精品解析：2024年山东省临沂市郯城县九年级中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试模拟试题（二） 数学 本试卷共6页 满分120分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 山东临沂，历史悠久，文化灿烂，是沂蒙精神的发源地．这里风景秀美，人文荟萃，多个地标性建筑不仅展现了地方特色，更展现了中国文化的对称之美，让人流连忘返．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年4月11日华为公司上市的Mate40手机搭载的是自主研发的麒麟处理器，这款处理器是采用制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某无盖的四棱台容器，其示意图如图所示（厚度忽略不计），它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林结论是的最小值为2；则（ ） A. 小明正确 B. 小林正确 C. 小明和小林都正确 D. 小明和小林都不正确 7. 已知关于x，y方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点C、D、E在上，若，，且，则为（ ） A. B. 6 C. D. 9. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作 交于点，连接，．则四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 2023 D. 2024 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：=______． 12. 若，且，则a的取值范围是__________． 13. 若m，n是方程的两个实数根，则__________． 14. 如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为__________． 15. 如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是______． 16. 如图，E是正方形边上的动点（不与重合），连接交对角线于点F，过点F作交于点G．连接、，则下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有______．（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再从，0，1，2中选择一个适合的数代入求值． 18. 推广体育“大课间”活动，某中学决定开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数，并将条形统计图补充完整； （3）若调查到喜欢“跳绳”5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到“一男一女”的概率． 19. 某商场准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A商品的件数是用7500元采购B商品的件数的2倍，一件A商品的进价比一件B商品的进价多10元． （1）求一件A，B商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进A，B商品共250件进行试销，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于20件．A商品的售价与A商品销量之间的关系如下表所示： A型商品的销量（件） 0 5 10 15 20 … A型商品售价（元/件） 240 230 220 210 200 … B商品的售价降为210元/件，且全部售出．设购进A商品m件，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． 20. 直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． （1）求的值及直线的解析式； （2）连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 21. 交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）． （1）求，两点之间的距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由． （参考数据：，，，，，，） 22. 如图1，在中，，点D为边中点，点E为线段上一动点，过点A，D，E作分别交，于点F，G，连接，． （1）求证：； （2）已知：，，当四边形为平行四边形时，请补全图2，并求出的长． 23. 如图，已知抛物线的图象经过点D，，C是的中点，P是拋物线上的一个动点，连接，设点P的横坐标为n． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在x轴上方拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； （3）如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 小东在学习过程中，注重知识的迁移和延伸，下面是他在“图形的旋转”主题下设计的问题，请你解答． （1）操作发现 如图1，在中，，，点是边上一动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则______；若点，分别是，的中点，则，之间的数量关系为_____． （2）迁移应用 如图2，在中，，，于点，点是线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，得到线段．点在线段上，且．猜想，之间的位置关系，并就图2所示的情形给出证明． （3）问题解决 在（2）的条件下，若，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平考试模拟试题（二） 数学 本试卷共6页 满分120分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键． 根据绝对值的大小比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴绝对值最大的是． 故选：C． 2. 山东临沂，历史悠久，文化灿烂，是沂蒙精神的发源地．这里风景秀美，人文荟萃，多个地标性建筑不仅展现了地方特色，更展现了中国文化的对称之美，让人流连忘返．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合． 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 3. 2024年4月11日华为公司上市的Mate40手机搭载的是自主研发的麒麟处理器，这款处理器是采用制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中是正整数，等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0)． 绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 4. 某无盖的四棱台容器，其示意图如图所示（厚度忽略不计），它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可． 【详解】解：从上面看，四棱台容器是一个正方形，底面的正方形比较小，四棱台容器无盖，其底面可以看见，因此选项C中的图形，符合题意， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． A、根据合并同类项法则进行计算；B、利用完全平方公式进行计算；C、利用积的乘方，单项式乘以单项式的法则进行计算；D、根据积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算； 【详解】解：A．，所以此选项不正确； B、，所以此选项不正确； C、，所以此选项不正确； D、，所以此选项正确； 故选：D． 6. 小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（ ） A. 小明正确 B. 小林正确 C. 小明和小林都正确 D. 小明和小林都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，根据小明和小林的探究方法，分别求出当有最小值时的值即可判断，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：小明的探究：， 则当，即时，有最小值为， 而无解， 小明的探究是错误的， 小林的探究：， 则当，即时，有最小值为2， 小林的探究是正确的， 故选：B． 7. 已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是， ∵方程组可化为， 的解是，即， 故选：B． 8. 如图，是的直径，点C、D、E在上，若，，且，则为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 连接、、，过点作于，如图，利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则，所以，计算出，接着计算出，所以，这样可计算出，然后根据垂径定理得到． 【详解】解：连接、、，过点作于，如图， ∵为直径， ∵， ∴， ∵， 在中，， 故选：B． 9. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作 交于点，连接，．则四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根据题意得是的垂直平分线，即可得，，然后由，可证得，继而证得四边形是菱形，根据勾股定理逆定理可得，所以，可得是的中位线，再根据三角形中位线定理求出，进而求出菱形的周长． 【详解】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，等边等对角，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理． 10. 已知一系列抛物线，，，，，…，（k为非负整数）．抛物线与x轴相交于点，（点在点的左边），顶点为．若轴于点，则k的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 2023 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了点坐标规律，二次函数图象与性质，解题的关键是确定的解析式． 根据规律确定的顶点坐标是，再根据轴于点，确定点，再代入的解析式即可求解； 【详解】解：根据题意可得：的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 观察这列抛物线的顶点坐标， 由规律可知的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式是， ， ， 轴于点， ， 把点的坐标代入到的解析式得：， 解得：； 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 若，且，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若m，n是方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，根据m，n是方程的两个实数根，得到，，变形得到，代入所求代数式即可求出答案，正确理解一元二次方程的根代入方程进行变形是解题的关键． 【详解】∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案． 14. 如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、圆锥的计算，解答本题的关键是求出圆锥的半径和母线长． 根据题意作出合适的辅助线，然后根据，可以得到的度数，从而可以得到的度数，然后根据，可以得到的长，再根据圆锥和侧面展开图的关系，即可求得圆锥的高． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 设扇形围成的圆锥的底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥的高为：， 故答案为：． 15. 如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数图象可得：当点F与点A重合时；求出，当点F与点C重合时；求出，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由函数图象得：当点F与点A重合时；如图， 此时，， ∵ E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F与点C重合时；如图，过点E作，垂足为G，设与交于点H， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接， ∵，E为的中点， ∴， ∴ ∴y的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 16. 如图，E是正方形边上的动点（不与重合），连接交对角线于点F，过点F作交于点G．连接、，则下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有______．（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】如图1，连接，由“”可证，可得，可得，如图2，把顺时针旋转得到，由“”可证，可得，由全等三角形的性质和正方形的性质依次判断可求解． 【详解】解：如图1，连接， 在正方形中，， 在和中， ， ， ， ， ∴在四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图2，把顺时针旋转得到， 则， ，故②错误； ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴，故③错误； ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再从，0，1，2中选择一个适合的数代入求值． 【答案】（1）4；（2），取，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练堂握运算法则是解答本题的关键； （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后从，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可； 【详解】解：（1） ； （2）原式 ， 由原式可知，a不能取，0， 当时，原式（或当时，原式）． 18. 推广体育“大课间”活动，某中学决定开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数，并将条形统计图补充完整； （3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到“一男一女”的概率． 【答案】（1）150名 （2）45人，图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数； （2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被调查的学生数，再画图即可； （3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：（名）． 答：在这项调查中，共调查了150名学生． 【小问2详解】 本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是：（人）， 画图如下： 【小问3详解】 用A表示男生，B表示女生，画图如下： 共有20种情况，“一男一女”的情况是12种， （“一男一女”）． 答：刚好抽到“一男一女”的概率是． 19. 某商场准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A商品的件数是用7500元采购B商品的件数的2倍，一件A商品的进价比一件B商品的进价多10元． （1）求一件A，B商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进A，B商品共250件进行试销，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于20件．A商品的售价与A商品销量之间的关系如下表所示： A型商品的销量（件） 0 5 10 15 20 … A型商品的售价（元/件） 240 230 220 210 200 … B商品的售价降为210元/件，且全部售出．设购进A商品m件，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案． 【答案】（1）160元，150元 （2）最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进230件 【解析】 【分析】（1）设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品件，建立不等式组，运用一次函数的性质解答即可． 本题考查了分式方程的应用，方案设计问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为元． 由题意：， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元． 【小问2详解】 设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品件， 由题意：， 解得，， 由表中数据可知，商品A的售价y与销量m是一次函数关系，可设为， 代入两组数据得：， 解得， ， 设总利润为w元，根据题意得，， ， 当时，w随m的增大而减小， ， 当时，w有最大值为， 答：这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进货230件． 20. 直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． （1）求的值及直线的解析式； （2）连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，可得，进一步利用反比例函数的解析式求得点，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解； （3）根据题意分析出是平行于的动直线，求出与切于点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解． 【小问1详解】 解： 点在反比例函数， 将点的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 点，在直线上 ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：直线为， ． ， ， 设， 如图，在射线上，此时可得必在轴负半轴，， ． ， ． ∴； 【小问3详解】 解：依据题意，直线平行于直线，且与轴交于点E，则 与封闭图形有交点，下端与相切于点，上端相切于翻折后的曲线于点， 由题意，， ． 相切， 判别式． （负数舍去）． 此时．与轴的交点为，， ， ， ，， 此时．与轴的交点为， ． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，平行线的性质，公式法解一元二次方程，解题时需要熟练掌握并能灵活运用． 21. 交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）． （1）求，两点之间的距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由． （参考数据：，，，，，，） 【答案】（1）760米 （2）小汽车从点行驶到点没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得：，，米，在中，米，求得米，在中，米，求得，根据，即可求得，两点之间的距离； （2）已知小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为秒，路程为米，求出小汽车从点行驶到点的速度，再和规定速度比较即可得出结论． 【小问1详解】 由题意得：，，米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴，两点之间的距离约为760米． 【小问2详解】 小汽车从点行驶到点没有超速． 理由：由题意得： 米/秒， ∵20米/秒<22米/秒， ∴小汽车从点行驶到点没有超速． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，理清题意，掌握三角函数的定义及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 22. 如图1，在中，，点D为边中点，点E为线段上一动点，过点A，D，E作分别交，于点F，G，连接，． （1）求证：； （2）已知：，，当四边形为平行四边形时，请补全图2，并求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）3，图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形，解题关键是正确应用相关定理进行分析． （1）连接，即可证； （2）连接，结合四边形为平行四边形，即可得． 【小问1详解】 解：证明：如图，连接， ，点D为边中点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：补全图形如图，连接，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 在中，， ． 23. 如图，已知抛物线的图象经过点D，，C是的中点，P是拋物线上的一个动点，连接，设点P的横坐标为n． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； （3）如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据，，求出． 再根据是的中点，求出，用待定系数法求解即可； （2）过作x轴垂线交于，求出设直线解析式，由， 得，表示出，再根据表示出四边形面积，根据二次函数最值求解即可； （3）分为①当点Q在y轴上时，使，根据，求出，过点D作轴交y轴于点H，根据平行线性质得出，再根据，得出，得出，根据，求出，即可求出点Q的坐标； ②当点Q在x轴上时，使， 延长交x轴于点F，过点D作轴交x轴于点G，证明，求出，再根据，证明，根据相似三角形的性质求出，从而求出，即可求出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵在的图象上， ， 得， ． 【小问2详解】 过作x轴垂线交于， 设直线，即， 解得：， 故解析式为：， 由， 得， ， ， 当四边形面积最大时，． 【小问3详解】 解：①当点Q在y轴上时，使， ∵， 即， ∴， ∴， 过点D作轴交y轴于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴点Q的坐标为； ②当点Q在x轴上时，使， 延长交x轴于点F，过点D作轴交x轴于点G， 则， 则 ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ∴点的坐标为， 综上，或． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确理解题意，数形结合． 24. 小东在学习过程中，注重知识的迁移和延伸，下面是他在“图形的旋转”主题下设计的问题，请你解答． （1）操作发现 如图1，在中，，，点是边上一动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则______；若点，分别是，的中点，则，之间的数量关系为_____． （2）迁移应用 如图2，在中，，，于点，点是线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，得到线段．点在线段上，且．猜想，之间的位置关系，并就图2所示的情形给出证明． （3）问题解决 在（2）的条件下，若，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，结合内角和求，利用中位线和全等确定，的关系； （2）延长至点，使，连接，，，证即可； （3）分三种情况分别讨论：①当时，不存在；当时，、、共线，利用求解；当时，四边形为矩形，结合图形求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，延长至点，使，连接，，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， 根据题意是直角三角形分三种情况： 情况①：当时，如图， 由（2）可得， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， 与，矛盾， 故不存在； 情况②：当时，如图， ∵， ∴、、共线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：， 即； 情况③：当时，如图， ∵， ∴四边形矩形， ∴，， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查几何变换综合题，结合了旋转的性质、全等的判定与性质、相似的判定与性质、中位线、勾股定理等，正确的构造全等和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$