精品解析：2025年山东省临沂市蒙阴县中考数学模拟试题　

九年级二轮复习验收考试试题 数学 2025.5 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下面是入围年北京冬奥会会徽设计评选的四副作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，中心对称图形关键是要找准对称中心． 2. 是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的方向与位数有关，本题中首先把亿展开，可得：，用科学记数法表示，需要把小数点向左移动位，所以为． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定m,n的取值范围，再进一步判断，即可． 【详解】由数轴知， ∴，； 故选：C． 【点睛】本题考查数轴以及数轴上点表示的数，根据数轴得出m，n的取值范围及大小关系是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，平方差公式和完全平方公式，根据相关运算法则计算出各选项结果后再进行判断即可 【详解】解：A. ，原选项计算错误，故选项A不符合题意； B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C. ，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D. ，原选项计算正确，故选项D符合题意； 故选：D 5. 小红想在2个“冰墩墩”和2个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：2个“冰墩墩”用A、B表示，2个“雪容融”分别用C、D表示， 根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有8种， 则小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是； 故选：C． 【点睛】本题考查了用列举法求解概率的知识，熟练掌握列举法的基本原理，列出所有可能的结果是解答本题的关键． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键． 根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故选A． 7. 某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，据此列出分式方程即可． 【详解】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为， 则依据题意有：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键． 8. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．根据图1和图2判断为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：连接， 在菱形中，， ∴为等边三角形， 设，由图2可知，的面积为， ∴的面积 解得：(负值已舍) 故选：A 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据，得，求出．作轴于点，设直线与轴交于点，根据，得，所以，即可得到点点，，代入即可求出答案． 【详解】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点， 点，，， 点，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴点，， 点A，是函数图象上的两点， ∴， 解得， ∴ 故选：B． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键． 根据分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故答案为： ． 11. 一元一次不等式组：的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤． 利用解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为：， 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确利用相似求出是解题的关键．利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等，可得，进而可得，利用相似三角形的性质，求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵E为边的中点， ∴， ∴ ∴或（舍去）． 故答案为：． 13. 如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心、以的长为半径画弧，分别交、的延长线于点F、G．连接、，则等于________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，根据正五边形的性质可得，，从而得到，然后根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形为正五边形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴． 故答案为： 14. 定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为_____． 【答案】158404 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，因式分解的应用等内容，解题的关键是找出规律． 根据新定义表示出“双方数”，然后进行因式分解，找出“双方数”的规律进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵的算术平方根是一个正整数， 是一个完全平方数， 是奇数， 只能是奇数的平方，从小到大依次是， 那么 “双方数”从小到大依次为， 第100个“双方数”为158404， 故答案为：158404． 三、解答题（本大题共7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，求一个数的绝对值，分式的化简求值等知识点，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）利用特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，求一个数的绝对值等运算法则进行计算即可； （2）先对分式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时，代入上式， 原式． 16. 已知反比例函数，正比例函数，请根据表中数据，回答下列问题． 1 （1）试求表格中，的值，并画出正比例函数的大致图像； （2）当时，直接写出的取值范围． （3）当，反比例函数与正比例函数交于点，在轴上存在点使得面积是3，请直接写出点坐标． 【答案】（1），， 如图所示 （2）或 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、正比例函数的图象与性质、解分式方程，三角形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可，再根据表格画出函数图象； （2）由题意可得，再结合函数图象即可得解； （3）根据函数图象结合（2）求出点A的坐标，再由的面积，可求出长，即可得解． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， ∴反比例函数解析式为， 将代入，得 ， ∴． 将代入，得 ，解得， ∴， 当时，． 【小问2详解】 由，得，从图像可得 当或时，． 【小问3详解】 由图像及（2）可知，当且时，，则． ∴，即点A到x轴的距离为1． ∵ ∴ ∴点P坐标为或． 17. 如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适． （1）如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）． （2）如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据） 【答案】（1）托片底部点C离底座的高度为，不符合小明使用的舒适要求； （2）要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数是解题关键． （1）过点作于点，于点，利用余弦值，求出，进而得到，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作于点，于点，由题意可知，利用三角函数分别求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，于点， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ， ， ，即托片底部点C离底座的高度为， ， 不符合小明使用的舒适要求； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，于点， 四边形是矩形， ， 点C离底座的高度不小于时，才感觉舒适， 点C离底座的最低高度舒适要求为， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 即要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求． 18. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为9，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆内接四边形的性质、解直角三角形、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由等边对等角结合角平分线的定义可得，推出，结合题意得出，即可得证； （2）由圆内接四边形的性质证明出，再证明出，结合，得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的直径为9，为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值） ② 其中总评在91~94分的选手成绩如下： 93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91 ③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 93 90 92 91.6 小武 90 85 96 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）45名选手初赛成绩的中位数为 分； （3）总评在91~94分选手成绩的众数为 分； （4）上表中a = 分； （5）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如下： ； （2）91 （3）91 （4）89.2 （5） 解：小文， 理由如下： 由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2； 由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分， ， 根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛，而小文的成绩大于成绩中位数， 小文能进入决赛． 【解析】 【分析】（1）先求出第5组人数，补全频数分布直方图即可得到答案； （2）由45名选手初赛成绩的频数分布直方图，结合中位数求法得到中位数在第4组，将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列即可得到答案； （3）由总评在91~94分的选手成绩，结合众数定义求解即可得到答案； （4）由笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩，由加权平均数求解即可得到； （5）由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2；由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分，比较小文、小武成绩与成绩中位数大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知第5组人数为； 【小问2详解】 解：如图所示： 45名选手初赛成绩的中位数是第23名的成绩，则中位数在第4组， 将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列： 91 91 91 91.5 91.6 92 92 92.2 92.6 93 93.5 93.8 45名选手初赛成绩的中位数为91分； 【小问3详解】 解：由总评在91~94分的选手成绩如下： 93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91 总评在91~94分选手成绩的众数为91； 【小问4详解】 解：初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 93 90 92 91.6 小武 90 85 96 由小文的总评成绩即可得到小武的总评成绩为； 【小问5详解】 略 【点睛】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、计算中位数、计算众数、计算加权平均数、利用中位数做决策等知识，熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． 20. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状 （是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为 ． （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，补全图形，求的长． 【答案】（1）是， （2）点的位置如下图所示： （3）补全如下面两图所示，的长为15或． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图——角平分线，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数解直接三角形，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． （1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形； 问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图即可； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，然后利用相等角得出，求出即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【小问1详解】 解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，, ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点 【小问3详解】 解：①如图所示， 当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，． 由题意，得， ，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， 解得. ； ②如图所示， 当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为15或． 21. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级二轮复习验收考试试题 数学 2025.5 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下面是入围年北京冬奥会会徽设计评选的四副作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小红想在2个“冰墩墩”和2个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 7. 某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 11. 一元一次不等式组：的解集是_____． 12. 如图，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为_____． 13. 如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心、以的长为半径画弧，分别交、的延长线于点F、G．连接、，则等于________． 14. 定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 16. 已知反比例函数，正比例函数，请根据表中数据，回答下列问题． 1 （1）试求表格中，的值，并画出正比例函数的大致图像； （2）当时，直接写出的取值范围． （3）当，反比例函数与正比例函数交于点，在轴上存在点使得面积是3，请直接写出点坐标． 17. 如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适． （1）如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）． （2）如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据） 18. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为9，，求的值． 19. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值） ② 其中总评在91~94分的选手成绩如下： 93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91 ③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 93 90 92 91.6 小武 90 85 96 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）45名选手初赛成绩的中位数为 分； （3）总评在91~94分选手成绩的众数为 分； （4）上表中a = 分； （5）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 20. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状 （是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为 ． （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，补全图形，求的长． 21. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $