2025年九年级中考数学复习-圆周角定理综合题典型题型

2025年九年级中考数学复习-圆周角定理综合题典型题型 1．如图，以的边为直径作，与交于点，点是的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．如图，已知是的直径，是上一点，是的切线，且于点，延长交于点，连接交于点，连接，，． (1)求的长度； (2)求阴影部分的面积． 3．如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，直接写出阴影部分的面积． 4．如图，是的一条对角线，且，的外接圆与边交于点．连结． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，且，求的长． 5．已知，的半径与弦交于点．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长． 6．如图1，以的直角边为直径作，交斜边于点D，E是的中点，连接，． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点F在的延长线上，点M在线段上，于点N，交于点G．求证：． (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 7．如图，是的直径，是的弦，是上一点连接，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，弦．若，，求长． 8．如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与的延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交直线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 9．如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E． (1)求证：； (2)如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积． 10．如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． (1)在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； (2)在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 11．如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 12．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E． (1)求证：． (2)已知，过点O作于点F，若P为上一动点，且，求的长． 13．如图，中，，以为直径作，与边交于点D，过点D的的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． (1)求证：； (2)当直径平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 15．如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点．若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学复习-圆周角定理综合题典型题型》参考答案 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得，再根据为直径，则，结合，证明，根据切线的判定定理证明； （2）过点F作于点G．根据角平分线的性质得到，根据正弦的定义计算即可得．，由（1）得，，得，结合，在中，，解得． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． ∴． ∵为直径， ∴是的切线； （2）解：过点F作于点G． ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得． ∴， 在中，， ，， 在中，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定定理、角平分线的性质、正弦的定义，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，掌握切线的判定定理、角平分线的性质定理是解题的关键． 2．(1) (2) 【分析】（1）先由圆周角定理求出相关圆周角与圆心角度数，再由圆的性质得到是等边三角形，从而得到，，再结合切线性质、垂直定义得到相关角度，在中，由含的直角三角形性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）在中，由直角三角形两锐角互余得到，进而判断是等边三角形，再由两个三角形全等的判定与性质得到，从而得到，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，则， ， 是等边三角形， ，， 是的切线， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， 是的直径， ， 在中，， ， ； （2）解：在中，，，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、切线性质、含的直角三角形性质、直角三角形两锐角互余、解直角三角形、两个三角形全等的判定与性质、扇形面积公式等知识．熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，扇形面积的求解，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角证明，再由圆的切线得到，即可求证； （2）连接，记与交于点，由圆周角定理得，则，解求出，求出，，，可求，，则由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ ∴； （2）解：连接，记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．(1)见详解 (2)见详解 (3)6 【分析】（1）连接、，连接并延长交于点，可得垂直平分，则，由三角形内角和定理得出，由等边对等角以及圆周角定理得出，再根据平行四边形的性质得出，进而得出，进一步即可得出是的切线． （2）由等边对等角，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质得出，即可证明． （3）连接过点B作于点F，由等腰三角形三线合一的性质可知，由，设，，得出，最后根据勾股求解即可． 【详解】（1）证明：连接、，连接并延长交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）解：连接、，连接并延长交于点， 由（1）可知，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴设，， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得：（舍去）或， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，正切的定义，相似三角的判定，圆切线的判定，等腰三角形三线合一等知识，掌握这些性质是解题的关键． 5．(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由垂径定理的推论结合同圆中弧与弦的关系即可求证； （2）延长交于点，连接，由圆周角定理得到，那么，再由圆周角定理得，结合对顶角相等即可求证； （3）连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，可得 ，由等角正确相等得到，设，则，则，由勾股定理求出，则，由，得到，那么，，在中，由勾股定理建立方程 ，求解，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵，经过圆心， ∴， ∴； （2）证明：延长交于点，连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，    ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，设，则， 则，， ∴， 解得：（舍负）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理推论，勾股定理，解直角三角形的相关运算，矩形的判定该与性质等知识点，难度较大，计算复杂，正确添加辅助线解三角形是解题的关键． 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂线的定义可得，再由圆周角定理可得，根据直角三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，利用等量代换可得，再根据切线的判定即可求解； （2）根据垂线的定义和对顶角相等可得，再由圆周角定理可得，利用等量代换可得，从而可证，可得即可得出结论； （3）利用三角函数求得，，证明，可得，从而求得，，证明求得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， 在中，，即， ∵是的直径， ∴， ∴， 在中， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵，是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即. （3）解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； （1）连接，先根据圆周角定理得到，可得，再由同弧所对圆周角是圆心角的一半，可得，结合已知可得，进而可得，由此得出结论； （2）过点作，垂足为，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，，再证明 即可解题． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵为的直径， ， ， 又∵， ∴， 又∵ ∴， ， ， ， ， （2）解：过点作，垂足为，如图2， 由（1）得， ∴， 设的半径， ∵，， ∴ ，， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴ 8．(1)见解析； (2)． 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等角对等边可得，等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，可证，根据切线的定义可知，从而可证； 设的半径为，则，，根据，可证，根据相似三角形的性质可得，解方程即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ； （2）解：， 设，则， ， 设的半径为， 则，， ， ， ， ， ，即的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到边之间的关系，根据边之间的关系求出圆的半径． 9．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意，得，则，因为，所以，即可证明，则； （2）证明，得，得，证明是等边三角形，得，，再证明，得，，由勾股定理得，求出，，从而求出． 【详解】（1）证明：∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，如图， ∵点D为的中点， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、角平分线定义、切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、求扇形面积等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．(1)①或②或③ (2)①证明见解析；② 【分析】（1）选择①：证明，则，由圆周角定理得到，而，那么，则，故，即可证明；选择②：同选择①证明；选择③：由，得到，由切线的性质得到，则，而，故，那么，即可证明； （2）①证明分析见（1）；②连接，证明 ，则，故，可得，则，再解即可． 【详解】（1）解：选择①：如图， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择②：如图， 证明： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择③：如图， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：①，证明见第一问； ②连接，如图： 由上可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线． 11．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由垂径定理得，，则有，，然后通过三角形的内角和定理即可求证； （）由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出的值即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 12．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识 ： （1）连接，得，，，得出，从而可得结论； （2）过点E作，连接，求出，证明，得出，证明，求出，根据勾股定理可求出，从而可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得出，根据直径所对的圆周角是直角以及余角的性质可得出，即可得证； （2）根据切线的性质得出，根据圆周角定理并结合（1）中，可得出，根据等角的余弦值相等可得出，设，，根据勾股定理求出，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，平分， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴设，， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，余弦的定义，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 14．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，结合，从而可得结论； （2）证明，结合，证明，结合，可得，从而可得结论； （3）求解，，结合，可得，设，则，可得，再进一步利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径，为边的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵直径平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：∵，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，等角对等边，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键． 15．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质得到，继而得到，根据切线的性质得到，得出，即可得到结论； （2）连接，得到，继而得到，求出，．得到． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． ， ． ． ． ． 是的切线， ． ． ． ． （2）解：如图，连接． 是的直径， ． ∵， 是的中点． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$