精品解析：广西壮族自治区河池市2025届高三二模数学试题

2025年河池市普通高中毕业班第二次模拟测试 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量且，求（ ） A. B. C. D. 4. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ） A. B. C. D. 7. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数没有零点 B. 函数只有1个零点 C. 函数至少有1个零点 D. 函数有2个零点 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 10. 已知数列满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是周期数列 C. 是等差数列 D. 数列的通项公式为 11. 如图，若正方体的棱长为是的中点，在棱上，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 四面体的外接球半径最大值是 C. 过作平面的垂面，且与交于点，则最大取 D. 当点是中点时，平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩•德尼•泊松在1838年时发表.它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布.已知某校学生每周体育锻炼的次数服从非零参数的泊松分布，其概率满足，且，则__________（参考数据：） 13. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左､右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 （1）求的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ （3）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 15. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）若，角的平分线交于点，求. 16. 已知平行四边形如图甲，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 17. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）判断函数的单调性并证明； （3）令.问：是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 材料1：贝塞尔曲线于1962年由法国工程师皮埃尔•贝塞尔所广泛发表，它被广泛应用于矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝塞尔曲线由线段与控制点根据一定的比例绘成，控制点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，如绘图工具的钢笔工具.现在已知由个控制点绘成的次贝塞尔曲线上任意点满足，其中为坐标原点，为控制点. 材料2：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许的取值，由方程组确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，叫做参数.若消去参数就可以得到普通方程.如已知，则将代入得. 根据上述材料回答以下问题： （1）若某一次贝塞尔曲线由这2个控制点绘制，求时点坐标； （2）若利用3个控制点绘出曲线的部分图像，求曲线的普通方程； （3）设直线与（2）中所得曲线交于为坐标原点且，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河池市普通高中毕业班第二次模拟测试 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式方程得集合，再根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，解得：或，所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算即可求得复数z，进而求得结果. 【详解】，故，所以的虚部为. 故选：B 3. 已知向量且，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算坐标表示计算，，再有向量垂直数量积为0列式计算可得，即可求得. 【详解】因为，所以，， 由得，， 则有，解得或， 因为，所以，即. 故选：C 4. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 5. 埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，转化为二次函数求最值. 【详解】 当时，时，. 故选：B 6. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当时，，根据对数函数的性质即可判断C；时，求确定函数的极值点即可判断A. 【详解】已知函数， 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 且则选项B是函数的部分图像； 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 且则选项C是函数的部分图像； 当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像， 对于A选项，显然， ，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合. 故选：A. 7. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得，再由条件概率公式即可求解. 【详解】记事件A为“客户是VIP客户”，事件B为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”，则，，，， 由全概率计算公式得， 由条件概率公式得， 故选：A. 8. 关于函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数没有零点 B. 函数只有1个零点 C. 函数至少有1个零点 D. 函数有2个零点 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断零点个数. 【详解】因为， 且， 所以当时， 故函数在定义域上单调递减，所以至多有一个零点，故C､D错误 令则 知时 且知时 时且 所以函数只有1个零点. 故选： 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 10. 已知数列满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是周期数列 C. 是等差数列 D. 数列的通项公式为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次计算判断A；变形给定的递推公式，结合等差数列定义判断BCD. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于BC，由，得， 则，数列是首项为，公差为的等差数列，B错误，C正确； 对于D，，则，解得，D正确. 故选：ACD 11. 如图，若正方体的棱长为是的中点，在棱上，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 四面体的外接球半径最大值是 C. 过作平面的垂面，且与交于点，则最大取 D. 当点是中点时，平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据锥体的体积的计算，结合等体积法即可求解A，根据线面垂直可得，即可求解外接圆半径的最大值求解B，根据点，结合图形关系即可求解的最大值为直角，根据点面距的向量法，由勾股定理求解截面圆半径即可求解D. 【详解】对于A，三棱锥的高为2，底面积， 所以，故A正确； 对于B，四面体的侧棱垂直于底面，设三角形的外接圆的半径为,故外接球的半径,故当最大时，最大，当与点或点重合时，此时，当点为中点时，此时，根据对称性可知，当点从点移动到点时，先增大后减小，因此当点与点或点时最小，最小值为，此时最大，最大值为，故的最大值为，故B正确； 对于C，取的中点为，由于平面，故平面平面，如图显然在平面内，则平面平面.当点运动到点时，点和点重合，此时最大，由于是的中点，故为直角，故C错误； 对于D，设正方体内切球的球心为，则为正方体的中心，则，则， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，所以点到平面的距离， 又正方体内切球得半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径，所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩•德尼•泊松在1838年时发表.它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布.已知某校学生每周体育锻炼的次数服从非零参数的泊松分布，其概率满足，且，则__________（参考数据：） 【答案】0.865 【解析】 【分析】由求得，再由，即可求解. 【详解】由泊松分布概率公式知 ， 故答案为：0.865 13. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左､右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，应用正弦定理有得，再由椭圆和双曲线定义及离心率公式有，结合对勾函数的单调性求的范围，即可得. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 由正弦定理得. ， ，故， ， ， ， ， ，即， ， 由函数性质知在上单调递增， ，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 （1）求的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ （3）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关 （3） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算即可； （2）由（1）根据卡方的计算公式结合临界值表计算即可求解； （3）列出随机变量的可能取值，利用独立事件乘法公式计算对应概率可得分布列，进而可求得数学期望. 【小问1详解】 由列联表可知 所以； 【小问2详解】 零假设：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关 根据表中数据得： . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关； 【小问3详解】 由题可知，随机采访一位未成年人，则该未成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为， 随机采访一位成年人，则该成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为 的可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 . 15. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）若，角的平分线交于点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式，以及，化简等式，再根据两角和的余弦公式，即可求解； （2）根据面积公式，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 整理得，即， ， 因为， 所以； 【小问2详解】 ， 则， 则，所以， 而， 则有，所以 16. 已知平行四边形如图甲，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）翻折前四边形为平行四边形， ， 在中，由余弦定理可得：， ，则，同理， 翻折后有， 又平面平面， 又平面， 平面平面， 平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质结合余弦定理、勾股定理得，，再根据线面垂直的判定定理得平面，平面，从而可得结论； （2）以点为坐标原点，的方向分别为､轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，根据空间向量坐标运算求解平面与平面的一个法向量，由二面角的余弦值求解的值，从而得所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，以点为坐标原点，的方向分别为､轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 取，则，则， 又平面的一个法向量为， ， 整理可得，解得， 线段上存在点，使二面角的余弦值为，此时. 17. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）判断函数的单调性并证明； （3）令.问：是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）函数在上为增函数，证明如下： 函数的定义域为，且， 当或时则时， 当时且则， 又因为，所以函数在上为增函数且只有一个零点0 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导，由恒成立即可判断； （3）由（2）将任意可等价于在上恒成立，通过，，讨论函数单调性，进而可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 所以， 此时曲线在点处切线的方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 定义域为且为上奇函数且， 函数的定义域为，由（2）知函数在上为增函数且， 所以对任意可等价于在上恒成立 ①当时在上递减，则，合题意 ②当时在上递增，则，不合题意 ③当时令，得 一定存在使得当时 在上递增，则，不合题意 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是 18. 材料1：贝塞尔曲线于1962年由法国工程师皮埃尔•贝塞尔所广泛发表，它被广泛应用于矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝塞尔曲线由线段与控制点根据一定的比例绘成，控制点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，如绘图工具的钢笔工具.现在已知由个控制点绘成的次贝塞尔曲线上任意点满足，其中为坐标原点，为控制点. 材料2：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许的取值，由方程组确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，叫做参数.若消去参数就可以得到普通方程.如已知，则将代入得. 根据上述材料回答以下问题： （1）若某一次贝塞尔曲线由这2个控制点绘制，求时点坐标； （2）若利用3个控制点绘出曲线的部分图像，求曲线的普通方程； （3）设直线与（2）中所得曲线交于为坐标原点且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）64 【解析】 【分析】（1）根据，结合组合数运算求解的坐标即可得点坐标； （2）根据参数方程与向量的坐标运算列方程组消元即可得曲线的普通方程； （3）设，设直线的方程为，根据直线与曲线交点坐标关系求解面积，结合函数得最值即可. 【小问1详解】 点坐标为； 【小问2详解】 . 将，带入得 则； 【小问3详解】 设，易知，斜率存在，设直线的方程为， 联立直线与抛物线的方程，消去整理得， 则，由韦达定理可得 又，所以，即，即， 代入可得，解得或（不符合题意，舍去）， 此时恒成立 所以， 所以，当时，面积有最小值64. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $