精品解析：2025年四川省遂宁市第八中学中考诊断性考试数学试题

遂宁八中2025年初三中考诊断性考试 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题， 共 40分） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的．) 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 4. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 81，83 B. 81，81.5 C. 81.5，81 D. 81，83.5 5. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的顶点 和正方形的顶点 都在反比例函数的图象上，点 的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 9. 如图，正方形 的边长为3，点E，F，G分别在边 ， ， 上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数 ，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（ 非选择题， 共 110 分） 二、填空题． (本大题5个小题，每小题4分，共20分) 11. 不等式组的解集是 _____________ 12. 随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为______． 13. 在锐角三角形中，已知，满足，则______． 14. 如图，扇形中，，， 是的中点，交 于点，以为半径的弧交 于点 ，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，，点C是线段 的中点，点D坐标，连接 ，向外以 为边作正方形，当取最大值时，点F的坐标是______． 三．解答题（本大题共10道题，共90分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知关于 的一元二次方程有实数根． （1）求 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且满足，求 的取值范围． 19. 年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数； （3）若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 如图,在平行四边形 中，点 、 分别是 、 上的点，且，，求证： （1）； （2）四边形 是菱形. 21. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 22. 如图，在某机场的地面雷达观测站 ，观测到空中点 处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点 处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点 处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） （1）求两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点 飞行到点 所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 24. 如图， 是 的直径，点C是 上的一点，点P是延长线上的一点，连接 ，． （1）求证：是 的切线； （2）若，求证：； （3）若于D，，，求 的长． 25. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线 交于点C，求 的长的最大值； （3）点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁八中2025年初三中考诊断性考试 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题， 共 40分） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的．) 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，单项式乘单项式法则，熟练掌握上述法则是关键． 根据合并同类项法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，单项式乘单项式法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，原选项不正确，        B. ，原选项错误，        C. ，原选项正确，              D. ，原选项错误，        故选C． 2. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将42000000写成的形式即可，其中，n为整数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是注意中n的值与小数点移动的位数相等． 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有3个正方形，上层有1个正方形． 故选：C． 4. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 81，83 B. 81，81.5 C. 81.5，81 D. 81，83.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此解答即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：80，81，81，82，83，84， 最中间的两个数据为：81，82，则中位数为：， 出现次数最多的为：81，则众数为：， 故选：B． 5. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可． 【详解】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺， 由题意得，， 故选：A． 6. 如图，矩形的顶点 和正方形的顶点 都在反比例函数的图象上，点 的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，由题意，首先根据 的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解． 【详解】 点 的坐标为在反比例函数上， ． ． 反比例函数的解析式为． 点 在反比例函数图象上， 可设． ． ∵正方形， ∴ ，． ， ． ． 故选：B． 7. 函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A； 当 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除B； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除C； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 8. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 9. 如图，正方形 的边长为3，点E，F，G分别在边 ， ， 上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设 与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设 与交于点N ∵正方形 的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形 是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数 ，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得： ， 由于图象与 轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （ 为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． 第Ⅱ卷（ 非选择题， 共 110 分） 二、填空题． (本大题5个小题，每小题4分，共20分) 11. 不等式组的解集是 _____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 12. 随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 根据比原计划提前了到达列方程，即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合题意， ∴原计划的速度为； 故答案为：60． 13. 在锐角三角形中，已知，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的非负性，得计算，利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，实数的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图，扇形中，，， 是的中点，交 于点，以为半径的弧交 于点 ，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ， ∵点 为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式． 15. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，，点C是线段 的中点，点D坐标，连接 ，向外以 为边作正方形，当取最大值时，点F的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得出 解答． 根据勾股定理得出 ，进而利用正方形的性质得出，，取最大值解答即可． 【详解】解：设，， 则， 即，， ， ， 四边形是正方形， 在 轴上， 在 轴上，， ， ， 当时取等号， ，，取最大值为， ，， ， 故答案为：． 三．解答题（本大题共10道题，共90分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入，即可作答． 【详解】解： 当时，原式． 18. 已知关于 的一元二次方程有实数根． （1）求 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且满足，求 的取值范围． 【答案】（1）m的取值范围是； （2）m的取值范围． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点， （1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）求出，再代入计算即可解答； 熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：方程整理得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 即m的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故m的取值范围． 19. 年1月日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数； （3）若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40人，补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据D类人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个小组人数之和等于总人数求出C类别人数，从而补全图形； （2）从抽样调查中可知B(关注较多)的人数占抽样人数的比例可求该校“B(关注较多)”的学生人数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：依题意得，抽样调查的学生总数：(人) C（关注较少）人数：(人)． 【小问2详解】 解：依题意得： B（关注较多）占抽样调查的学生总数比： B（关注较多）的学生人数：(人) 答：“B（关注较多）”的学生人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为∶ 共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种， 所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 如图,在平行四边形 中，点 、 分别是 、 上的点，且，，求证： （1）； （2）四边形 是菱形. 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C， 在△DAE和△DCF中，， ∴△DAE≌△DCF（ASA）， ∴DE=DF； （2）证明：由（1）可得△DAE≌△DCF ∴DA=DC， 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠A=∠C，由ASA证明△DAE≌△DCF，即可得出DE=DF； （2）由全等三角形的性质得出DA=DC，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 【小问2详解】 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． 【小问3详解】 ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 22. 如图，在某机场的地面雷达观测站 ，观测到空中点 处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点 处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点 处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） （1）求两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点 飞行到点 所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 【答案】（1）6千米 （2）1.06分钟 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点 作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点 作，垂足为 ，根据题意可得：，，，从而利用平角定义可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点 作，垂足为， 由题意得：，，， ∴，， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴两点之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：过点 作，垂足为 ， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴飞机从点 飞行到点 所用的时间（分钟）， ∴飞机从点 飞行到点 所用的时间约为1.06分钟． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，由直线 为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点 关于 轴的对称点，连接交 轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于 轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 24. 如图， 是 的直径，点C是 上的一点，点P是延长线上的一点，连接 ，． （1）求证：是 的切线； （2）若，求证：； （3）若于D，，，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是 的切线； （2） 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知 ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先由直径得到 ，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线 交于点C，求 的长的最大值； （3）点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当时， 的长的最大值为4 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； （3）分两种情况：①当△时，②当时，分别求解即可． 【小问1详解】 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，， 抛物线经过A、B两点． ， 解得， ； 【小问2详解】 设， 作x轴，与直线 交于点C， ，解得， ， 当时， 的长的最大值为4； 【小问3详解】 设， ，， ， 分两种情况： ①当时， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或3（舍去）， ， ，， 设直线的解析式为， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； ②当时，过点Q作于H， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设，则，， ，解得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理得直线的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $