精品解析：2025年山东省临沂市郯城县中考二模数学试题

2025年数学学业水平考试模拟试题 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 距离地球400公里的高空之上，我国天宫空间站正在高速翱翔，速度更是达到了27648千米/小时．将27648千米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图，将一个正方体在一角处截去它的后，得到一个新的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 随着的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是（ ） 评委 模型 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 7. 甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有，，，，四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同．现将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，则两张卡片上代数式的和为整式的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接，，若，，则度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 10. 如图，正方形的边长为2，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接，则以下结论：①；②；③的最小值为；④，正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 因式分解：______． 13. 若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 14. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E、F两点；②作直线交于点M，交于点O；③连接，过点B作交于点N，连接．若，，则四边形的面积为______． 15. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”Q按上述规则连续平移6次后，到达点，则点Q的坐标为______． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解不等式组；，并写出其所有的整数解． 17. 为了提高学生对人工智能的兴趣和应用能力，某校社团活动拟开设五种人工智能项目：、智能机器人设计与编程，、绘画与图像识别，、机器学习与数据分析，、伦理辩论与情景剧，、小程序与智能硬件结合开发．为了解学生最喜欢以上哪种人工智能项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），根据调查数据绘制成下面的两幅统计图，请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_____，扇形统计图中对应圆心角的度数为 _____°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“、绘画与图像识别”的学生人数． 18. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度． 19. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型，已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元．同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共200个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的的取值范围______． 21. 如图，在中，点O在上，以O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点． （1）【操作判断】如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ． （2）【迁移探究】如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长； （3）【综合应用】如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； （2）如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年数学学业水平考试模拟试题 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数大小的比较，掌握实数大小的比较法则是解题的关键． 先分别 求出各选项中数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴最小的数是． 故选：C． 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 距离地球400公里的高空之上，我国天宫空间站正在高速翱翔，速度更是达到了27648千米/小时．将27648千米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：27648千米米， 故选：C． 4. 如图，将一个正方体在一角处截去它的后，得到一个新的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从正面看的图形即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个正方形，在这个正方形的右上角有一个小正方形（不在大正方形的边长上的边是虚线），即看到的图形如下： 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 随着的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是（ ） 评委 模型 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、以及方差，掌握相关定义和计算公式是解题关键．根据表格分别计算平均数、众数、中位数、以及方差，即可得到答案． 【详解】解：A、甲得分的平均数为， 乙得分的平均数为， 即甲得分的平均数等于乙得分的平均数，A选项结论不正确，符合题意； B、甲得分的众数为，乙得分的众数为， 即甲得分的众数大于乙得分的众数，B选项结论正确，不符合题意； C、甲得分从小到大排列为，中位数为， 乙得分从小到大排列为，中位数为， 即甲得分的中位数大于乙得分的中位数，C选项结论正确，不符合题意； D、甲得分的方差为， 乙得分的方差为， 即甲得分的方差大于乙得分的方差，D选项结论正确，不符合题意； 故选：A 7. 甲、乙、丙、丁四张卡片，正面分别写有，，，，四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同．现将四张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取两张，则两张卡片上代数式的和为整式的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法运算，整式和概率，求出两张卡片上代数式的和的所有结果，进而根据概率公式计算即可求解，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 随机抽取两张卡片，两张卡片上代数式的和如下： ； ； ； ； ； ； 由上可知，共有种等结果，其中和为整式的结果有种， ∴两张卡片上代数式的和为整式的概率是， 故选：． 8. 如图，内接，，若，，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键．由等边对等角得到，再根据垂径定理的推论和圆周角定理，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 9. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为2，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接，则以下结论：①；②；③的最小值为；④，正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得，，，证明是等腰直角三角形，结合射线绕点O逆时针旋转后交于点F，得是等腰直角三角形，再证明，故在中，，即，结合垂线段最短，得当时，此时有最小值，，，当与或重合时，此时有最大值，即，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 即是等腰直角三角形， ∵射线绕点O逆时针旋转后交于点F， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴， 故①是符合题意的； ∵， ∴， ∵， 则， 即， ∵ ∴在中，， 即， 故②是符合题意的； ∵是等腰直角三角形， ∴， 当时，此时有最小值， ∵是等腰直角三角形， 则， ∴ 即的最小值为； 故③是符合题意的； ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵当时，此时有最小值，即， ∴对应的的最小值为， 当与或重合时，此时有最大值， 即， ∴对应的的最大值为， ∴， 故④是符合题意的； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转性质，垂线段最短，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零，被开方数于等于零，列式解题即可． 本题考查了函数的取值范围，熟练掌握分母不为零，被开方数于等于零是解题的关键． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 故且， 故． 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： = = 故答案为：． 13. 若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据方程的根得到，，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：a、b分别是关于x的方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E、F两点；②作直线交于点M，交于点O；③连接，过点B作交于点N，连接．若，，则四边形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，根据平行四边形的性质得，由作图得，根据勾股定理求出，证明得出,再求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图得，是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴, 又∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：24． 15. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”Q按上述规则连续平移6次后，到达点，则点Q的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的平移，得出规律点先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点”反向运动次即可，可以分为两种情况： ①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意， 点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即， 最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故答案为：或． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解不等式组；，并写出其所有的整数解． 【答案】（1）3；（2），整数值是，，0，1，2，3，4 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）先计算负整数次幂、绝对值、零次幂、特殊角三角函数，再进行加减运算； （2）先求出两个不等式的解集，进而得出不等式组的解集和整数解． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①，得 解不等式②，得 所以不等式组的解集为 所以x可取的整数值是，，0，1，2，3，4． 17. 为了提高学生对人工智能的兴趣和应用能力，某校社团活动拟开设五种人工智能项目：、智能机器人设计与编程，、绘画与图像识别，、机器学习与数据分析，、伦理辩论与情景剧，、小程序与智能硬件结合开发．为了解学生最喜欢以上哪种人工智能项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），根据调查数据绘制成下面的两幅统计图，请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_____，扇形统计图中对应圆心角的度数为 _____°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“、绘画与图像识别”的学生人数． 【答案】（1）；； （2）图见解析； （3）人． 【解析】 【分析】（1）利用的组的人数除以其所占总人数的百分比即可求出样本容量，再用图中组对应的人数除以样本容量再乘以，即得其对应圆心角的度数． （2）用总人数减去其他组的人数即可求出组对应的人数，补全条形统计图即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由图可得组的人数为人，所占总人数的百分比为， ∴本次调查的样本容量是：（人）， ∵图中组对应的人数为人， ∴图中组对应的圆心角的度数为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由（1）可得样本容量是人， ∴图中组对应的人数是：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：最喜欢“、绘画与图像识别”的学生所占百分比为， ∴当该校共名学生时，估计该校最喜欢“、绘画与图像识别”的学生人数为（人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 18. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 延长，交于点， 则：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 19. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型，已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元．同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共200个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）灵巧模型的进价是25元，迅捷模型的进价是20元 （2）当购进灵巧模型50个时，可获得最大利润，最大利润为1550元 【解析】 【分析】（1）设“迅捷”模型进价为每个x元，可表示“灵巧”模型进价为元，再根据购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个，列出分式方程，求出解并检验即可； （2）购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为w，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【小问1详解】 解：设“迅捷”模型的进价为x元，则“灵巧”模型的进价为元． 根据题意得： 整理并解得，（舍） 经检验是原方程的解，且符合题意．所以 答：灵巧模型的进价是25元，迅捷模型的进价是20元． 【小问2详解】 解：． 由得．因为 所以w随a的增大而增大，当时，w有最大值为1550 答：当购进灵巧模型50个时，可获得最大利润，最大利润为1550元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程、分式方程的应用，正确进行计算是解题关键． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于两点，交轴于点，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的的取值范围______． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2）四边形的面积为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质． （1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得D点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解； （3）根据图象，找到反比例函数的图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：将代入中， ， 反比例函数的解析式为； 过点D作轴，过点C作轴， ∵ ∴ ∵， ， ， ， ∴ 将代入中， ， 解得：， ， 将，代入中， 可得， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， E点坐标为， ， 在中，当时，， 解得：， A点坐标为， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方， ∴即的x的取值范围是或． 故答案为：或或． 21. 如图，在中，点O在上，以O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和判定定理、解直角三角形、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，，由推出，进而得出，，再利用切线的判定定理即可证明； （2）在中利用余弦的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，通过证明得到，设的半径为r，代入数据解出r的值即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 与相切， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径于点C， 为的切线． 【小问2详解】 解：由（1）知， 在中，， ， ， ，， ， ， 设的半径为r，则有， 解得：， 的半径为3． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点． （1）【操作判断】如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ． （2）【迁移探究】如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长； （3）【综合应用】如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）6，4 【解析】 【分析】（1）由折叠得，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明△是等边三角形即可求出角度； （2）当点落在对角线上点时，设，分别出、、，用勾股定理即可求解即可； （3）设，求出与重叠部分面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值． 【小问1详解】 解：线段与线段的位置关系为，理由如下： 如图1，连接， 由折叠得：，， 、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； ，理由如下： 将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，点落在对角线上点时， 在矩形中， ，，， ， 设，由折叠得：，， ，，， ， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：， ， 设， ， 解得， 翻折后的三角形为， ，， ①当点在与之间或在对角线上时，如图4，图5， ， ， 此时折后与重叠部分面积， ， 在，当时，即，的最大值； ②当点在对角线的右侧时，交于，交于，如图6， 此时，不合题意，舍去； 综上所述，折叠后与重叠部分面积的最大值为，此时． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； （2）如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）①利用待定系数法求出之间的关系即可解答；②分时，时，两种情况结合二次函数的性质即可解答； （2）先求出二次函数顶点坐标为，分当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点，两种情况建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：①：把，分别代入抛物线中得： 解得： 对称轴为直线； ②当时，此时时，y有最大值即：解得： 当时，此时时，y有最大值即： 解得： 综上所述：或． 【小问2详解】 解：四边形是正方形，， ，，， 点A为，点B为 将代入，得：， 顶点坐标为 ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ，解得： ②如图，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得： 综上所述，a的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $