精品解析：江苏省连云港市赣榆区、灌云县2025年中考二模联考数学试卷

2025年中考数学试题适应性考试（二） （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜ B. k＞- C. k＜且k≠0 D. k＞-且k≠0 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，添加下列条件后不一定使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是______． 11. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 12. 某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是______同学． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 14. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________． 15. 如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是______． 16. 如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 化简： 19. 如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 20. 人工智能（）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对九年级开展5种兴趣课程，分别是：A（编程基础）、（图像识别）、（语音交互）、（数据分析）、（智能系统），为了解学生对不同模块的喜爱情况，学校从九年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图①、图②所示，根据提供的信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目对应的圆心角的度数为 ； （3）若该校九年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数． 21. 在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图． （1）如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，则灯泡发亮是 事件． A.随机 B.不可能 C.必然 （2）如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率． 22. 为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同． （1）求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元． （2）该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 23. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 24. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 25. 随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中（图中点线在同一个平面内）． （1）经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） （2）设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，）． 26. 抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点． （1）直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________； （2）如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值． 27. 【提出问题】在边长为4的正方形中，点P是直线上的一个动点，作点A关于直线的对称点E，连接，直线交所在直线于点F，连接．通过下面三图去研究的大小以及线段之间的数量关系． 【观察猜想】（1）在图1中， °；线段之间的数量关系是 ．（提示：过点B作交直线于点G） 【猜想论证】（2）利用图1对你的猜想进行说理（只是针对图1来证明你的猜想）． 【迁移应用】（3）连接，取的中点O，连接，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考数学试题适应性考试（二） （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 3. 人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：140 亿， 故选：B． 4. 小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是从上面看得到的图形，如图 故选：A． 5. 已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜ B. k＞- C. k＜且k≠0 D. k＞-且k≠0 【答案】A 【解析】 【详解】∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根， ∴△=4﹣12k＞0， 解得：k＜． 故选A． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，添加下列条件后不一定使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，，、、三点共线，、、三点共线． ，． 四边形是平行四边形． A、根据中心对称图形的定义，平行四边形一定是中心对称图形；添加，四边形不一定是轴对称图形，那么A符合题意 B、根据中心对称图形的定义，平行四边形一定是中心对称图形；添加，得，此时四边形是矩形，故四边形是轴对称图形，那么B不符合题意． C、根据中心对称图形的定义，平行四边形一定是中心对称图形，得；添加，得，故平行四边形是矩形，则四边形是轴对称图形，那么C不符合题意． D、根据中心对称图形的定义，平行四边形一定是中心对称图形；添加，故平行四边形是菱形，则四边形是轴对称图形，那么D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的面积之比为， 故选：C． 8. 观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是______． 【答案】x≤5 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件得到5﹣x≥0，然后解不等式即可． 【详解】根据题意得5﹣x≥0， 所以x≤5． 故答案为x≤5． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，关键是掌握自变量的范围，二次根式有意义的范围：二次根式的被开方数是非负数． 11. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 12. 某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是______同学． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和平均数的应用，先根据方差一定比较平均数，再根据平均数一定比较方差可得答案． 【详解】根据题意可知A，B两名同学的方差相同，B同学的平均数高，可知B同学的成绩好，由C，D两名同学的方差一定，D同学的平均数高，可知D同学的成绩高． 又因为B，D两名同学的平均数一定，D同学的方差小，所以D同学的成绩好且最稳定． 故答案为：D． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 故答案为：． 15. 如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，涉及到待定系数法求函数解析式，根据题意，结合图形，利用解直角三角形，求出与x轴的交点D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，将代入从而得到结果． 【详解】解：如图，与x轴交于点D， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点在直线上， 将代入，得， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，且， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值是解题的关键．先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再进行加减计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】 = • = • = ． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 19. 如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 【答案】 证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质．连接，先证明得到，再利用平行线的性质得到，进而利用切线的判定定理可得结论． 【详解】略 20. 人工智能（）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对九年级开展5种兴趣课程，分别是：A（编程基础）、（图像识别）、（语音交互）、（数据分析）、（智能系统），为了解学生对不同模块的喜爱情况，学校从九年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图①、图②所示，根据提供的信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目对应的圆心角的度数为 ； （3）若该校九年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数． 【答案】（1）补全条形统计图如下： （2）72 （3）喜欢B（图像识别）模块的学生人数150人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图，熟练掌握条形统计图及扇形统计图是解题的关键； （1）由统计图可知被抽取的总人数为人，然后可得项目D的人数，进而问题可求解； （2）由（1）及统计图可得，进而求解即可； （3）根据喜欢B模块的所占比可进行求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：被抽取的总人数为人， ∴项目D的人数为（人）， 图略； 【小问2详解】 解：由题意得： 图②中项目对应的圆心角的度数为； 故答案为72； 【小问3详解】 解：由题意得：（人）； 答：喜欢B（图像识别）模块的学生人数150人． 21. 在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图． （1）如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，则灯泡发亮是 事件． A.随机 B.不可能 C.必然 （2）如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，列表法求概率，熟知跨学科的物理“电学”知识是解答的关键： （1）根据事件的分类，进行判断即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：闭合其中任何一个开关，灯泡都会发光， 故灯泡发亮是必然事件； 故选：C； 【小问2详解】 解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有9种等可能的结果，其中小灯泡发亮的结果有3种， ∴小灯泡发亮的概率． 22. 为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同． （1）求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元． （2）该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 【答案】（1）乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元 （2）购买这批路灯最少需要花费元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和一次函数解析式是解此题的关键． （1）设乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元，根据“用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购买这批路灯花费元，其中购买甲种路程盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得出关于的关系式，再根据“甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半”求出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际， ∴， ∴乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元； 【小问2详解】 解：设购买这批路灯花费元，其中购买甲种路程盏，则购买乙种路灯盏， 由题意得：， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴购买这批路灯最少需要花费元． 23. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，，，过点作交于，根据勾股定理求得，根据含角的直角三角形的性质得，，再根据角平分线的定义知，再根据等边对等角知，所以，然后根据解直角三角形的知识得，，，最后根据直径、弦、围成的封闭图形的面积为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，，过点作交于，如图所示： ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ，，，， ，， 到、的距离相等， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， 直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线的定义，扇形的面积公式，解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴反比例函数， 当时，， ∴； 将，代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得， ∴此时点的坐标为； 当时，， ∴， 设，则，，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 25. 随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中（图中点线在同一个平面内）． （1）经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） （2）设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，）． 【答案】（1）米 （2）①；②2 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； 【小问2详解】 解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 26. 抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点． （1）直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________； （2）如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）设点，点，点，，利用 ，，推出，接着证明，那么有，即，然后解方程即可； （3）连接，作，交于点，先求得直线，设点，，表示出，，得到 ，接着求得，最后利用， 由，则时，取最大值，最大值为． 【小问1详解】 解：设直线为，代入，， ， ， 直线为：， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设点，点，点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， 当时，点，点，点，不符合题意，舍去； 当时，，点，符合题意， ； 【小问3详解】 解： 连接，作，交于点，如图所示： 设直线为：，代入，， ， ， 直线为：， 设点，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 时，取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练以上知识点是解题的关键． 27. 【提出问题】在边长为4的正方形中，点P是直线上的一个动点，作点A关于直线的对称点E，连接，直线交所在直线于点F，连接．通过下面三图去研究的大小以及线段之间的数量关系． 【观察猜想】（1）在图1中， °；线段之间的数量关系是 ．（提示：过点B作交直线于点G） 【猜想论证】（2）利用图1对你的猜想进行说理（只是针对图1来证明你的猜想）． 【迁移应用】（3）连接，取的中点O，连接，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45，；（2）证明见（1）；（3）或 【解析】 【分析】（1）设，在正方形中，，由对称得：，那么，，则，则，故；如图：过点B作交直线于点G，证明，则，那么，由勾股定理得，则； （2）分析见（1）； （3）分三种情况讨论，①当点在线段上时，此时为等边三角形，为等腰三角形；②当点在线段延长线上时，此时为等边三角形，为等腰三角形；③当点在线段延长线上时，此时为等边三角形，为等腰三角形，可得点四点共圆，根据圆周角定理得到，再解中即可． 【详解】（1）解：，， 证明：设， 在正方形中，， 由对称得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图：过点B作交直线于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：见（1）问； （3）解：当点在线段上时，此时为等边三角形，为等腰三角形，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴为直径， ∵点为中点， ∴， ∴在中，； 当点在线段延长线上时，此时为等边三角形，为等腰三角形，如图： 此时， ∴， 同理可得：， ∴在中，； 当点在线段延长线上时，此时为等边三角形，为等腰三角形，如图： 此时， 同理可得：， ∴在中，， 综上所述：当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，圆周角定理等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $