精品解析：重庆市育才中学2025届高三一模数学试题

高2025届2024-2025学年（下）高考模拟考试（一） 数学试题 本试卷为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，请考生务必把自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解以及对数函数的定义域化简两个集合，即可由并集的定义求解. 【详解】由 可得， 故， 故选：B 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，然后再求复数的虚部即可. 【详解】由， 可得， 所以的虚部是， 故选:A. 3. 设向量且，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系列方程求解的值，再根据向量平行的坐标关系列方程求解的值，从而得所求. 【详解】因为向量， 所以，则， 又，， 所以，解得， 所以. 故选：D. 4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于15的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数公式，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，共8个，其中两个素数的和小于15的有 ，共8个， 所以其和小于15的概率为. 故选：A 5. 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得米斗的高与的关系，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设该米斗的高为，米斗的侧棱与下底面所成角为，则， ， 解得． 故选：B 6. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合二倍角公式可得，进而求得，结合两角差的正弦化简即可求解，最后利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 由二倍角公式得，解得， 所以，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：C. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】令易知是的一个根.当时，令利用导数研究其单调性可判断方程根的个数.当时画出两个函数的图象判断交点个数求解. 【详解】解：令 当时 故是的一个根. 当时 令 则 所以在上单调递增， 所以 所以时即方程在无实数根. 当时 在上单调递减，且 如图所示： 与的图象在上有两个交点， 所以方程在有两个不同的根. 综上所述，曲线与的交点个数为 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数 C. 函数在上为增函数 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义及判定方法，可判定A正确，B错误；利用复合函数的单调性可判定C不正确，D正确. 【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由， 所以函数是偶函数，所以A正确，B错误； 由函数， 当时，，且单调递增， 所以在区间单调递减； 当时，，且单调递增，所以在区间单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数值域为，所以C不正确，D正确. 故选：AD. 11. 已知数列满足，则（ ） A. 数列为递减数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列递推公式，证明数列的性质. 使用数学归纳法证明和一元函数导数数列不等式. 【详解】已知，则，故，A错误. 设，易知在上单调递增，因为， 设，则，因为，所以， 所以，综上，B正确. 由题意知，， 设， 得，设，得 易知，在上，单调递减，，即， 则在，,单调递增，则，即. 所以在上，所以C正确. 已知，，原命题成立 设,则， 设，可知， 可知在时，，， 即时，，即 原命题的证，所以D正确. 故选:BCD. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中二项式系数的最大值为__________.（用数字作答） 【答案】70 【解析】 【分析】二项式系数中间项最大． 【详解】，所以二项式系数最大值为：； 故答案为：70. 13. 函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移变换可知，再根据正弦型三角函数的奇偶性可知，，即.利用正弦型三角函数的图象与性质，求解即可. 【详解】由题意可知，平移得到的图象对应的解析式为， 因为为偶函数 所以，其中.即 因为，所以. 当时，， 所以. 即的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题考查正弦型三角函数的图像与性质，属于中档题. 14. 棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，若，则动点所围成的图形的面积为__________.若，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可证得平面，从而可确定动点所围成的图形是矩形，从而可得所围成的图形的面积；由正弦定理可得，利用空间坐标运算可得点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，再利用，求解后即可判断 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，则， 又平面，所以平面， 由于动点正方体内及其边界上， 且，所以动点所围成的图形是矩形， 则面积为； 设△边上的高为，则， 由正弦定理可得， 所以，故， 设，又因为，整理得：， 所以空间动点轨迹是以为球心， 2为半径且位于正方体内的部分球体，又因为， 所以. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，结合余弦定理，可求的值，再结合角的取值范围，可得角. （2）利用正弦定理，可求边，利用三角形内角和求角，再利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由及余弦定理，得 又 【小问2详解】 由正弦定理得 ， 所以. 的面积. 16. 由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2020年至2024年的年销售额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额万元 30 35 45 60 80 （1）请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2025年该店的年销售额. （2）该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，，. 【答案】（1），87.5万元. （2）分布列见解析，100 【解析】 【分析】（1）计算，，代入公式即可得，从而可得，于是求解线性回归直线方程，当时求解即可得2025年该店的年销售额预测值； （2）由题可得可以取，根据独立事件概率乘法公式分别求解概率值，列分布列再求解期望即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以， ， 所以与的经验回归方程为. 当时，，所以预测2025年该店的年销售额为87.5万元. 【小问2详解】 可以取. 所以的分布列为 50 100 150 200 所以. 17. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式； （3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，， 当时，， 即，所以，， 因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为. 【小问2详解】 由（1）可得，则当时，， 也满足，故，. 【小问3详解】 由可得 ， 令，则 则 ，即， 所以，数列为单调递增数列，则， 因此，的取值范围是. 18. 如图，已知抛物线，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设与y轴交于点K． （1）若点A横坐标为2，求切线l的方程． （2）连接，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）切线方程为，联立直线方程和抛物线方程后利用判别式为零可求斜率，从而得到切线方程. （2）设，利用（1）中的方法可求切线方程，从而得到的坐标，从而得到直线，联立直线方程和抛物线方程后可求的值，从而可求，利用换元法和基本不等式可求表达式的最小值. 【小问1详解】 根据题意，有，且在处的切线的斜率存在， 设切线方程为，由可得， 由解得，故切线的方程为：． 【小问2详解】 设，同（1）可得， 进而，从而，因此． 设，由可得， 故即 因此设，显然，则， 解得， 且由点到直线的距离公式， 因此， 其中，等号当即时取得，因此所求最小值为8． 19. 已知函数（），为坐标原点． （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若点是函数图象上一点，求的最小值； （2）若函数图象上存在不同两点满足，求的取值范围． 【答案】（1）（i）;（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得；（ii）设，由两点间距离公式可得，记，结合导数判断函数单调性，从而求得的最小值，即可求解； （2）记，结合导数判断函数单调性，可得存在负实数使得，为使有两个不等实数解，则有，推导可得有. 分析可知函数存在唯一零点满足.进而分类讨论和时，使得恒成立时取值范围，从而得解. 【小问1详解】 当，， （i）因为，则，，故切线方程为 （ii）设，则，记 则，易知是关于的增函数且 所以当；当 故最小值为，得的最小值. 【小问2详解】 记，则，易知是关于的增函数且存在负实数使得，则，. 所以当单调递减，当 故最小值为， 注意到，，且， 为使有两个不等实数解，则有. 即. 考虑到函数是关于的减函数，且，， 故该函数存在唯一零点满足，则 （此处只需给出零点的一个合理估计即可.） ①若，即，则. 由化简得， 记，注意到在区间的减函数， 所以， 故时，恒成立，即满足. （几何法：由时，经过点，且，而两点在以原点为圆心，为半径的圆上，且，因此点在圆内，结合图像，知函数图象与圆的图象必有两个不同交点，故满足） ②若，即，则.由化简得， 记，则， 所以单调递减，在区间单调递增且，， 故由解得， 而，故满足. 综上所述. 【点睛】思路点睛：若函数图象上存在点，则，记，结合导数判断函数单调性，可得存在负实数使得，若函数图象上存在不同两点满足，则使有两个不等实数解，则有，推导可得有. 分析可知函数存在唯一零点满足.进而结合导数分类讨论和时，使得恒成立时的取值范围，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025届2024-2025学年（下）高考模拟考试（一） 数学试题 本试卷为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，请考生务必把自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量且，则（ ） A 3 B. 6 C. D. 4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于15的概率是（ ） A B. C. D. 5. 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数 C. 函数在上为增函数 D. 函数的值域为 11. 已知数列满足，则（ ） A. 数列为递减数列 B. C. D. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中二项式系数的最大值为__________.（用数字作答） 13. 函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上最大值为________. 14. 棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，若，则动点所围成的图形的面积为__________.若，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2020年至2024年的年销售额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额万元 30 35 45 60 80 （1）请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2025年该店的年销售额. （2）该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，，. 17. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 18. 如图，已知抛物线，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设与y轴交于点K． （1）若点A横坐标为2，求切线l的方程． （2）连接，记的面积分别为，求的最小值． 19. 已知函数（），为坐标原点． （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若点是函数图象上一点，求的最小值； （2）若函数图象上存在不同两点满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $