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得， 则，所以， 所以. 故选：A. 考向二、函数的定义域、值域 1．（2025·贵州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数性质求解集合，再确定集合的范围，最后根据交集的定义求出. 【详解】因为函数在R上单调递增，，，，，，且，所以集合. 集合，由于指数函数的值域是，所以集合. 那么. 故选：B. 2．（2025·山东菏泽·二模）设a，bR，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．若a<b<0，则 C．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b 【答案】C 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，当且仅当a＝b＝1时取等号，C正确； 对于D，取满足，而不成立，D错误. 故选：C 3．（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可. 【详解】依题意，函数的定义域为， ，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足. 故选：C 4．（2023·四川广安·一模）已知函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 【答案】A 【分析】求出以及的表达式，根据函数的对称性，即可判断各项，得到结果. 【详解】对于A项，由已知可得，， 所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为，则，故B项错误； 对于C项，，则，故C错误； 对于D项，因为，则，故D错误. 故选:A. 【点睛】设的定义域为. 对于，若恒成立，则的图象关于直线对称； 对于，若恒成立，则的图象关于点对称. 考向三、指数函数的单调性 1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得当时，，不等式可得，根据函数奇偶性、单调性及列式求解即可. 【详解】因为是上的奇函数， 所以，解得． 易知当时， 因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减．因为，， 所以不等式可化为，即， 则，又，所以，则， 由函数的单调性可知，解得或． 故选：A． 3．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 考向四、判断函数的奇偶性 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果. 【详解】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得，即的取值范围为. 故选：B. 考向五、指数函数的图象问题 1．（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负. 【详解】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 2．（2025·山西朔州·模拟预测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用定义域排除D，再利用奇偶性排除A，最后利用基本不等式分别求解和的值域排除C，即可求解. 【详解】的定义域是，关于原点对称，排除选项D， 因为， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除A， 当时，， （等号条件为即，故等号不成立）， 当时，， （等号条件为即，故等号不成立），排除C，只有选项B符合题意. 故选：B. 【高考解题速通】 1．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 【答案】D 【分析】代入中求出的值，在利用分段函数代入求出即可. 【详解】由题可知， 解得，则. 故选：D. 2．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 【答案】C 【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误； 这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确； 这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误. 故选：C 3．（2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】． 故选：A． 4．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：D. 5．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 6．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 7．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答. 【详解】函数，， 则，显然，且，AB错误； ，D正确，C错误. 故选：D 8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 其否定为：，，而函数的值域为， 由“，”为假命题，得“，”为真命题，则， 所以的取值范围是. 故选：C 9．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 10．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断的单调性与奇偶性，依题意可得对于任意恒成立，再分，两种情况讨论，当时参变分离可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 11.（2025·四川·三模）已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质即可得到其单调性，则得到不等式，解出即可. 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 12．（2025·河北·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由指数函数单调性可判断必要性，由特殊值可判断充分性. 【详解】由可得，又由，可得， 又由不一定可得， 反例：当时，成立，但， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 13．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 14．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析，即可判断和选择. 【详解】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数； 又，当时，令， 因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增， 故在单调递减，故AB都错误； 对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数； 又，当时，均为减函数，故为上的减函数， 故为上的增函数，故C错误，D正确. 故选：D. 15．（多选）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 【答案】ACD 【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D. 【详解】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是推导出的对称中心为，且在定义域上单调递增，从而将不等式转化为恒成立. 16．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 【答案】2783 【分析】将化为，可得。由此采用两项并项求和，即可求得答案. 【详解】由知， 设，则， 对照系数，得，则，即， 则， 的图象关于点中心对称； 故． 即 ， 故答案为：2783 17．（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 【答案】5 【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出. 【详解】依题意，，整理得，则， 而，因此，又，则，而， 所以. 故答案为：5 18．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由函数的单调性即可求解. 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 19．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域可求得函数的值域；计算的值，可得出曲线的对称中心坐标. 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 20．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 21．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案. 【详解】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$