精品解析：云南省保山市腾冲市益群中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

腾冲市益群中学2024--2025学年下学期高一年级5月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的坐标表示可得复数在复平面内对应的点，即可得解. 【详解】由题意，复数在复平面上对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了判断复数对应的点所在的象限，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由中的元素表示一次函数和图象的交点可求解. 【详解】由得，所以. 故选：C. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式化简整理，即可得答案. 【详解】由诱导公式可得，则， 所求. 故选：D 4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（ ） A. 100，28 B. 200，28 C. 100，40 D. 200，40 【答案】D 【解析】 分析】首先根据题意得到样本容量人，初中生抽取人，再根据近视率求初中生中近视人数即可. 【详解】样本容量人. 初中生抽取人，初中生中近视人数为人. 故选：D 5. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图画出直观图，再计算即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个长方体挖去了一个圆锥， 其中长方体的体积为：2×2×4=16，圆锥的体积为： , 综上可得，该几何体的体积为： . 故选：C 6. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形， ，则四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，将四棱锥扩充为正方体，体对角线长为，所以四棱锥外接球的直径为，半径为，所以四棱锥外接球的表面积为，故选C. 7. 已知函数在上图像关于轴对称，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 据条件即可知为偶函数，并且在，上是周期为2的周期函数，又，时，，从而可得出，，从而找出正确选项． 【详解】解：函数在上图象关于轴对称； 是偶函数； 又时，； 在，上为周期为2的周期函数； 又，时，； ，； ． 故选：． 【点睛】考查偶函数图象的对称性，偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值，属于中档题． 8. 给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示.点在以为圆心2为半径的圆弧上运动.则的最小值为 A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，以为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设， 因此有 ， 因为，所以，所以当时，即，有最小值，最小值为. 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量数量积最小值问题，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的定义和运算性质，考查了辅助角公式和余弦函数的单调性，考查了数学运算能力. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知,若,则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将式子化为,即可得选项A的正误;构造,求导求单调性,即可得,再根据的单调性,即可得选项B的正误;根据,,再用基本不等式即可判断选项C正误;根据,可得,即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知,, 所以,即, 则选项A正确; 令,则, 所以在上单调递增; 由选项A 结论:, 得,所以, 即,因为单调递减, 所以,故选项B错误; 由选项B中结论, 所以 , 所以,故选项C正确; 因为, 所以, 则选项D正确. 故选:ACD. 10. 已知一组样本数据 ，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的第80百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 【答案】BCD 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断B，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断；由方程计算公式即可判断D. 【详解】对于A，由，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误； 对于B，由题意存在这样一种可能，若，则极差为，此时样本数据的极差不变，故B正确； 对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图， 由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，故C正确； 对于D，由， 则， 所以，故这组样本数据的总和为，故D正确. 故选：BCD. 11. 在正方体中，若点分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】 作出平面截正方体珠完整截面，然后根据线面平行、垂直的判定定理判断． 【详解】取的中点，如图，则是正方体的截面． ， 底面，平面，则，又，，平面，∴平面，而平面，∴， ∴，同理，，平面，所以平面，A正确； 由，平面，平面，得平面，B正确； 由与平行且相等得是平行四边形，与相交且平分，且与不垂直（可证且，得），因此CD均错． 故选：AB． 【点睛】思路点睛：本题考查空间线面的平行与垂直关系，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键，实际上对特殊的空间图形如正方体的性质的掌握是本题的关键，方法是作出完整的截面，然后判断平行与垂直，对正方体的截面作出完整的截面后易判断各种关系． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先算出的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解. 【详解】因为向量， 所以， 而，所以，解得. 故答案为：4. 13. 函数的值域为，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两类讨论，根据对数函数的性质结合二次函数的性质即可得出结论. 【详解】由题意可知，只需满足函数的值域取遍大于的所有数即可. 当时，，符合题意， 当时，只需满足即可，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 14. 已知为正四棱锥，从O，A，B，C，D五点中任取三点，则取到三点恰好在同一个侧面的概率为_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算公式，分析出符合题意的基本事件总数和个数，即可求解. 【详解】解：从O，A，B，C，D五点中任取三点， 有，，，，，，，，，，共10种不同取法， 取到的三点恰好在同一个侧面有，，，，共4种情况， 由古典概型的概率计算公式知，所求概率为， 故答案为：或0.4. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到四边形为平行四边形，从而得到，再根据线面平行的判定即可证明. （2）根据求解即可. 【小问1详解】 因为点分别为棱的中点，且， 所以，且，即四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面，， 所以平面. 【小问2详解】 因为是三棱锥的底面上的高， 又三角形的面积为， . 16. 中，，，. （1）求； （2）点在边上，，求面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知及余弦定理可求BC，由正弦定理可得sinB的值； （2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，在△ABD中，设BD=x，由余弦定理可得BD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）由余弦定理，得： ， 所以， 由正弦定理，得：， 则. （2）因为，所以为锐角，， 在中，设，由余弦定理得：， 即，解得：，即， 所以. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17. 已知二次函数 （1）若为偶函数，求在上的值域； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数定义求出，再利用二次函数求出值域即可得； （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出函数最小值即可得解. 【小问1详解】 函数定义域为R，由是偶函数，得， 即， 整理得，而不恒为0， 因此，函数， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 于是，又，，则， 所以在上的值域是； 【小问2详解】 不等式， 依题意，，，而对勾函数在上单调递减， 当时，， 即当时，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 18. 如图，在梯形中，，，，，在线段上． （1）若，用向量，表示，； （2）若AE与BD交于点F，，，，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可. 【小问1详解】 依题意， ． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以． 因为，所以， 所以，即，解得或． 连接交于，因为，所以，所以， 则． 因为在线段上，所以，故． 19. 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. （1）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ （2）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ （3）若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）最小值为3，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离定义可得，解绝对值不等式可得答案； （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案； （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【小问1详解】 因为，，故， 由曼哈顿距离不大于5，得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 因为， 故， 由题意可得恒成立， 因为， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， 所以，则或，解得或. 故的取值范围是. 【小问3详解】 点在函数图象上且，点的坐标为， 故 当时，，函数在上单调递增， 故， 当且仅当时取等号. 当时，. 令，由于，故，. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号. 综上可知，的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市益群中学2024--2025学年下学期高一年级5月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（ ） A. 100，28 B. 200，28 C. 100，40 D. 200，40 5. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形， ，则四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 7. 已知函数在上图像关于轴对称，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示.点在以为圆心2为半径的圆弧上运动.则的最小值为 A. B. C. 0 D. 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知,若,则（ ） A. B. C. D. 10. 已知一组样本数据 ，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ） A. 样本数据第80百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 11. 在正方体中，若点分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则__________. 13. 函数的值域为，则实数a的取值范围是______. 14. 已知为正四棱锥，从O，A，B，C，D五点中任取三点，则取到的三点恰好在同一个侧面的概率为_________． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 中，，，. （1）求； （2）点在边上，，求的面积. 17 已知二次函数 （1）若为偶函数，求在上的值域； （2）当时，恒成立，求实数a取值范围. 18. 如图，在梯形中，，，，，在线段上． （1）若，用向量，表示，； （2）若AE与BD交于点F，，，，求值． 19. 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. （1）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ （2）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ （3）若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $