专题04 二元一次方程组（考题猜想，易错压轴必刷96题24种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题04 二元一次方程组（易错压轴必刷96题24种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程相关概念 · 题型二 二元一次方程组相关概念 · 题型三 二元一次方程组的解法 · 题型四 二元一次方程组的特殊解法 · 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 · 题型六 构造二元一次方程组求解 · 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参 · 题型八 方程组同解问题 · 题型九 三元一次方程组的相关概念 · 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 · 题型十一 方案问题 · 题型十二 行程问题 · 题型十三 工程问题 · 题型十四 数字问题 · 题型十五 年龄问题 · 题型十六 分配问题 · 题型十七 销售利润问题 · 题型十八 和差倍分问题 · 题型十九 几何问题 · 题型二十 古代问题 · 题型二十一 二元一次方程组含参问题综合 · 题型二十二 方案问题压轴 · 题型二十三 销售利润问题压轴 · 题型二十四 二元一次方程组的新定义问题 题型一 二元一次方程相关概念 1．下列各组，的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程，若用含的代数式表示，则 ． 4．若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 题型二 二元一次方程组相关概念 5．下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 6．表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 7．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 题型三 二元一次方程组的解法 9．解下列方程组： (1) (2) 10．解方程： (1) (2) 11．解方程组： (1)； (2)． 12．解方程组： (1)； (2)． 题型四 二元一次方程组的特殊解法 13．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 15．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 16．关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 17．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 19．甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 20．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 题型六 构造二元一次方程组求解 21．若，，则的值等于（    ） A．9 B．2 C． D．不能求出 22．满足的x，y的值分别为（    ） A．，1 B．1，1 C．1， D．无法确定 23．设，当时，；当时，．则当时， ． 24．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参 25．已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 26．已知方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 27．已知方程组的解满足x，y互为相反数，则 ． 28．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 题型八 方程组同解问题 29．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 31．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 32．已知关于的方程组和的解相同．求的值． 题型九 三元一次方程组的相关概念 33．已知方程组，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元． 35．解下列三元一次方程组： (1) (2) 36．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 37．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 38．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 39．某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 40．两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 题型十一 方案问题 41．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 42．某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． (1)一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ (2)该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 43．今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要多少小时？ 44．西岗区某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元． (1)根据以上信息解答若需要购买个篮球和个足球需要多少钱； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，则有哪几种购买方案？ 题型十二 行程问题 45．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 46．小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 47．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 48．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， (1)求小车和摩托车的速度． (2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 题型十三 工程问题 49．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 50．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 51．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 52．绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 题型十四 数字问题 53．某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 54．若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 55．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 56．若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“勾股和数”． 例如：，，是“勾股和数”； 又如：，，，不是“勾股和数”． (1)判断、是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； (3)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当是整数，且时，求出所有满足条件的． 题型十五 年龄问题 57．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 58．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 59．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 60．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型十六 分配问题 61．甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 62．（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 63．七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 64．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 题型十七 销售利润问题 65．扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 66．小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ 67．2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 68．根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 题型十八 和差倍分问题 69．为创建文明校园，某中学计划在学校公共场所安装垃圾箱和温馨提示牌，已知，安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元．求安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌各需多少元？ 70．2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 71．为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40kg，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共1000kg，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 72．某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 题型十九 几何问题 73．如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    74．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中小长方形的长和宽各是多少？ 75．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 76．列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？    题型二十 古代问题 77．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 78．列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 79．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 80．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 题型二十一 二元一次方程组含参问题综合 81．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 82．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 83．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 84．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 题型二十二 方案问题压轴 85．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 86．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 87．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 88．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 题型二十三 销售利润问题压轴 89．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 90．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 91．某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） (2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 92．根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 题型二十四 二元一次方程组的新定义问题 93．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ． 94．对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ． 95．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 96．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 二元一次方程组（易错压轴必刷96题24种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程相关概念 · 题型二 二元一次方程组相关概念 · 题型三 二元一次方程组的解法 · 题型四 二元一次方程组的特殊解法 · 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 · 题型六 构造二元一次方程组求解 · 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参 · 题型八 方程组同解问题 · 题型九 三元一次方程组的相关概念 · 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 · 题型十一 方案问题 · 题型十二 行程问题 · 题型十三 工程问题 · 题型十四 数字问题 · 题型十五 年龄问题 · 题型十六 分配问题 · 题型十七 销售利润问题 · 题型十八 和差倍分问题 · 题型十九 几何问题 · 题型二十 古代问题 · 题型二十一 二元一次方程组含参问题综合 · 题型二十二 方案问题压轴 · 题型二十三 销售利润问题压轴 · 题型二十四 二元一次方程组的新定义问题 题型一 二元一次方程相关概念 1．下列各组，的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．将选项中的，值代入方程中，等式成立的就是方程的解，反之，不是方程的解． 【详解】解：A、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意； B、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意； C、当时，是方程的解，故本选项符合题意； D、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意， 故选：C． 2．在下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴ ∴，不符合二元一次方程定义，故不符合题意； C、最高项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意； D、是二元一次方程，故符合题意． 故选：D． 3．已知方程，若用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再把的系数化为，即可用含的代数式表示． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 【答案】0 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且，且， ∴， ∴； 故答案为：0． 题型二 二元一次方程组相关概念 5．下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，解题的关键是将各选项中的值代入方程，看等式是否成立． 依次把每个选项中的值代入方程，判断等式左右两边是否相等． 【详解】A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意． 故选：D． 6．表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的解的定义，从表格中找到答案即可． 【详解】解：由表格可知，，是二元一次方程的解，，是二元一次方程的解， 关于，的二元一次方程组的解为． 故选：C． 7．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：B． 8．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 二元一次方程组的解法 9．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减法是解题的关键． （1）用加减法求解即可； （2）用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 把代入①，得， ∴； （2）解：， 由得：， ∴， 把代入①，得， ∴． 10．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，会熟练运用代入消元法与加减消元法解方程组是解决问题的关键． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 得，， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为：； （2）解： 原方程组整理为： 得， 解得：， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为： 11．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解是； （2）解：原方程组可化为， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴方程组的解是． 12．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由可得：， 解得， 将代入①可得， 解得， ∴原方程组的解为 （2）解：整理可得：， 由可得：， 解得， 将代入①可得， 解得， ∴原方程组的解为． 题型四 二元一次方程组的特殊解法 13．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组的解的定义去构造方程组，解答即可． 本题考查了方程组的解，正确理解定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴是方程组的解， ∵的解是， ∴ ∴， 故的解为， 故选C． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】B 【分析】利用方程①减去方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键． 15．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故答案为：． 16．关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键．将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 则． 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 17．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 18．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 19．甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程， 正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：由题意，是的解 得， 解得． 又是的解 得，解得， ． 20．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及负指数幂、零次幂，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后求出a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴． 题型六 构造二元一次方程组求解 21．若，，则的值等于（    ） A．9 B．2 C． D．不能求出 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，将原等式变形得，，设，,得，解方程组即可求解，将原等式变形处理是解题的关键． 【详解】解：由得， 由得， 设，, 则， 解得：， ， 故选A． 22．满足的x，y的值分别为（    ） A．，1 B．1，1 C．1， D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质建立二元一次方程组，再求出x、y的值即可．掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， 解得：， 故选：C． 23．设，当时，；当时，．则当时， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．将x与y的两对值代入中，得到二元一次方程组，解方程组求出k与b的值，将代入计算即可求出y的值． 【详解】解：当时，；当时，： ∴ 解得：， ∴， 将代入得：． 故答案为：． 24．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参 25．已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．利用加减消元法求得，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 26．已知方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．掌握加减消元法是解题的关键． 把方程组中两个方程相减即可得到，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 27．已知方程组的解满足x，y互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，先根据方程组整理得，再结合x，y互为相反数，列式求解即可得到值．本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴得， ∴， x，y互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 28．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握解法步骤是解本题的关键，先把②①，得．再利用代入法可得新的方程，再解方程可得答案． 【详解】解：令， ②①，得． 方程组的解满足， ． ． 解得． 题型八 方程组同解问题 29．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌了二元一次方程组的解法是解题的关键． 先根据同解方程将运用加减消元法求出方程组解，再将解代入方程①得到一个关于的等式，求解即可． 【详解】解：∵方程组的解也是方程的解， ∴，得， 将代入②，得， 将，代入①得， 解得， 故选：B． 30．若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】联立不含m的方程求出x与y的值，进而求出m的值即可． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 把，代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解本题的关键． 31．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念． 解方程组得出，代入到得到关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴的解和的解相同， 解方程组得：， 将代入得， 解得， 故答案为：． 32．已知关于的方程组和的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解． 【详解】解：方程组与的解相同， ∴①与④组合得，， ①④得，， ∴， 把代入②与③组合的方程组中得， ， 把③代入②得，， ∴， ∴． 题型九 三元一次方程组的相关概念 33．已知方程组，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法． 三个方程相加即可得到的值． 【详解】解：方程组， 三个方程相加得：， ∴， 故选：A． 34．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元． 【答案】600 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程．根据题意列三元一次方程组，计算出甲、乙、丙各1件时的价格，再乘以3即可． 【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元， 由题意知： 得， 因此， ∴（元） 即购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元． 故答案为：600． 35．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】略 36．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)11，5 (2)2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， ①②可得：， ①②可得：； （2）∵，， ∴，， ∴， ①②可得：． 题型十 根据实际问题列二元一次方程组 37．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米， 由题意可得：， 故选：B． 38．中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键．设雀每只两，燕每只两，分别根据“五只雀、六只燕，共重两”和“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，进行列式即可 ． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， 由“五只雀、六只燕，共重两”，得：， 由“雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重” ，得：， 则可列出方程组为， 故选：B． 39．某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设该班男生有x人，女生有y人，根据全班一共37名学生可得方程，根据一共捐了92本书可得方程，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 40．两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，根据经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米列出方程即可 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，由题意，得 ． 故答案为：． 题型十一 方案问题 41．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 42．某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． (1)一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ (2)该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 【答案】(1)一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨 (2)派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨，根据题意列出二一元一次方程组求解即可； （2）设B型车a辆，则A型车辆，根据题意列出一元一次不等式组，求出，然后根据a为整数求解即可． 【详解】（1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨， 由题意可得：， 解得：， 答：一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨； （2）设B型车a辆，则A型车辆， 由题意可得：， 解得：， ∵a为整数， ∴或3， 答：派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车． 43．今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要多少小时？ 【答案】完成此项工作两队共需要7小时 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用问题，根据工作时间=工作总量÷工作效率，设甲、乙工作效率分别为，，根据题意由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．可以列出两个等量关系对应的方程，由此解出甲、乙的工作效率，然后可算出甲单独扫雪2小时后剩余的工作量，剩余工作量除以乙的工作效率即可求出乙需要工作的时间，由此可求出总时间． 【详解】解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为y， 根据题意，得   解这个方程，得 . 甲单独扫雪2小时后剩下的工作量为：， 剩余工作乙需要时间为：小时， 完成此项工作两队共需要：小时． 答：完成此项工作两队共需要7小时 44．西岗区某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元． (1)根据以上信息解答若需要购买个篮球和个足球需要多少钱； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购买个篮球和个足球需要元； (2)有种购买方案，方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可求出，的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设购买个篮球，则购买个足球，根据“购进篮球不少于个，且总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ． 答：购买个篮球和个足球需要元； （2）设购买个篮球，则购买个足球， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，，， 共有种购买方案， 方案：购买个篮球，个足球； 方案：购买个篮球，个足球； 方案：购买个篮球，个足球； 方案：购买个篮球，个足球． 题型十二 行程问题 45．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为9千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为9千米． 46．小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 【答案】小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．利用“小明和小亮2小时路程和为20千米，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米”再建立方程组求解即可． 【详解】解：设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时． ， 解得： 答：小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时． 47．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 【答案】(1)①；②； (2)这架飞机无风时的平均速度为，风速为 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用． （1）根据顺风速度=飞机速度+风速．逆风速度=飞机速度风速，即可解答； （2）根据路程=速度×时间，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为， 则风速度为；逆风速度为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为． 48．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， (1)求小车和摩托车的速度． (2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时 (2)小时或小时或小时或小时 【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：1小时20分小时． 设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时， 根据题意得：， 解得：． 答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米， 根据题意得：或或或， 解得：或或或． 答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解． 题型十三 工程问题 49．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 【答案】调动前甲工地有78人，乙工地有42人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可． 【详解】解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得 ， 解得． 答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人． 50．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元 (2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析 【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． 【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：， 解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ， ∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算． 51．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 52．绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 【答案】(1)原计划拆建各4500平方米 (2)1620平方米 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积计划建造新校舍面积平方米，计划建造新校舍面积计划拆除旧校舍面积平方米．依等量关系列方程，再求解． （2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积． 【详解】（1）解：由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米， 则，解得 答：原计划拆建各4500平方米． （2）计划资金元 实用资金 ∴节余资金： ∴可建绿化面积平方米 答：可绿化面积1620平方米． 题型十四 数字问题 53．某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【答案】(1)原两位数为38 (2) (3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组 【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解； （3）结合（1），可知：，，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：原两位数为38； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：； （3）结合（1）可知，，， ∴，， ∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键． 54．若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 【答案】(1)1001，9999 (2)是，理由见解析 (3)2651或6215 【分析】（1）根据新定义，即可得出结论； （2）根据新定义，即可得出结论； （3）根据题意知，，求得和的值，再根据题意是6，结合，取舍即可求得所有满足条件的“平衡数”． 【详解】（1）根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”， 最小的正整数是1，最大的正整数是9， ∵，， ∴最小的“平衡数”是1001，最大的“平衡数”是9999， 故答案为：1001，9999； （2）是，理由如下： ∵， ∴7128是“平衡数”； （3）设这个“平衡数”为， 依题意得：，， 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为2651； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为6215； 综上，满足条件的“平衡数”是2651或6215． 【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键． 55．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 56．若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“勾股和数”． 例如：，，是“勾股和数”； 又如：，，，不是“勾股和数”． (1)判断、是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； (3)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当是整数，且时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)不是“勾股和数”，是“勾股和数”；理由见解析 (2)、、等（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）根据“勾股和数”的定义直接判断即可； （2）根据定义写出符合题意的“勾股和数”即可； （3）由题意可知，且，由是整数可得，再由的值即可得出的值． 【详解】（1）解：不是“勾股和数”，是“勾股和数”； 理由：，，不是“勾股和数”； ，是“勾股和数”； （2）如：、、， ，， 此题中没有出现过的“勾股和数”有、、（答案不唯一） （3）为“勾股和数”， ， ， 为整数， ， ， ， ， ， ，解得，此时， ，解得，此时； 综上，的值为或． 【点睛】本题以新定义为背景考查了数字规律的探索，二元一次方程组的应用，仔细审题理解“勾股和数”的定义并运用是解答本题的关键． 题型十五 年龄问题 57．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 58．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 59．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 60．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 题型十六 分配问题 61．甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 62．（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 63．七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键． 设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答． 【详解】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 64．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； (2)①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个，②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个，③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． (3)n的最小值是35． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次不等式组的应用，二元一次方程的正整数解问题，确定相等关系是解本题的关键； （1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，利用有A型板材162张，B型板材340张，做这两种箱子共100个，建立不等式组求解即可； （3）设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板，再利用剩余的A板与B板之比为建立二元一次方程，再利用方程的正整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B，设竖式做个，横式做个，则 ， 解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴一共有三种方案： ①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个， ②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个， ③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． （3）∵竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板， 设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板， 且一张的C型板可以切成张A型板或3张B型板， ∴板有张，板有张， 竖式箱子制作20只后剩余板张，剩余板张， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴， ∵，都为正整数， ∴的最小值为，则的最小值为； ∴n的最小值是35． 题型十七 销售利润问题 65．扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【答案】(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元 (2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键： （1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得： ，解得：， 答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且； ∴， ∴或或， 故共有3种购买方案： 方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只； 方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只； 方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只． 66．小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ 【答案】中性笔单价为2元，笔记本单价为6元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元， 根据题意可知：， 解得：， 答：中性笔单价为2元，笔记本单价为6元． 67．2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 【答案】(1)1副春联元，1个灯笼元 (2)该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程的解，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设1副春联元，1个灯笼元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个，由此列式，并判定二元一次方程的解． 【详解】（1）解：已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元， ∴设1副春联元，1个灯笼元， ∴， 解得，， ∴1副春联元，1个灯笼元； （2）解：该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个， ∴， ∵都是正整数， ∴，即是3的倍数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个． 68．根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 【答案】任务1：款咖啡销售单价8元，款咖啡销售单价10元；任务2：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 任务1：设款咖啡的销售单价是元，款咖啡的销售单价是元，根据“买10杯款咖啡，15杯款咖啡需230元；买12杯型咖啡，8杯型咖啡需176元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设小华购买杯款咖啡，杯款咖啡，利用总价单价数量，结合“小华购买、两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务1：设款咖啡的销售单价是元，款咖啡的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：款咖啡的销售单价是8元，款咖啡的销售单价是10元； 任务2：设小华购买杯款咖啡，杯款咖啡， 根据题意得：， 解得：． 答：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 题型十八 和差倍分问题 69．为创建文明校园，某中学计划在学校公共场所安装垃圾箱和温馨提示牌，已知，安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元．求安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌各需多少元？ 【答案】安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌分别是80、50元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出题目中的数量关系、列出方程组是解题的关键． 设安装1个垃圾箱需要x元，1个温馨提示牌需要y元，根据“安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元”列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设安装1个垃圾箱需要x元，1个温馨提示牌需要y元， 根据题意得：，解得：． 答：安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌分别是80、50元． 70．2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 【答案】供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元． 71．为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40kg，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共1000kg，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【答案】A、B两种型号机器人每小时分别搬运，． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设A、B两种型号机器人每小时分别搬运，，根据A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共，列出方程组进行计算即可． 【详解】解：设A、B两种型号机器人每小时分别搬运，，由题意，得： ， 解得：． 答：A、B两种型号机器人每小时分别搬运，． 72．某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 【答案】(1)淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． (2)不能找回68元，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可； （2）设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据依题意，得，     解得，     则（本）．     答：淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． （2）不能，理由如下； 设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据题意，得，    解得， ∵不是整数， ∴不能找回68元． 题型十九 几何问题 73．如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【答案】每个小长方形的长为10，宽为6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得 ， 解得：， ∴每个小长方形的长为10，宽为6． 74．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】图中小长方形的长和宽各是、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， 答：图中小长方形的长和宽各是、． 75．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积． 76．列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？    【答案】预计花费75600元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据长方形的性质列出方程组是解本题的关键． 设小长方形的长为米，宽为米，则根据长方形的性质可列方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 依题意得 解得 所以（元）． 答：预计花费75600元． 题型二十 古代问题 77．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【答案】雀的重量为斤，燕的重量为斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设雀重斤，燕重斤，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设雀重斤，燕重斤，根据题意得， 解得：， 答：雀重斤，燕重斤． 78．列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 【答案】原来有12只鸡，8只兔 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设原来有x只鸡，y只兔，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设原来有x只鸡，y只兔， 根据题意有：， 解得：， 则原来有12只鸡，8只兔 79．中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 80．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 【答案】共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，根据每人出8文钱，则多出3文钱；每人出7文钱，则缺少4文钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，由题意得： ，解得：， 答：共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元． 题型二十一 二元一次方程组含参问题综合 81．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 82．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可． 【详解】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴是方程的一个解，符合题意； ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 方程组的解为：， 当当x与y互为相反数时，， 解得：，故②不符合题意； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意； ④当时，方程组的解为：， 则，④不符合题意． 所以以上四种说法中正确的有①③． 故选：B． 83．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 84．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 题型二十二 方案问题压轴 85．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块 (2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块 (3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组． （1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可； （2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可； （3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论． 【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块， 依题意得： 解得 答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块． （2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或或 答：有以下三种裁切方案： 方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块； 方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块； 方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块． （3）解：①采用方案3，根据题意，得： （张） （张） （张） 需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块． ②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块， 根据题意，得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块． ③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块 根据题意,得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 86．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台 (2)当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台；当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和方案选择，三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有三种可能． （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组． （2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”． 【详解】（1）解：设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为： 当购进甲种型号及乙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 当购进乙种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得（舍去）； 当购进甲种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 综上，商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台 或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台． （2）解：可行． 设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：时；由题意，得 ∵均是大于0且小于50的整数， ∴当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台； 当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台； 当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台； 当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 87．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 88．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 题型二十三 销售利润问题压轴 89．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元， (2)8种 (3)该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，根据前两个月的销售数据列出方程组求解即可； （2）设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，根据该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，列出不等式组求解即可； （3）由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，儿童头盔最多时，利润最多，据此列式计算即可． 【详解】（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元； （2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个， ∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元， ∴ 解得， ∵是非负整数， ∴m必须是5的倍数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商店3月份有8种销售方案； （3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元， ∴儿童头盔最多时，利润最多， ∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 90．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张 (2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； (3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可； （2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答； （3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张， 根据题意可得方程， 解得， 该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张， 由题意可得， 解得， 是正整数， 或17， 或13， 故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台， ①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， ， ②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， 无解， 综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． 91．某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 (1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） (2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ (3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 【答案】(1)； (2)甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只； (3)该同学共有2种购买方案，方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可； （2）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，根据该公司三月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只且全部售出后获得的总利润为8.8万元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为（万元）， 故答案为：； （2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只， 由题意可得： ， 解得：， 答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只； （3）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该同学共有2种购买方案， 方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩； 方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 92．根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元 (2)①该药店纳入医保后的售价为元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为，理由见解析 【分析】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元,根据利润为元/盒，售价是其成本的倍列二元一次方程组求解即可得解； （2）①设该药品纳入医保后的售价为元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为，列不等式组求解即可。 【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元 根据题意，列出方程组： ， 解得：， 答：该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元； （2）解：①设该药品纳入医保后的售价为元/盒 因为第二个月的总销量比第一个月增加， 所以第二个月的总销量为（）盒 因为第二个月甲药店出售盒，所以乙药店出售盒, 根据题意可列方程： 解得： 所以该药店纳入医保后的售价为元/盒, ②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下： 第一个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第二个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第三个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第四个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，甲乙两家药店共售出盒 由第二个月可发现：乙药店价格下降，乙药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第三个月可发现：甲药店价格下降，甲药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降，甲乙药店总销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 总结规律：该药品价格每降低，销售量增长率为， 设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为， 依题意得：， 解得, 因为盈利不低于，则≥， 解得≥ 所以 因此该药企的制定该药品价格范围为 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键。 题型二十四 二元一次方程组的新定义问题 93．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：分析第二个方程 1.若为偶数， 则, 化简得： ， 2.若为奇数， 则, 化简得： ， 处理第一个方程， 情况1：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为： 奇偶性分析： 为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。 因此，外层运算结果为： ， 根据方程： ，整理得：， 3.联立方程1和方程3， ， 解得：。 情况2：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为：(必为奇数)， 因此，外层运算结果为：， 根据方程： ， 解得： (非整数，不符合题意)， 综上所述，的值为3． 94．对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围．关键是确定a的范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； ∵，为非负数， ∴， 即， ∴； ∴ ， ∵， ∴， 即； 故答案为：． 95．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 96．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)； (3)2025 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”为， 联立得， 解得， 故答案为：，； （2）解：方程的“对称方程”为， 联立得， ∵方程组的解为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即， ∴ ， $$